第六章 变量之间的关系讲义2025-2026学年北师大版数学七年级下册

变量之间的关系 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 变量与常量 考点梳理 1、基本概念： 变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量。 常量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量。 示例：在汽车以60km/h的速度匀速行驶的过程中，路程s随时间t的变化而变化。指出其中的变量与常量。 解：变量是路程s和时间t；常量是速度60km/h。 2、自变量与因变量 变量：在变化过程中主动变化的量（通常是自己变化的）。 因变量：在变化过程中随自变量变化而变化的量（通常是由自变量决定的）。 判断方法： 谁先变、谁主动、谁是原因 → 自变量 谁后变、谁被动、谁是结果 → 因变量 示例：在“气温随着海拔的升高而降低”中，自变量和因变量分别是什么？ 解：自变量是海拔，因变量是气温（海拔变化导致气温变化）。 3、易错点： （1）变量与常量混淆：常量的数值不变，变量的数值在变。如公式s=60t中，60是常量，s和t是变量。 （2）自变量与因变量颠倒：误将因变量当作自变量。可以问自己：哪个量的变化导致了另一个量的变化？ （3）多个变量时区分不清：需要根据变化过程中的因果关系来判断。 考点02 用表格表示变量之间的关系 考点梳理 1、常量与变量：在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量． 注意：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 特别说明：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量. 是自变量，是因变量. 2、自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量． 区别：自变量是先发生变化或主动发生变化的量；因变量是后发生变化或随着自变量的变化而变化的量； 联系：两者都是某一变化过程中的变量；两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以相互转化． 3、从表格中寻找变化规律 （1）弄清表中所列的是哪两个量，即分清哪一个是自变量，哪一个是因变量； （2）结合现实情景理解两个变量之间的关系，是增加还是减少还是呈规律性的起伏变化． （3）特点：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛； 特别说明：表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等. 典例引领 考向01 用表格表示变量之间的关系 【例1】下图呈现了大气压强与海拔之间的关系． (1)根据图中的数据填写下表． 海拔 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 大气压强 (2)随着海拔的变化，大气压强的变化趋势是怎样的？ 对点提升 【对点1】水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 考点03 用关系式表示变量之间的关系 考点梳理 1、表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法． 注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式； （2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来； （3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围． （4）关系式（解析式）法准确地反映了因变量与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的因变量的值，反之亦然； 2、利用关系式求值 根据关系式求值实际上就是求代数式的值． 注意：已知自变量的值利用关系式求因变量的值实质是求代数式的值，已知因变量的值利用关系式求自变量的值实质是解方程． 特别说明：关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式. 典例引领 考向01 用关系式表示变量之间的关系 【例1】盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示： 重量（单位：千克） 0 2 3 指针转过的角度 (1)请直接写出_______，______； (2)设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为_______； (3)某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果． 对点提升 【对点1】幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则与的关系可以表示为________． 考点04 用图象表示变量之间的关系 考点梳理 1、图象法：用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法． 图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，是研究变量之间关系的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值． 2、行程中的图象问题：在行程问题中，“速度与时间”图象和“路程与时间”图象是从两个不同的角度描述行程问题中变量之间的关系图象，注意区分． 3、从图象中获取信息 （1）借助于图象，可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值或当因变量取某一个值时，对应的自变量取什么值； （2）利用图象可以判断因变量的变化趋势； （3）利用图象上一系列的点所表示的自变量与因变量的对应值，还可以得到表示两个变量之间关系的表格或关系式． 特别说明：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色. 图像特征 含义 示例 上升（从左到右） 因变量随自变量增大而增大 速度不变时的路程—时间图 下降（从左到右） 因变量随自变量增大而减小 匀速耗油时的油量—时间图 水平（不变） 因变量不随自变量变化 静止不动时的路程—时间图 越来越陡 变化速度越来越快 加速运动的路程—时间图 越来越平缓 变化速度越来越慢 减速运动的路程—时间图 典例引领 考向01 用图象表示变量之间的关系 【例1】全球首次“人机共跑”半程马拉松于年月日在北京完赛，经过时40分秒的奔跑，机器人“天工”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： (1)本次比赛全程是________，机器人_______先到达终点； (2)机器人甲的平均速度是________； (3)机器人乙由于故障在途中停留了_______，恢复运行后，机器人乙的速度______机器人甲的速度（填“”“”或“”）； (4)出发________时，甲乙两个机器人相距． 对点提升 【对点1】小明从家骑自行车去C处的图书馆，先走上坡路到达A处，再走平路到达B处，最后走下坡路到达图书馆，小明的行程情况和时间分配情况如下图所示． (1)小明平路每分钟比上坡每分钟多行几米？ (2)小明骑自行车下坡用时多少分钟？ 考点05 三种表示方法的比较与选择 考点梳理 方法 优点 缺点 适用情况 表格法 具体、直观，便于查值 数据有限，不能看整体趋势 数据量小，需要精确值时 关系式法 精确，可求任意值 不直观，不能直接看变化趋势 需要精确计算时 图像法 直观看出变化趋势和整体情况 读数可能不精确 分析变化规律和趋势时 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切、项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温（） … 11 13 15 17 19 … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 56 70 84 98 112 … 根据表格规律，若该地当时的气温为，则这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为（     ） A．98次 B．112次 C．126次 D．140次 2．学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格如下： 水温（） 22 40 56 70 82 …… 时间（时：分） 12:03 12:08 12:13 12:18 12:23 …… 请你帮小俊推算水烧开（）的时间预计为（ ） A．12:30 B．12:33 C．12:35 D．12:38 3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间有下面的关系（在弹性限度内），下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧的长度增加 D．所挂物体质量为时，弹簧的长度为 4．跨学科试题·物理  在烧开水时，水温达到就会沸腾，如表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的两个变量时间和温度的数据： 0 2 4 6 8 10 12 14 … 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即），温度T与时间t的关系式及自变量分别为（     ） A．，t B．，t C．，t D．，T 5．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 6．清明节期间，某校学生代表前往烈士陵园祭扫．队伍乘大巴匀速行驶20分钟到达陵园，活动历时40分钟；活动结束后原路匀速返校，因车流量较大，返程用时比去程多20分钟．设学生离学校的距离为米，离校时间为分钟，下列图象能大致反映与关系的是（   ） A． B． C． D． 7．中国古代数学成就显著，《算法统宗》中有这样的叙述：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半．”大意是：要去路程为里的某关口，第一天腿脚利落快速行走，第二天起，因为脚痛每天只能走前一天一半的路程，设第一天行走里，则此人第三天晚上距离关口的路程（里）与（里）之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 8．某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 小车下滑的时间 下列说法错误的是（   ） A．h每增加，t减小 B．当时， C．随着h逐渐升高，t逐渐变小 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 9．如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 10．下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长=（12-日出时刻）2=（日落时刻-12）2．下列结论中正确的是（   ） A．立夏这天的日出时刻是5:30 B．白昼时长在12 h～15 h的有10天 C．立冬这天的日落时刻是17:00 D．小满时白昼时间最长 2、 填空题 11．某学习小组学生进行了如下实验：将篮球从高处落下，记录弹跳高度与下降高度的数据，并制作了如下统计表，则能表示二者函数关系的式子是__________． 50 80 100 150 25 40 50 75 12．油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升／分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数解析式是______．（不用写自变量的取值范围） 13．某班同学在探究弹簧的长度随外力的变化关系时，使用50克的砝码进行实验，记录得到的相应数据如表，则弹簧的长度（厘米）与砝码的个数（个）之间的函数关系式是_____________（，且为整数） 砝码的个数 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧长度（厘米） 5 6 7 8 9 10 11 12 14．如图①，一种圆环的外圆直径是，环宽．如图②，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，如图③，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是___________． 15．如图，是丝带连接后的示意图，把一些长度为的丝带按图中打结的方式连接起来，每打一个结，丝带总长度减少，则打结连接后的丝带总长度与用到的丝带数量的关系式为______． 3、 解答题 16．在某地，人们发现某种蟋蟀在一定温度下叫的次数与温度之间有如下的近似关系： 当地温度x（℃） 5 6 7 8 9 … 蟋蟀1min叫的次数y（次） 14 21 28 35 42 … 根据表格，回答下列问题： (1)自变量是____________，因变量是___________； (2)当地的温度x每增加，这种蟋蟀叫的次数y增加____________． (3)当这种蟋蟀叫的次数时，求此时当地的温度． 17．下图是某自行车行驶路程与时间之间的关系，分别计算自出发起内、内、内该自行车的平均速度． 18．学校组织郊外活动，两个课外兴趣小组匀速步行前进，第一组比第二组早出发，第一组经过抵达目的地．两组之间的距离y（单位：m）和第一组出发后的时间x（单位：）之间的关系如图所示． (1)请大致描述两组之间的距离的变化情况． (2)第二组从出发到抵达目的地共用了多长时间？ 19．父亲和儿子在400米的标准跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲恰好跑6步，儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等．现在儿子站在跑道200米的起点处，父亲站在400米的起点处，同时同向起跑． (1)设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米，求与的关系式，并求父亲与儿子的速度之比． (2)父亲能否在第一次到达400米的终点处前追上儿子？请通过计算，说明理由． 20．下图表示某港口某日从到水深变化的情况． (1)图中反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？ (2)请描述水深随时间的变化而变化的情况． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 变量之间的关系 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 变量与常量 考点梳理 1、基本概念： 变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量。 常量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量。 示例：在汽车以60km/h的速度匀速行驶的过程中，路程s随时间t的变化而变化。指出其中的变量与常量。 解：变量是路程s和时间t；常量是速度60km/h。 2、自变量与因变量 变量：在变化过程中主动变化的量（通常是自己变化的）。 因变量：在变化过程中随自变量变化而变化的量（通常是由自变量决定的）。 判断方法： 谁先变、谁主动、谁是原因 → 自变量 谁后变、谁被动、谁是结果 → 因变量 示例：在“气温随着海拔的升高而降低”中，自变量和因变量分别是什么？ 解：自变量是海拔，因变量是气温（海拔变化导致气温变化）。 3、易错点： （1）变量与常量混淆：常量的数值不变，变量的数值在变。如公式s=60t中，60是常量，s和t是变量。 （2）自变量与因变量颠倒：误将因变量当作自变量。可以问自己：哪个量的变化导致了另一个量的变化？ （3）多个变量时区分不清：需要根据变化过程中的因果关系来判断。 考点02 用表格表示变量之间的关系 考点梳理 1、常量与变量：在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量． 注意：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 特别说明：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量. 是自变量，是因变量. 2、自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量． 区别：自变量是先发生变化或主动发生变化的量；因变量是后发生变化或随着自变量的变化而变化的量； 联系：两者都是某一变化过程中的变量；两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以相互转化． 3、从表格中寻找变化规律 （1）弄清表中所列的是哪两个量，即分清哪一个是自变量，哪一个是因变量； （2）结合现实情景理解两个变量之间的关系，是增加还是减少还是呈规律性的起伏变化． （3）特点：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛； 特别说明：表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等. 典例引领 考向01 用表格表示变量之间的关系 【例1】下图呈现了大气压强与海拔之间的关系． (1)根据图中的数据填写下表． 海拔 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 大气压强 (2)随着海拔的变化，大气压强的变化趋势是怎样的？ 【答案】(1)，，，，，，，，． (2)随着海拔高度的增高，大气压强越来越低． 【分析】由图中海拔与大气压强的对应关系直接读取数据填表，观察可知海拔越高大气压强越低． 【详解】（1）略． （2）略． 对点提升 【对点1】水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 【答案】15 【分析】根据表格数据，时间与水的高度成正比例关系，时间每增加，水的高度增加，即可求解． 【详解】解：观察表格可知当时间为时，水的高度为，时间每增加，水的高度增加， ∴水的高度与时间成正比例关系， ∴当时间为10分钟时，容器中水的高度为． 故答案为：15． 考点03 用关系式表示变量之间的关系 考点梳理 1、表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法． 注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式； （2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来； （3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围． （4）关系式（解析式）法准确地反映了因变量与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的因变量的值，反之亦然； 2、利用关系式求值 根据关系式求值实际上就是求代数式的值． 注意：已知自变量的值利用关系式求因变量的值实质是求代数式的值，已知因变量的值利用关系式求自变量的值实质是解方程． 特别说明：关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式. 典例引领 考向01 用关系式表示变量之间的关系 【例1】盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示： 重量（单位：千克） 0 2 3 指针转过的角度 (1)请直接写出_______，______； (2)设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为_______； (3)某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果． 【答案】(1)45；10 (2) (3)12千克 【分析】（1）根据表格的数值可发现规律，重量每增加1千克，指针转过的角度增加，由此可解； （2）根据重量每增加1千克，指针转过的角度增加，即可写出与之间的关系式； （3）设出第一次称重的重量，由条件“第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克”可表示出第二次称重的重量，再根据转过的角与物体的重量之间的关系式表示出两次的旋转角度，由“指针第二次转过的角度比第一次大”建立等式即可． 【详解】（1）解：观察表格，重量每增加1千克，指针转过的角度增加， 重量为千克时，指针转过的角度为； 当指针转过的角度为时，重量为（千克）； （2）解：∵重量每增加1千克，指针转过的角度增加， ∴转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为； （3）解：设第一次称重的重量为千克， ∵第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克， ∴第二次称重的重量为千克， 由（2）知，转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为， ∴第一次称重转过的角的数值为，第二次称重转过的角的数值为， ∵指针第二次转过的角度比第一次大， ∴， 解得， ∴第一次称重的重量为3千克，第二次称重的重量为（千克）， （千克）， 答：该顾客一共购买了12千克水果． 对点提升 【对点1】幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则与的关系可以表示为________． 【答案】 【详解】解：∵幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等， ∴第三行与第三列的和都减去右下角的数结果依然相等， ∴， 移项整理得：． 考点04 用图象表示变量之间的关系 考点梳理 1、图象法：用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法． 图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，是研究变量之间关系的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值． 2、行程中的图象问题：在行程问题中，“速度与时间”图象和“路程与时间”图象是从两个不同的角度描述行程问题中变量之间的关系图象，注意区分． 3、从图象中获取信息 （1）借助于图象，可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值或当因变量取某一个值时，对应的自变量取什么值； （2）利用图象可以判断因变量的变化趋势； （3）利用图象上一系列的点所表示的自变量与因变量的对应值，还可以得到表示两个变量之间关系的表格或关系式． 特别说明：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色. 图像特征 含义 示例 上升（从左到右） 因变量随自变量增大而增大 速度不变时的路程—时间图 下降（从左到右） 因变量随自变量增大而减小 匀速耗油时的油量—时间图 水平（不变） 因变量不随自变量变化 静止不动时的路程—时间图 越来越陡 变化速度越来越快 加速运动的路程—时间图 越来越平缓 变化速度越来越慢 减速运动的路程—时间图 典例引领 考向01 用图象表示变量之间的关系 【例1】全球首次“人机共跑”半程马拉松于年月日在北京完赛，经过时40分秒的奔跑，机器人“天工”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： (1)本次比赛全程是________，机器人_______先到达终点； (2)机器人甲的平均速度是________； (3)机器人乙由于故障在途中停留了_______，恢复运行后，机器人乙的速度______机器人甲的速度（填“”“”或“”）； (4)出发________时，甲乙两个机器人相距． 【答案】(1)800；甲 (2)100 (3)3； (4)1或或或 【分析】（1）观察图象即可求解； （2）根据速度等于路程除以时间即可求解； （3）观察图象即可知乙机器人因发生故障停留的时间；恢复运行后，乙机器人跑完了余下的行程，可求得此时乙的速度并与甲的速度比较即可； （4）分四种情况考虑，利用一元一次方程求解． 【详解】（1）解：由图象知，本次比赛全程是，机器人甲先到达终点； （2）解：由图象知，甲机器人跑完了全程， 故甲机器人的平均速度为； （3）解：观察图象知，乙机器人因故障在途中停留了； 恢复运行后乙机器人的平均速度为，而， 即恢复运行后，机器人乙的速度大于机器人甲的速度； （4）解：乙机器人发生故障前的平均速度为， 当时，， 解得； 当时，， 解得或； 当时，， 当时，， 解得； 综上，当出发或或或时，甲乙两个机器人相距． 对点提升 【对点1】小明从家骑自行车去C处的图书馆，先走上坡路到达A处，再走平路到达B处，最后走下坡路到达图书馆，小明的行程情况和时间分配情况如下图所示． (1)小明平路每分钟比上坡每分钟多行几米？ (2)小明骑自行车下坡用时多少分钟？ 【答案】(1)85米 (2)7分钟 【分析】（1）根据图象求出平路和上坡的速度，即可； （2）根据上坡所用时间占到，求出总时间，再乘以下坡所占的百分比即可． 【详解】（1）平路的速度为：（米/分）， 上坡的速度为（米/分）， （米）， 答：平路每分钟比上坡每分钟多行85米； （2）解：（分钟）， 答：小明骑自行车下坡用时7分钟． 考点05 三种表示方法的比较与选择 考点梳理 方法 优点 缺点 适用情况 表格法 具体、直观，便于查值 数据有限，不能看整体趋势 数据量小，需要精确值时 关系式法 精确，可求任意值 不直观，不能直接看变化趋势 需要精确计算时 图像法 直观看出变化趋势和整体情况 读数可能不精确 分析变化规律和趋势时 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切、项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温（） … 11 13 15 17 19 … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 56 70 84 98 112 … 根据表格规律，若该地当时的气温为，则这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为（     ） A．98次 B．112次 C．126次 D．140次 【答案】C 【分析】由表格中的数据可知，气温每上升，蟋蟀每分钟的鸣叫次数增加14次，据此列式计算即可． 【详解】解：由表格中的数据可知，气温每上升，蟋蟀每分钟的鸣叫次数增加14次， ∴若该地当时的气温为，则这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为次． 2．学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格如下： 水温（） 22 40 56 70 82 …… 时间（时：分） 12:03 12:08 12:13 12:18 12:23 …… 请你帮小俊推算水烧开（）的时间预计为（ ） A．12:30 B．12:33 C．12:35 D．12:38 【答案】B 【分析】先找出水温随时间的变化规律，再根据规律计算得到水烧开的时间． 【详解】由表格可得，时间每经过5分钟，水温升高量比前一个5分钟少， ∵ ，，，，符合上述规律， ∴ 到，水温升高，此时水温为， ∴ 到，水温升高，此时水温为，达到水烧开温度， ∴水烧开时间为． 3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间有下面的关系（在弹性限度内），下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧的长度增加 D．所挂物体质量为时，弹簧的长度为 【答案】B 【分析】根据表格给出的弹簧长度与物体质量的对应关系，结合变量的相关概念逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵与都是变量，随的变化而变化， ∴是自变量，是因变量， ∴选项A说法正确； ∵弹簧不挂重物，即时，， ∴选项B说法不正确； ∵计算相邻对应的差可得，，，，， ∴物体质量每增加，弹簧长度增加， ∴选项C说法正确； 由C可知，当物体质量为时，， ∴选项D说法正确． 4．跨学科试题·物理  在烧开水时，水温达到就会沸腾，如表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的两个变量时间和温度的数据： 0 2 4 6 8 10 12 14 … 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即），温度T与时间t的关系式及自变量分别为（     ） A．，t B．，t C．，t D．，T 【答案】A 【分析】根据表格信息即可求解． 【详解】解：由表格可得，开始时温度为，每增加1分钟，温度增加， ∴温度T与时间t的关系式为：，此时自变量为t． 5．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象越陡峭速度越快进行分析即可． 【详解】解：∵最陡峭，次之，最平缓， ∴该容器顶部水面上升速度最快，中间段水面上升速度最慢， 只有A符合题意． 6．清明节期间，某校学生代表前往烈士陵园祭扫．队伍乘大巴匀速行驶20分钟到达陵园，活动历时40分钟；活动结束后原路匀速返校，因车流量较大，返程用时比去程多20分钟．设学生离学校的距离为米，离校时间为分钟，下列图象能大致反映与关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得，去程是匀速行驶20分钟，此阶段y随x的增大而增大，图象是从原点出发的上升线段； 活动历时40分钟，学生位置不变，此阶段y随x的增大保持不变，图象为水平线段； 返程用时比去程多20分钟，即返程用时40分钟，且原路返回，所以返程下降段在x轴上的水平长度更长，线段比去程上升段更平缓， 只有A选项符合题意． 7．中国古代数学成就显著，《算法统宗》中有这样的叙述：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半．”大意是：要去路程为里的某关口，第一天腿脚利落快速行走，第二天起，因为脚痛每天只能走前一天一半的路程，设第一天行走里，则此人第三天晚上距离关口的路程（里）与（里）之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意表示出前三天行走的路程，再根据剩余路程等于总路程减去已走路程得出函数关系式即可． 【详解】解：∵第一天行走里，从第二天开始每天走的路程是前一天的一半， ∴第二天行走路程为里，第三天行走路程为里， ∵总路程为里， ∴，整理得． 8．某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 小车下滑的时间 下列说法错误的是（   ） A．h每增加，t减小 B．当时， C．随着h逐渐升高，t逐渐变小 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 【答案】A 【分析】根据表格获取数据，逐一分析各选项即可判断正误． 【详解】解:A. ∵从增加到时，减少 ，从增加到 时，减少 ， ∴每增加，减小的值不是固定的 ，故A错误，符合题意； B. 由表格数据可知，当 时， ，B正确，不符合题意； C. 观察表格数据，支撑物高度越大，小车下滑时间越小， 因此随着逐渐升高，逐渐变小，故C正确，不符合题意； D. 木板长度不变，即小车下滑路程不变， ∵随着升高，逐渐变小， ∴平均速度逐渐加快，故D正确，不符合题意． 9．如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用图象表示变量间的关系，解题的关键是理解题意，数形结合．根据开始进入时y逐渐变大，完全进入后保持不变，开始出来时y逐渐变小，进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，当火车完全进入隧道，由于隧道长大于火车长，此时y最大，并且保持不变，当火车开始出来时y逐渐变小．另外是匀速运动，y随x的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型，排除选项C． 故选：B． 10．下图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长=（12-日出时刻）2=（日落时刻-12）2．下列结论中正确的是（   ） A．立夏这天的日出时刻是5:30 B．白昼时长在12 h～15 h的有10天 C．立冬这天的日落时刻是17:00 D．小满时白昼时间最长 【答案】C 【分析】本题考查了从图象获得信息，解题的关键是能够从图象获得信息． 根据图象中的信息逐项求解判断即可. 【详解】解：A、由图象可得，立夏这天的白昼时长为14小时， 日出时刻． 解得日出时刻 立夏这天的日出时刻是故A选项中的结论错误，不符合题意； B、由图象可得，白昼时长在小时的有天，故B选项中的结论错误，不符合题意； C、由图象可得，立冬这天的白昼时长为10小时， 日落时刻 解得日落时刻 立冬这天的日落时刻是故C选项中的结论正确，符合题意； D、由图象可得，夏至时白昼时间最长，为15小时，故D选项中的结论错误，不符合题意． 故选：C． 2、 填空题 11．某学习小组学生进行了如下实验：将篮球从高处落下，记录弹跳高度与下降高度的数据，并制作了如下统计表，则能表示二者函数关系的式子是__________． 50 80 100 150 25 40 50 75 【答案】 【分析】根据表格给出的对应数据，探究与的数量关系，发现每一组对应数据中为的一半，即可得到函数关系式． 【详解】解：当时，，符合． 当时，，符合． 当时，，符合． 当时，，符合． 因此与的函数关系为． 12．油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升／分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数解析式是______．（不用写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】根据剩余油量等于原有存油量减去流出油量解答即可求解． 【详解】解：由题意得，原有存油量为升，分钟流出的油量为升， ∴剩余油量与流出时间的函数解析式是． 13．某班同学在探究弹簧的长度随外力的变化关系时，使用50克的砝码进行实验，记录得到的相应数据如表，则弹簧的长度（厘米）与砝码的个数（个）之间的函数关系式是_____________（，且为整数） 砝码的个数 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧长度（厘米） 5 6 7 8 9 10 11 12 【答案】 【分析】观察表格中两个变量的变化规律，砝码个数每增加1，弹簧长度增加1厘米，时，据此可推导得到函数关系式． 【详解】解：根据表格数据，当时，，当砝码个数每增加1，弹簧长度增加1厘米， 因此弹簧长度与砝码个数之间的函数关系式为：． 14．如图①，一种圆环的外圆直径是，环宽．如图②，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，如图③，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是___________． 【答案】 【分析】先分析单个圆环、两个圆环扣在一起时的长度，找出每增加一个圆环长度的变化规律，再据此列出个圆环扣紧时总长度与的关系式． 【详解】解：∵单个圆环的外圆直径为，环宽为， ∴每增加一个圆环，长度增加， ∵个圆环扣在一起时，第一个圆环长度为，后面还有个圆环， ∴总长度， ∵， ∴． 15．如图，是丝带连接后的示意图，把一些长度为的丝带按图中打结的方式连接起来，每打一个结，丝带总长度减少，则打结连接后的丝带总长度与用到的丝带数量的关系式为______． 【答案】 【分析】用丝带总长度减去与所打的结的数量的乘积即可． 【详解】解：∵每条丝带的长度为， ∴条丝带的总长度为， ∵每打一个结，总长度减少， 又∵连接条丝带需要个结， ∴丝带总长度． 3、 解答题 16．在某地，人们发现某种蟋蟀在一定温度下叫的次数与温度之间有如下的近似关系： 当地温度x（℃） 5 6 7 8 9 … 蟋蟀1min叫的次数y（次） 14 21 28 35 42 … 根据表格，回答下列问题： (1)自变量是____________，因变量是___________； (2)当地的温度x每增加，这种蟋蟀叫的次数y增加____________． (3)当这种蟋蟀叫的次数时，求此时当地的温度． 【答案】(1)当地温度，蟋蟀叫的次数 (2)次 (3)此时当地的温度为 【分析】（1）根据自变量和因变量的定义，可得答案； （2）根据表格数据可得答案； （3）根据因变量的值，可得相应的自变量的值． 【详解】（1）略 （2）由表格数据可知：当地温度x每增加，这种蟋蟀叫的次数y增加7次； （3）解：当这种蟋蟀叫的次数时，设此时当地的温度， 由题意得 解得， 答：当这种蟋蟀叫的次数时，此时当地的温度为． 17．下图是某自行车行驶路程与时间之间的关系，分别计算自出发起内、内、内该自行车的平均速度． 【答案】，， 【分析】从图象中读取各时间段终点对应的路程，分别计算、、内的平均速度即可． 【详解】解：由图象可知， 内的平均速度为， 内的平均速度为， 内的平均速度为． 18．学校组织郊外活动，两个课外兴趣小组匀速步行前进，第一组比第二组早出发，第一组经过抵达目的地．两组之间的距离y（单位：m）和第一组出发后的时间x（单位：）之间的关系如图所示． (1)请大致描述两组之间的距离的变化情况． (2)第二组从出发到抵达目的地共用了多长时间？ 【答案】(1)先增加后减少，其中减少分为两段，先减少的慢，后减少的快 (2) 【分析】（1）通过分析图象中两组之间的距离随第一组出发时间的变化趋势，即可解答； （2）通过分析图象得出第二组的出发时间和抵达时间，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知， 在时，第一组出发，第二组没出发，两组之间的距离增加， 在时，两组同时匀速前进，两组之间的距离减少， 在时，第一组已抵达目的地，两组之间的距离减少的更快． （2）解：由题意可知，第二组在时出发，在时抵达目的地， 故第二组从出发到抵达目的地共用了． 19．父亲和儿子在400米的标准跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲恰好跑6步，儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等．现在儿子站在跑道200米的起点处，父亲站在400米的起点处，同时同向起跑． (1)设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米，求与的关系式，并求父亲与儿子的速度之比． (2)父亲能否在第一次到达400米的终点处前追上儿子？请通过计算，说明理由． 【答案】(1)， (2)父亲能在第一次到达400米终点前追上儿子，理由如下： 因为父亲与儿子的速度之比为 所以父亲的速度为，则儿子的速度为， 设经过分钟后，父亲追上儿子， 由题意可得：， 解得， 因为父亲第一次到达终点的时间是，． 所以能在第一次到达400米终点前追上儿子． 【分析】（1）设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米，根据题意得到，，然后根据“儿子跑5步的时间父亲能跑6步”列式求解即可； （2）首先得到父亲的速度为，则儿子的速度为，设经过分钟后，父亲追上儿子，根据题意列方程求出，然后求解即可． 【详解】（1）解：设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米， 因为儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等． 所以， 所以． 因为儿子跑5步的时间父亲能跑6步， 所以， 所以父亲与儿子的速度之比为； （2）略 20．下图表示某港口某日从到水深变化的情况． (1)图中反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？ (2)请描述水深随时间的变化而变化的情况． 【答案】(1)解：图象反映的是水深和时间两个变量之间的关系，时间是自变量，水深是因变量； (2)解：在时，水深不断上升；在时，水深不断下降． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $