精品解析：福建省泉州市洛江区外国语学校2025-2026学年九年级下学期第一次阶段测试数学试题

泉州市洛江区外国语学校初三年第一次月考--数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程，常数项为（ ） A. 1 B. C. D. 7 4. 在下列四组线段中，成比例线段的是（　　） A. 3、4、5、6 B. 5、15、2、6 C. 4、8、3、5 D. 8、4、1、3 5. 关于 的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 用配方法解方程时，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 8. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为 ，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A. B. C. D. 10. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 若，则的值为_______． 12. 若方程是关于 的一元二次方程，则___________． 13. 若与最简二次根式是同类二次根式，则_______． 14. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________． 15. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段 分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段 的黄金分割点．若，则的长为______． 16. 如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿方向运动，速度是；动点Q从点B出发，沿 方向运动，速度是，若P、Q同时出发，点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动，在_______s时，与相似． 三、解答题（本题共8小题，共86分．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+． 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 21. 如图， ，相交于点，． （1）求证：； （2）已知，，的面积为50，求的面积． 22. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 23. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 24. 下面是小艾进行数学学科项目学习时记录的部分内容． 项目主题：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 项目探究：如图1，图中是小艾家放置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示． 下图是用闲置纸板箱拆解出的长方形纸板①，②，两种长方形纸板宽均为． 项目成果：小艾分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①制作方式：裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 长方形纸板②制作方式：将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 请你帮助小艾完成下列项目任务： 任务一：按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a为__________cm； 任务二：利用任务一计算所得的数据a，进一步探究． （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求裁去角上4个相同的小正方形的边长； （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为，求小长方形的边的长． 25. 如图，在菱形中，对角线、相交于点， 是上一点，点关于的对称点为点，连接交于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）当时，且，． 求的面积； 求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州市洛江区外国语学校初三年第一次月考--数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式．对原式进行化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、是最简二次根式，本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除法则，解题的关键是掌握相应的运算法则，判断不能继续合并，，，因此ABC均错误，正确． 【详解】解：A．不能合并，选项错误，不符合题意； B．，选项错误，不符合题意； C．，选项错误，不符合题意； D．，选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 一元二次方程，常数项为（ ） A. 1 B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，在一元二次方程（其中a、b、c是常数，且）中，c叫做一元二次方程的常数项，据此把原方程化为一般式即可得到答案． 【详解】解：把原方程化为一般式得， ∴原方程的常数项为， 故选：C． 4. 在下列四组线段中，成比例线段的是（　　） A. 3、4、5、6 B. 5、15、2、6 C. 4、8、3、5 D. 8、4、1、3 【答案】B 【解析】 【详解】A、因为3：4≠5：6，则3、4、5、6不是比例线段，所以A选项错误； B、因为5：15=2：6，则5、：15、2、6是比例线段，所以B选项正确； C、因为4：8≠3：5，则4、8、3、5不是比例线段，所以C选项错误； D、因为8：4≠1：3，则8、4、1、3不是比例线段，所以D选项错误． 故选：B． 5. 关于 的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到，根据一元二次方程有两个实数根得到，求出的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 又∵， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握根的判别式与方程的解的关系是解题的关键，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 6. 用配方法解方程时，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，再配方即可判断． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即； 故选：A． 7. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为 ，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为 ，依题意可列方程为， 故选D． 9. 已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键：有两组角对应相等的两个三角形相似，两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、由两组对应边的成比例但是它们的夹角不一定相等，不可证阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、两边对应成比例且它们的夹角相等，能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项D不符合题意； 故选：B． 10. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 把化为： 再结合题意可得，从而可得方程的解． 【详解】解：可化为： 关于 的一元二次方程有一个根为， 把看作是整体未知数，则 即有一根为． 故选D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，（），代入所求式子消去参数得到结果． 【详解】解：∵， ∴设，（）， 代入得：． 12. 若方程是关于 的一元二次方程，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，绝对值方程等知识点，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可得，，解该一元一次不等式和绝对值方程即可得出答案． 【详解】解：是关于 的一元二次方程， ，， 解得：， 故答案为：． 13. 若与最简二次根式是同类二次根式，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，理解“化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式”是解决问题的关键． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：2． 14. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案． 【详解】∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键． 15. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段 分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段 的黄金分割点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系与已知条件，设，代入转化一元二次方程求解即可． 【详解】解：设， 依题意，， ∴ ∴ 即 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿方向运动，速度是；动点Q从点B出发，沿 方向运动，速度是，若P、Q同时出发，点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动，在_______s时，与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】分和两种情况，根据相似三角形的性质列出关系式，解方程即可 【详解】解：设x秒后与相似， 当时， ， 即， 解得， 当时， ， 即， 解得， 即秒或秒后与相似． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 三、解答题（本题共8小题，共86分．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）先计算零次幂、化简根式，对分式分母有理化，最后合并同类二次根式求值； （）分别化简根式、用完全平方公式展开平方项，合并同类项消去根号项得到整数结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解得，； 【小问2详解】 或 解得，． 19. 先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式＝ ； a＝-，b＝+， ∴原式 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键． 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 21. 如图， ，相交于点，． （1）求证：； （2）已知，，的面积为50，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，又， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 22. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 【答案】（1）k≤3；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得． （2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴△≥0，即≥0， 解得：k≤3， 故k的取值范围为：k≤3． （2）由根与系数的关系可得， 由可得， 代入x1＋x2和x1x2的值，可得： 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根， 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根． 23. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为 ，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为 ， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 24. 下面是小艾进行数学学科项目学习时记录的部分内容． 项目主题：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 项目探究：如图1，图中是小艾家放置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示． 下图是用闲置纸板箱拆解出的长方形纸板①，②，两种长方形纸板宽均为． 项目成果：小艾分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①制作方式：裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 长方形纸板②制作方式：将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 请你帮助小艾完成下列项目任务： 任务一：按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a为__________cm； 任务二：利用任务一计算所得的数据a，进一步探究． （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求裁去角上4个相同的小正方形的边长； （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为，求小长方形的边的长． 【答案】任务一：40；任务二：（1）小正方形的边长；（2）小长方形的边的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，合理将实际问题转化成方程是解决此题的关键． 任务一：先根据长方形纸板的长为，储物盒的区域长为求出制作的储物盒高，再求出a的值即可； 任务二：（1）设截去的小正方形边长为，根据储物盒的底面积是列出方程，解方程即可； （2）设小长方形的边的长为，根据盒子的底面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：任务一：储物区域的长为，由于储物盒可以完全放入储物区域， 按照长方形纸板①的制作方式在四角裁去小正方形的边长为：， 则收纳盒的宽小正方形的边长； 任务二：（1）设截去的小正方形边长为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：裁去角上4个相同的小正方形的边长为； （2）设小长方形的边的长为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：小长方形的边的长为． 25. 如图，在菱形中，对角线、相交于点， 是上一点，点关于的对称点为点，连接交于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）当时，且，． 求的面积； 求的长． 【答案】（1）见解析； （2）； ． 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知，根据等边对等角可得，根据对称性可得，等量代换可得，根据对顶角相等可得，根据有两个角对应相等的三角形相似可证结论成立； 根据菱形的性质和勾股定理可以求出，从而可知，根据可得、，设，，根据相似三角形对应边成比例可得，从而可以求出 、的值，根据三角形的面积公式可以求出结果； 根据菱形的性质可以得到，根据相似三角形对应边成比例可以求出结果． 【小问1详解】 解：在菱形中， ， 点关于的对称点为点， ， ， 又， ； 【小问2详解】 解：在菱形中，， 又，， ， 在中，由勾股定理，得， ， 又， ，， 设，， 则，， 由可得， ， ， ， ； 在菱形中，平分， ． 由得，， ， 又， ， ， 由得，， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质．解决本题的关键是利用菱形的性质找到边和角之间的关系，证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $