2025-2026学年高一下学期数学期末模拟练习三（人教A版）

**基本信息** 2025-2026学年高一数学期末模拟卷，以120分钟150分设计，通过向量、解三角形、立体几何、统计等知识，结合救援船航行、身高统计等情境，分层考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|向量运算、百分位数、三棱台侧面积|第7题以海上救援情境考查解三角形，体现数学应用意识| |填空题|3题/15分|向量概率、独立性检验、正方体截面|第13题结合抖音调查考独立性检验，培养数据观念| |解答题|5题/77分|复数分类、解三角形周长、四棱柱体积、统计分析|第19题对比训练前后成绩，通过频率分布与独立性检验，发展数学思维与数据语言表达能力|

2025-2026学年第二学期高一数学期末模拟练习三 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知，．若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．不存在 【答案】C 【分析】根据两个实数才能比较大小进行求解即可. 【详解】因为， 所以，解得或． 故选：C 2.一组从小到大排列的数据：，，，，，，，，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】数据，，，，，，，，，已是由小到大的排列，数据共个， 中位数为第个与第个数据的平均值即中位数为， 由，因此百分位数为第个与第个数据的平均值即， 得，解得， 故选：A． 3.在中，，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．24 D．48 【答案】C 【分析】先根据余弦定理求出边的长度，再利用三角形面积公式求出三角形面积即可. 【解析】设，根据余弦定理， 已知，，，代入可得： ，即，解得， 由于，则为直角三角形， 则. 故选：C. 4.如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因，则， 故， 因三点共线，故设，则， 因，则，解得． 故选：D． 5．已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正棱台补全为棱锥，求出棱锥、棱台的高，确定上底面的位置，求出棱锥侧面积，进而求出棱台的侧面积. 【解析】将正棱台补全为正三棱锥，为底面中心， ，，则， 棱台的高，棱台上底面是正三棱锥的中截面， ，等腰高为， 面积为，等腰梯形的面积为， 所以该三棱台的侧面积为. 故选：D 6.在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，得即为异面直线与所成的角，设，利用余弦定理可得答案. 【解析】连接，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以即为异面直线与所成的角或补角， 设，则，， 连接，则，因为， 所以平面，平面，所以， ，， 由余弦定理得. 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：D. 7．如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（    ） A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时 【答案】B 【解析】由题意，在中，，，，所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：B. 8．如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设， 因此， 因此，设 所以 当时，最小值为 故选B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，角，，所对的边分别为、、.若，，则（    ） A． 时，只存在一个 B．时，的面积为 C．时，是锐角三角形 D．时，外接圆周长为 【答案】BC 【解析】对于A，由正弦定理有，即，解得，此时不存在； 对于B，由余弦定理有，即， 即，解得，此时的面积为，故B正确； 对于C，由正弦定理有，即，解得， 因为，所以也是锐角，所以， 所以， 所以也是锐角，所以是锐角三角形，故C正确； 对于D，由正弦定理有，外接圆周长为，故D错误. 故选：BC. 10．某学校从高一的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，⋯，第八组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.以下说法正确的是（    ） A．第二组的频率为0.016 B．第七组的频率为0.06 C．估计该校高一800名男生的身高的中位数约为 D．估计该校高一800名男生的身高的平均数约为 【答案】BCD 【解析】对于A，第二组的频率为，故A错误； 对于B，由题意得第六组人数为4人，则有第六组的频率为，纵坐标为0.016， 所以第七组的满足，故B正确； 对于C，由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 由于，， 设这所学校高一800名男生的身高中位数为，则， 则有，解得，故C正确； 对于D，设这所学校高一800名男生的身高平均数为， 身高在第五组的频率为， 身高在第六组的频率为， 身高在第七组的频率为， 身高在第八组的频率为， 则有， 故D正确. 故选：BCD. 11.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长. 【解析】A选项，过点作垂直于轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，A错误； B选项，由斜二测法可知，B正确； C选项，作出原图形，可知，，，， 故四边形的面积为，C正确； D选项，过点作于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，D错误． 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是 . 【答案】 【解析】设表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有个， 由，即， 故满足的基本事件有共个， 所以所求概率为. 故答案：. 13.某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95％的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生至少有 人． 参考数据：， 【答案】45 【分析】设被调查的男女生为人，写出列联表，应用卡方公式求卡方值，结合求参数范围，进而确定被调查的男生为，即可答案. 【解析】设被调查的男女生为人，则男生喜欢抖音有人，女生喜欢抖音有人， 所以列联表如下： 喜欢抖音 不喜欢抖音 总计 男生 女生 总计 则，解得， 因此被调查的男生为，又，则人数是5的正整数倍， 所以大于等于45的5的整数倍都符合题意，调查人数中男生至少有人. 故答案为： 14.如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，作出截面并求出其面积. 【解析】在正方体中，取的中点，的中点，连接， 由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？ （1）复数实数； （2）复数纯虚数； （3）复平面内，复数对应的点位于直线上. 【答案】（1）或；（2）；（3）或. 【分析】（1）由虚部为0，求解值； （2）由实部为0且虚部不为0，列式求解值； （3）由实部与虚部的和为0，列式求解值． 【解析】由题可知，复数， （1）当为实数时，则虚部为0， 由，解得：或； （2）当纯虚数时，实部为0且虚部不为0， 由，解得：； （3）当对应的点位于直线上时，则， 即：实部与虚部的和为0， 由，解得：或． 16.(15分)的内角的对边分别为 (1)求A； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】（1）由得， 因为 ， 所以， 即， 因为，所以，所以，所以， 因为，所以； （2）因为三角形的面积为，所以，所以， 由余弦定理知，即， 所以， 故， 所以三角形的周长为. 17.(15分)如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，点是线段上的一个动点，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若四棱柱的体积为，求三棱锥的体积的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连接，由中位线可知，然后结合线面平行的判定定理即可得证； （2） 由是的中点得，再由平面，， 所以，又，，联立即可得解. 【解析】（1）在四棱柱中，连接，如图， 因、分别是、的中点，则有， 又平面，平面，所以平面. （2）由是的中点得， 在四棱柱中，，， 故四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，则平面， 又点是线段上的一个动点， 则， 所以三棱锥的体积的值. 18．（17分）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆圆心为O，且，． (1)求的取值范围； (2)求和面积之差的最大值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，可化为， 由余弦定理知，，又,所以， 由, 因为为锐角外接圆圆心， 所以 由余弦定理得，， 所以， 由正弦定理得，，则， 由,解得，所以，则， 所以. （2）设的外接圆半径为，则,且,即, 因为, 所以, , 所以, 所以当即时， 和面积之差的最大值 19．（17分）某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图. (1)根据图中数据，估计强化训练前的成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；并求强化训练后的成绩的60%分位数. (2)规定得分80分以上（含80分）的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”. 强化训练 是否优秀 合计 优秀 非优秀 强化训练前 强化训练后 合计 将上面的表格补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化训练有关？ 附：，. 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)平均数为，分位数为； (2)表格见解析，认为跳水运动员是否优秀与强化训练有关. 【分析】（1）根据题意求各组的频率，结合平均数和分位数的定义运算求解即可； （2）完善列联表，求值，结合独立性检验思想分析判断. 【解析】（1）因为强化训练前的各组频率分别为，，，，，； 强化训练前的成绩的平均数， 强化训练后的各组频率分别为，，，，， 又因为前三组频率之和为， 前四组频率之和为， 可知分位数在内，设分位数为， 则，解得， 所以分位数约为； （2）零假设为：跳水运动员是否优秀与强化训练无关， 补充完整的表格为 优秀人数 非优秀人数 合计 强化训练前 40 60 100 强化训练后 60 40 100 合计 100 100 200 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以认为跳水运动员是否优秀与强化训练有关. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一数学期末模拟练习三 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知，．若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．不存在 2.一组从小到大排列的数据：，，，，，，，，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.在中，，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．24 D．48 4.如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 5．已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 6.在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 7．如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（    ） A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时 8．如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为( ) A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，角，，所对的边分别为、、.若，，则（    ） A． 时，只存在一个 B．时，的面积为 C．时，是锐角三角形 D．时，外接圆周长为 10．某学校从高一的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，⋯，第八组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.以下说法正确的是（     ） A．第二组的频率为0.016 B．第七组的频率为0.06 C．估计该校高一800名男生的身高的中位数约为 D．估计该校高一800名男生的身高的平均数约为 11.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A. B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是 . 13.某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95％的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生至少有 人． 参考数据：， 14.如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？ （1）复数实数； （2）复数纯虚数； （3）复平面内，复数对应的点位于直线上. 16.(15分).的内角的对边分别为 (1)求A； (2)若的面积为，求的周长. 17.(15分)如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，点是线段上的一个动点，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若四棱柱的体积为，求三棱锥的体积的值. 18．（17分）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆圆心为O，且，． (1)求的取值范围； (2)求和面积之差的最大值． 19．（17分）某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图. (1)根据图中数据，估计强化训练前的成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；并求强化训练后的成绩的60%分位数. (2)规定得分80分以上（含80分）的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”. 强化训练 是否优秀 合计 优秀 非优秀 强化训练前 强化训练后 合计 将上面的表格补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化训练有关？ 附：，. 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $