精品解析：广东惠来县第一中学2025-2026学年度八年级数学第二学期练习2

惠来一中2025-2026学年度八年级数学第二学期练习2 （满分120分，考试时间120分钟，请考生把答案填在答题卷上） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键． 2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，本选项符合题意； B、 是整式乘法，是从积到多项式的变形，不属于因式分解，本选项不符合题意； C、 ，等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，本选项不符合题意； D、是整式乘法，不属于因式分解，本选项不符合题意； 3. 若实数a、b满足，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：已知 ，根据不等式的基本性质判断： A． ∵不等式两边同乘，不等号方向改变，∴，A错误． B． ∵不等式两边同时减，不等号方向不变，∴，B正确． C． ∵不等式两边同乘正数，不等号方向不变，∴，C错误． D． 举反例，若，，，满足，但，D错误． 4. 下列命题的逆命题不是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 等角对等边 C. 如果，那么 D. 等边三角形的三个内角都相等 【答案】A 【解析】 【分析】理解题意，先写出每个原命题的逆命题，再判断逆命题的真假，即可选出符合要求的选项． 【详解】解：A、原命题：对顶角相等，逆命题：相等的角是对顶角； ∵相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等但不是对顶角， ∴该逆命题是假命题； B、原命题：等角对等边，逆命题：等边对等角，这是真命题； C、原命题：如果 ，那么 ，逆命题：如果 ，那么 ，这是真命题； D、原命题：等边三角形的三个内角都相等，逆命题：三个内角都相等的三角形是等边三角形，这是真命题； 故逆命题不是真命题的是A选项． 5. 若一个正多边形的每一个外角都等于36°，则它是( ) A. 正九边形 B. 正十边形 C. 正十一边形 D. 正十二边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=360°÷36°，计算即可求解． 【详解】解：这个正多边形的边数：360°÷36°=10， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键． 6. 多项式加上一个一次单项式后是一个完全平方式，这个单项式应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：多项式加上一个一次单项式后是一个完全平方式，这个单项式可以为． 故选：． 【点睛】此题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 7. 若等腰三角形的一个角为，则它的底角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，是解题的关键．分这个角是底角和顶角，两种情况讨论求解． 【详解】解：当这个角为底角时：，满足题意； 当这个角是顶角时：它的底角的度数是； 综上：等腰三角形的底角度数为或； 故选：D． 8. 如图是一次函数与的图象，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数图象，写出直线y1在直线y2下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】结合图象，当x＞3时，y1＜y2，即kx+b＜x+a， 所以不等式kx+b＜x+a的解集为x＞3． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题． 9. 如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的全等判定解答即可． 【详解】解：补充，可得：， 在和中， ， ∴． 【点睛】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 10. 观察下列等式：； ； ； 根据以上规律计算的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知等式总结规律，再将所求式子变形，计算即可． 【详解】解：由已知等式可归纳出规律： 令，代入得： ． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 12. 如图，在中，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半得出的长，再根据勾股定理即可求出． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 13. 化简：__________． 【答案】## 【解析】 【详解】解： ． 14. 关于的不等式组的解集为，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组解集的确定规则“同大取大”，判断的取值范围． 【详解】解：已知不等式组中的两个不等式的解集分别为，， 由不等式组的解集为，根据“同大取大”的原则，可得． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，、分别在轴正半轴与轴正半轴上，点坐标为，将点关于对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，经过4次操作后与重合，即4次一个循环， ∵， 故与重合，坐标为． 三、解答题（一）（本大题3小题，第16题8分，第17题6分，第18题7分，共21分） 16. 完成下列各题： （1）计算：； （2）解不等式组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验根的有效性， 即可得到最终结果； （2）先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集． 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘最简公分母得 ， 移项合并得， 解得， 经检验是原分式方程的解， 因此原方程的解为； 【小问2详解】 解：， 解不等式，解得， 解不等式，解得， 取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件12元，明信片每件9元．计划一共采购100件，总费用不超过1100元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的一半．则至少需要采购心愿卡多少件？ 【答案】则至少需要采购心愿卡34件 【解析】 【分析】本题为一元一次不等式组的实际应用题，解题思路是设采购心愿卡的数量为未知数，根据总费用限制和数量的不等关系列出不等式组，求解后结合件数为正整数的实际要求，得到最小采购数量． 【详解】解：设需要采购心愿卡x件，则采购明信片件，x为正整数， 根据题意可知：， 解不等式组得：， ∵x为正整数， ∴x的最小值为34， 答：则至少需要采购心愿卡34件． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． （1）将绕点按逆时针方向旋转，画出旋转后得到的． （2）将向上平移个单位，再向右平移个单位，画出平移后的． （3）若将绕原点旋转，的对应点的坐标是_________． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）如（1）中图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，结合网格特征，找出点、的对应点，顺次连接即可； （2）根据平移的性质，结合网格特征，找出点、、的对应点，顺次连接即可； （3）由旋转的性质及中心对称的定义得出点与关于原点中心对称，根据关于原点中心对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵将绕原点旋转，点的对应点为，， ∴点与关于原点中心对称， ∴的坐标为． 20. 如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． （1）证明：平分； （2）若，，，且，求的面积． 【答案】（1）详见解析 （2）32 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【小问1详解】 解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 21. 根据以下信息，按要求完成下列任务． “诵读经典诗词，弘扬传统文化”图书采购创意探究项目 项目背景 学校即将举办一场盛大的“诵读经典诗词，弘扬传统文化”主题诵读比赛．经典诗词作为中华文化的璀璨明珠，承载着千年的智慧与情感，学校举办此次“诵读经典诗词，弘扬传统文化”比赛旨在激发同学们对经典诗词的热爱，深入领略传统文化的独特魅力．为了鼓励同学们积极参与、展现卓越风采，学校决定采购甲、乙两种图书作为比赛奖品．这两种图书不仅具有丰富的文化内涵，还能为同学们带来知识的滋养 项目要求 运用方程思想解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示 素材1 已知甲图书的单价与乙图书单价存在特定关系，即甲图书的单价是乙图书单价的倍． 素材2 我们还掌握了一个关键信息：单独购买甲种图书10本比单独购买乙种图书10本多100元． 素材3 学校计划购买甲、乙两种图书共40本作为奖品．有两个重要的限制条件需要考虑． 一方面：投入的经费不能超过1020元； 另一方面：要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量． 问题解决 任务一：精准定价 （1）请你通过建立合适的数学模型，精确计算出购买一个甲种图书和一个乙种图书分别需要多少钱． 任务二：方案规划 （2）请你综合考虑这些条件，运用数学知识，探究学校共有几种可行的购买方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种图书的具体购买数量． 任务三：成本优化 （3）在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成本构成，找出总费用最低的采购方案． 【答案】（1）甲种图书单价为30元，乙种图书单价为20元 （2）共有3种可行的购买方案，方案一：购买甲种图书20本，乙种图书20本；方案二：购买甲种图书21本，乙种图书19本；方案三：购买甲种图书22本，乙种图书18本 （3）购买甲种图书20本，乙种图书20本的采购方案总费用最低 【解析】 【分析】（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，再建立方程求解即可； （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，根据题意得：，再进一步求解即可； （3）通过计算各方案的总费用，找出成本最低的采购方案． 【小问1详解】 解：设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元， 由题意得：， 解得：， 则， 答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． 【小问2详解】 解：设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴共有3种方案． 方案一：购买甲种图书20本，乙种图书20本； 方案二：购买甲种图书21本，乙种图书19本； 方案三：购买甲种图书22本，乙种图书18本； 【小问3详解】 解：方案一总花费：元， 方案二总花费：元， 方案三总花费：元， ∴购买甲种图书20本，乙种图书20本的采购方案总费用最低． 五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． （1）分解因式：①______；②______； （2）求多项式的最大值； （3）已知、、是的三边，且满足，，求第三边的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①先在一次项后加上，再减去，构造完全平方式，最后用平方差公式分解； ②在一次项后加上​，再减去，得到完全平方式后用平方差公式分解； （2）先提取负号，将括号内的二次三项式配方，利用完全平方式的非负性，求出最大值；（3）先将等式配方，求出和的值，再利用三角形三边关系确定的范围． 【小问1详解】 解：① ； ② ； 【小问2详解】 解： ， ，， 当，有最大值； 【小问3详解】 解：， ， ， 即， ，， ，， 、、是的三边， ， 故． 23. 如图，在中，，，点 为 上一点，连接，过点作，交延长线于点， 连接，过点作交于点． （1）求证：； （2）如图，连接，取中点，连接并延长至点，使得，连接，求证：； （3）如图，将沿折叠至，连接，将绕点逆时针旋转至，连接交所在直线于点，当取得最小值时，直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：∵中点是， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并会通过一边一角相等构造全等是解题的关键． （1）利用，推出，利用，推出，即可推出，即可证明； （2）先证明，得出，，得出，再推出，再证明，即可证明； （3）过点作，并且使，连接，，通过证明，得出，又可知是定值，是定值，由三角形三边关系可知，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时由，推出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作，并且使，连接，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 由翻折知， 可知是定值， 由中，，，是定值， 则斜边是定值， 由三角形三边关系可知，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠来一中2025-2026学年度八年级数学第二学期练习2 （满分120分，考试时间120分钟，请考生把答案填在答题卷上） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若实数a、b满足，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题的逆命题不是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 等角对等边 C. 如果，那么 D. 等边三角形的三个内角都相等 5. 若一个正多边形的每一个外角都等于36°，则它是( ) A. 正九边形 B. 正十边形 C. 正十一边形 D. 正十二边形 6. 多项式加上一个一次单项式后是一个完全平方式，这个单项式应为（ ） A. B. C. D. 7. 若等腰三角形的一个角为，则它的底角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图是一次函数与的图象，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（ ） A. B. C. D. 10. 观察下列等式：； ； ； 根据以上规律计算的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 12. 如图，在中，，，，则________． 13. 化简：__________． 14. 关于的不等式组的解集为，的取值范围是________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，、分别在轴正半轴与轴正半轴上，点坐标为，将点关于对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 三、解答题（一）（本大题3小题，第16题8分，第17题6分，第18题7分，共21分） 16. 完成下列各题： （1）计算：； （2）解不等式组． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件12元，明信片每件9元．计划一共采购100件，总费用不超过1100元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的一半．则至少需要采购心愿卡多少件？ 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． （1）将绕点按逆时针方向旋转，画出旋转后得到的． （2）将向上平移个单位，再向右平移个单位，画出平移后的． （3）若将绕原点旋转，的对应点的坐标是_________． 20. 如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． （1）证明：平分； （2）若，，，且，求的面积． 21. 根据以下信息，按要求完成下列任务． “诵读经典诗词，弘扬传统文化”图书采购创意探究项目 项目背景 学校即将举办一场盛大的“诵读经典诗词，弘扬传统文化”主题诵读比赛．经典诗词作为中华文化的璀璨明珠，承载着千年的智慧与情感，学校举办此次“诵读经典诗词，弘扬传统文化”比赛旨在激发同学们对经典诗词的热爱，深入领略传统文化的独特魅力．为了鼓励同学们积极参与、展现卓越风采，学校决定采购甲、乙两种图书作为比赛奖品．这两种图书不仅具有丰富的文化内涵，还能为同学们带来知识的滋养 项目要求 运用方程思想解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示 素材1 已知甲图书的单价与乙图书单价存在特定关系，即甲图书的单价是乙图书单价的倍． 素材2 我们还掌握了一个关键信息：单独购买甲种图书10本比单独购买乙种图书10本多100元． 素材3 学校计划购买甲、乙两种图书共40本作为奖品．有两个重要的限制条件需要考虑． 一方面：投入的经费不能超过1020元； 另一方面：要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量． 问题解决 任务一：精准定价 （1）请你通过建立合适的数学模型，精确计算出购买一个甲种图书和一个乙种图书分别需要多少钱． 任务二：方案规划 （2）请你综合考虑这些条件，运用数学知识，探究学校共有几种可行的购买方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种图书的具体购买数量． 任务三：成本优化 （3）在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成本构成，找出总费用最低的采购方案． 五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． （1）分解因式：①______；②______； （2）求多项式的最大值； （3）已知、、是的三边，且满足，，求第三边的取值范围． 23. 如图，在中，，，点 为 上一点，连接，过点作，交延长线于点， 连接，过点作交于点． （1）求证：； （2）如图，连接，取中点，连接并延长至点，使得，连接，求证：； （3）如图，将沿折叠至，连接，将绕点逆时针旋转至，连接交所在直线于点，当取得最小值时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $