上海市进才中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

上海市进才中学2025-2026学年第二学期期末考试 （时间120分钟，满分150分） 高二年级数学试卷 一、填空题（本大题共12题，满分54分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．） 1．已知集合，，则_________． 2．不等式的解集为_________． 3．已知幂函数在上严格增，则实数______． 4．设等差数列的前n项和为，若，，则_________． 5．在展开式中，常数项是_________． 6．已知正实数a、b满足，则的最大值为_________． 7．将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为_________． 8．已知，对于所有满足的复数z，都有的最小值与的最小值相同，则____________． 9．已知甲盒中有4个红球和3个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球．现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率是_________． 10．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物（与地面垂直）的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若米，山坡对于地平面的坡度为θ，则_________（精确到0.1°） 11．已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与C相交于点A，D，与y轴交于点B，，，则C的离心率为_______． 12．在以O为原点的空间直角坐标系中，设，，A和B是两个点集，设，对任意的，总存在，使得．若，（x、）且，则的取值范围是_________． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，考生必须在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分．） 13．已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（ ） A． B． C． D． 14．一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（ ） A．极差 B．中位数 C．平均数 D．众数 15．已知正四面体的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 16．设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（ ） 结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数； 结论②：若当，恒有，则函数一定是偶函数． A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误 三、解答题（本大题共5题，满分78分，解答要有详细的论证过程与运算步骤，请将解答过程写在答题纸对应位置．） 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分．） 已知函数其中实数． （1）若的最小正周期为π，求在处的切线方程； （2）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分．） 如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形，B是该圆柱底面圆周上异于A、C两点的点． （1）设平面平面，求证：； （2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的大小． 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．） 某商场为了解顾客购买AI手机的意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表． 购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 （1）根据表中数据，判断是否有95%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由； （2）从这110位男性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买AI手机的概率（精确到0.01）； （3）为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励300元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为X元，求随机变量X的数学期望． 参考公式及数据：①，其中． ②，，，． 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．） 已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点． （1）求双曲线C的渐近线方程； （2）若M是双曲线上在第一象限的点，，求的面积； （3）已知直线l过点，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段上，若，求点P的坐标． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．） 设连续函数定义域为I，区间，记函数在区间D上的最大值为，最小值为． （1）设，，若，求实数a的值； （2）设，，若，且，求t的值； （3）已知，，且对任意闭区间，与均存在． 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有．” 学科网（北京）股份有限公司 $