精品解析：福建省漳州市龙海区第四中学2025-2026学年九年级下学期第一次素养测试数学试题

龙海四中2025—2026学年下学期第一次素养测试 九年级数学 考试范围：中考综合；考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中最小的是（　　） A. B. C. 3 D. 2. 数学推理与运算离不开数学符号的规范使用，下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 福州市博物馆馆藏“碗礁一号”沉船出水代表文物——黄釉青花莲花蕉叶纹瓷葫芦瓶（如图1）．该文物兼具艺术价值与历史研究意义，为馆内重要的海上丝绸之路文物之一．图2为其示意图，关于其三视图的描述，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 5. 在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是半圆的直径，现将一块含的直角三角板如图放置，角的顶点落在半圆上，一条直角边经过点，斜边交半圆于点．则等于（ ） A. B. C. D. 8. 甲，乙，丙，丁四名学生参加“中学生科学素养”选拔赛，图中显示了这四名学生在选拔赛中的方差与平均分数．学校需从中选出一名成绩较好且发挥稳定的学生参加后续比赛，则最合适的学生是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 我国古代数学名著中有一题，其大意为：“现在有绫布和罗布，它们的长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，■”．设绫布有尺，则可得方程为．根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ） A. 买一尺绫布和一尺罗布一共需要文 B. 每尺绫布比每尺罗布便宜文 C. 绫布的总价比罗布的总价便宜文 D. 每尺绫布比每尺罗布贵文 10. 抛物线过点，，将抛物线向上平移2个单位后，得到抛物线，若抛物线上有两点，，使得一定成立，则a的取值范围为（ ） A. 或 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若2025年11月14日16时40分，我国“神舟二十一号”载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞船在轨飞行总里程约18000000公里，首次实现了约3.5小时的快速交会对接，创造了载人航天的新纪录．将18000000用科学记数法表示为_____． 12. 电路图中有3个开关，A、B、C和两个小灯泡、，同时闭合两个开关，能形成闭合电路的概率____． 13. 四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____． 14. 在的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，交网格线于点E，则的值是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，顶点，在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为6，点的纵坐标为，点的坐标为．则_____． 16. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连结、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④．以上结论中，正确的有________（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 18. 如图，点E，F分别在矩形的边，上，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中x=3． 20. 为响应全面开展素质教育的号召，班主任林老师在班里随机抽取了四个小组的学生对其生活习惯和学习习惯进行了调研，将调研结果分成四类，A：优秀；B：良好；C：一般；D：较差；将调研结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据下列图形解答问题： （1）林老师调查的同学的人数是　　　　　； （2）D所对应扇形圆心角的大小为　　　　　； （3）养成习惯从日常生活做起，林老师从A类和D类学生中各随机选取一位同学组成互助小组，请用列表或画树形图的方法求出所选两位同学恰好都是女生的概率． 21. 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 （1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 22. 如图，为等边三角形，点D在边上． （1）在内部求作点E，使得是以为底边的等腰直角三角形；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接延长交于点F，若，求证：． 23. 如图，在中，，，点D是内一点，且． （1）求证：； （2）将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接交于点F．若点F恰是的中点，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 24. 已知抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点，为该抛物线上的不同两点，其中．垂直y轴，垂足为C，连接．求证： ①； ②平分． 25. 如图，，是的直径，连接，，过点C作于点P，交于点F，交于另一点E，过点C作的切线交的延长线于点G． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙海四中2025—2026学年下学期第一次素养测试 九年级数学 考试范围：中考综合；考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中最小的是（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算绝对值，再比较大小即可． 本题考查了有理数的大小比较，绝对值计算，熟练掌握绝对值的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∴， 故最小的数是， 故选：D． 2. 数学推理与运算离不开数学符号的规范使用，下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，解题的关键是掌握两种图形的判定方法（轴对称图形沿直线折叠后重合，中心对称图形绕中心旋转后重合）． 分别判断各选项图形是否同时满足轴对称和中心对称的判定条件． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，此选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算法则，需运用合并同类项，同底数幂除法，幂的乘方，积的乘方的法则，逐一判断选项得到正确结果． 【详解】解：对选项A，根据合并同类项法则，系数相加，字母和指数不变， ，，故A错误； 对选项B，根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减，，，故B错误； 对选项C，根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，，故 C正确； 对选项D，根据积的乘方法则，每个因式分别乘方再相乘，，，故 D错误． 4. 福州市博物馆馆藏“碗礁一号”沉船出水代表文物——黄釉青花莲花蕉叶纹瓷葫芦瓶（如图1）．该文物兼具艺术价值与历史研究意义，为馆内重要的海上丝绸之路文物之一．图2为其示意图，关于其三视图的描述，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图形观察可知，这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图、左视图不相同． 5. 在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、几何图中角度的计算，过的顶点作直线，将分成和，则，由平行线的性质得出，，即可得解． 【详解】解：如图，过的顶点作直线，将分成和， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 6. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为， 故选：B． 7. 如图，是半圆的直径，现将一块含的直角三角板如图放置，角的顶点落在半圆上，一条直角边经过点，斜边交半圆于点．则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：，， ． 8. 甲，乙，丙，丁四名学生参加“中学生科学素养”选拔赛，图中显示了这四名学生在选拔赛中的方差与平均分数．学校需从中选出一名成绩较好且发挥稳定的学生参加后续比赛，则最合适的学生是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】首先比较平均数，再比较方差即可得出结论． 【详解】解：从平均分数看：， 从方差看：， 所以丙的平均分数最大（成绩最好），且方差最小（发挥最稳定），因此最合适的学生是丙． 9. 我国古代数学名著中有一题，其大意为：“现在有绫布和罗布，它们的长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，■”．设绫布有尺，则可得方程为．根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ） A. 买一尺绫布和一尺罗布一共需要文 B. 每尺绫布比每尺罗布便宜文 C. 绫布的总价比罗布的总价便宜文 D. 每尺绫布比每尺罗布贵文 【答案】A 【解析】 【分析】设绫布有尺，根据设出的未知数表示出两种布的单价，再结合给出的方程判断缺失条件． 【详解】解：设绫布有尺，由题意可知绫布和罗布总长为尺， 罗布的长度为尺， 绫布和罗布的总价均为文， 每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文， 已知方程为， 该方程的意义为：每尺绫布的价格与每尺罗布的价格之和为文，即买一尺绫布和一尺罗布一共需要文． 10. 抛物线过点，，将抛物线向上平移2个单位后，得到抛物线，若抛物线上有两点，，使得一定成立，则a的取值范围为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线与x轴两交点，求出对称轴；根据抛物线平移对称轴不变，算出A、B两点到对称轴的距离，分别为定值2和；按开口向上：函数值越大，离对称轴距离越远；开口向下，函数值越小，离对称轴距离越远，分类进行讨论，根据列绝对值不等式，结合a的正负范围取交集，求出a的取值范围． 【详解】解：∵抛物线过点，，且P、Q是两个不同交点， ∴，且， ∴其对称轴为： ∵抛物线向上平移2个单位得到，对称轴不变， ∴的对称轴仍为． ∵，，两点到对称轴的距离分别为： 当时（开口向上）： 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大． 要使恒成立，需，即： 解得或， 即或． ∵ ∴． 当时（开口向下）： 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小． 要使恒成立，需， 即： 解得，即． ∵， ∴． 综合两种情况可得：a的取值范围为：或． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若2025年11月14日16时40分，我国“神舟二十一号”载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞船在轨飞行总里程约18000000公里，首次实现了约3.5小时的快速交会对接，创造了载人航天的新纪录．将18000000用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数. 确定的值时，小数点移动的位数等于的绝对值，原数绝对值大于等于10时，为正整数. 【详解】解：将原数的小数点向左移动7位得到，可得． 12. 电路图中有3个开关，A、B、C和两个小灯泡、，同时闭合两个开关，能形成闭合电路的概率____． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关，能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关，能形成闭合电路的结果有4种， ∴同时闭合两个开关，能形成闭合电路的概率是， 13. 四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得和，根据正六边形的性质可得其内角为，即，最后利用四边形的内角和为即可求的度数． 【详解】解：设与交于点，  ∵四边形是正方形, ∴，, ∵以为边作一个正六边形， ∴正六边形的内角为， ∴． 在四边形中，由四边形内角和定理得：，  即， ∴． 14. 在的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，交网格线于点E，则的值是______． 【答案】 2 【解析】 【分析】首先，根据已知条件，得出，得，最后，得． 【详解】解：如图，在的正方形网格中， ∵， ∴， ∵， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，顶点，在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为6，点的纵坐标为，点的坐标为．则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，连接交于点，推导出 ，，点在的平分线上，得到证明，推导出，，再根据点P为的中点，得到，代入求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，连接交于点，则 ，， 四边形是菱形，点的纵坐标为6，点的纵坐标为， ，， ， ∴点在的平分线上， ， ∴ ， ， ， ，， 四边形是菱形， ∴点P为的中点， ， ， ． 16. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连结、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④．以上结论中，正确的有________（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解答本题的关键要明确：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 根据正方形和等边三角形中角度关系可得，再由解的直角三角形判断结论①；根据叫两个角对应相等判断结论②即可；证明，即可判断结论③；构造辅助线，通过面积求解即可． 【详解】解：在等边中，， 正方形中， ∴， 在中，则，结论①正确； 由得， ∴， ∵是等边三角形，四边形为正方形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， 即， 在与中， ， ∴，结论②正确； ∵，， 即， 又， ∴， ∴，即，结论③正确； 过点P作，，如图， 设正方形的边长为4，则正方形的面积为16， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，，则， 在中，，则， ∵ ， ∴，结论④错误． 故答案为：①②③． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算， 根据，再计算即可． 【详解】解：原式， ． 18. 如图，点E，F分别在矩形的边，上，，．求证：． 【答案】 证明：四边形为矩形， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，结合，，可得，即得答案． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中x=3． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式= ． 当x=3时，原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键. 20. 为响应全面开展素质教育的号召，班主任林老师在班里随机抽取了四个小组的学生对其生活习惯和学习习惯进行了调研，将调研结果分成四类，A：优秀；B：良好；C：一般；D：较差；将调研结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据下列图形解答问题： （1）林老师调查的同学的人数是　　　　　； （2）D所对应扇形圆心角的大小为　　　　　； （3）养成习惯从日常生活做起，林老师从A类和D类学生中各随机选取一位同学组成互助小组，请用列表或画树形图的方法求出所选两位同学恰好都是女生的概率． 【答案】（1）20 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用B类学生总数除以所占的比例求出调查的总人数； （2）用乘以D类学生所占的比例求出圆心角的度数即可； （3）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（人）； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 由图可知，A类和D类共有2名男生，3名女生，列表如下： 男1 男2 女1 女2 女3 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男1，女3 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 男2，女3 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女1，女3 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 女2，女3 女3 女3，男1 女3，男2 女3，女1 女3，女2 共20种等可能的结果，其中两名女生的情况有6种， ∴． 21. 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 （1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】（1）长款服装购进30件，短款服装购进20件； （2）当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设购进服装x件，购进长款服装y件，根据“用4300元购进长、短两款服装共50件，”列二元一次方程组计算求解； （2）设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据“第二次进货总价不高于16800元”列不等式计算求解，然后结合一次函数的性质分析求最值． 【小问1详解】 解：设购进短款服装x件，购进长款服装y件， 由题意可得， 解得， 答：长款服装购进30件，短款服装购进20件． 【小问2详解】 解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元，则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴（元）． 答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 22. 如图，为等边三角形，点D在边上． （1）在内部求作点E，使得是以为底边的等腰直角三角形；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接延长交于点F，若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先作的垂直平分线，再以的中点为圆心，以长为半径作圆，则圆与的垂直平分线相交，在内部的交点E即为所求； （2）由是以为底边的等腰直角三角形得到，由为等边三角形得到，则，进一步求得，则，由得到，则，由等腰三角形的性质即可得到，则，即可得到结论． 【小问1详解】 如图，满足要求， ∵点E在线段的垂直平分线上， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形，满足要求； 【小问2详解】 如图， ∵是以为底边的等腰直角三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了垂直平分线的作图和性质、圆的作图、圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，正确作图是解题的关键． 23. 如图，在中，，，点D是内一点，且． （1）求证：； （2）将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接交于点F．若点F恰是的中点，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 过点C作于N，交于点，连接， ∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点F恰是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，，即可得到结论； （2）过点C作于N，交于点，连接，证明，得到，，再证明，得到，证明，得到，最后证明，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点，为该抛物线上的不同两点，其中．垂直y轴，垂足为C，连接．求证： ①； ②平分． 【答案】（1） （2） 解：①∵，， 设直线表达式为， 则， 解得：， ∴所在直线的解析式为， 联立得， 整理得， 由题意和是方程的两个实数根， ∴； ②过点和作直线的垂线，垂足分别为和， ∵点，为抛物线上的不同两点， ∴点，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①由题意得所在直线的解析式为，联立得到，即和是方程的两个实数根，利用根与系数的关系求解即可； ②过点和作直线的垂线，垂足分别为和，得到点，，求得，，推出，利用正切函数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 25. 如图，，是的直径，连接，，过点C作于点P，交于点F，交于另一点E，过点C作的切线交的延长线于点G． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵与的相切于点C，是的直径， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ （3）4 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质以及相似三角形的性质是解答的关键． （1）根据切线的性质和等腰三角形的性质，结合等角的余角相等得到，进而利用等角对等边可得结论； （2）先利用直径所对的圆周角是直角得到，再利用等角的余角相等得到，则可证明得到；再证明，得到，据此可证明结论； （3）设，，则，，，证明求得，再利用等腰三角形的性质得到，由列方程求解x值即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由可设，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，即⊙的半径是4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $