6.3用关系式表示的变量间关系讲义2025-2026学年北师大版七年级数学下册

用关系式表示的变量间关系 一、教学要求 教学目标 （1）经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响． （2）能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系，初步感受模型思想． （3）能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系． 重难点分析 （1）重点：根据关系式求值； （2）难点：用关系式表示两个变量之间的关系. 二、知识讲解 关系式法表示变量间关系 【探究】如图，三角形底边上的高是．当三角形的顶点沿底边所在直线向点运动时，三角形的面积发生了变化． （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ （2）如果三角形的底边长为，那么三角形的面积可以表示为________； （3）当底边长为变化到时，三角形的面积从________变化到________． 【教法备注】 【教法指导】： （1）自变量为三角形的底边的长，因变量是三角形的面积 （2）； （3）从36变到9． 关系式是我们表示变量之间的关系的另一种方法．利用关系式， 我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值． 优点 简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与因变量的相互关系 缺点 求对应值时要经过计算 ，不能直观的反应变化趋势，而且有的关系式不一定能用关系式表示出来 【注意】： ①变量关系式是含有一对变量的等式． ②变量关系式中：等式的右边是含有自变量的代数式，等式的左边是用一个字母表示的因变量． ③要 注意自变量的取值范围 ，既要使自变量的代数式有意义，而且使实际问题有意义． 例题 1 .以固定的速度（米/秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球运动的时间（秒）之间的关系式是，在这个关系式中，常量、变量分别是（   ）． A.常量是，变量是， B.常量是，变量是， C.常量是，，变量是， D.常量是，变量是，， 【答案】 C 【解析】 小球的速度为，是固定的，所以是不变量，也就是常量；时间是在变化的，所以时间是变量，而高度是随着时间的变化而变化的，所以高度也是变量． 故选． 练习 2 .在 中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定长时，在此式中（   ）． A.，是变量，，是常量 B.，，是变量，是常量 C.，是变量，，是常量 D.是变量，，，是常量 【答案】 A 【解析】 ∵三角形面积， ∴当为定长时，在此式中、是变量，，是常量； 故选． 3 .变量与之间的关系式是，当自变量时，因变量的值是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 将代入得到， ． 故选． 例题 4 . 父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低”，并给小明出示了下面的表格： 距离地面高度（千米） 温度（） 根据表中，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答． ( 1 )表中自变量是           ；因变量是           ． 当地面上（即时）时，温度是           ． ( 2 )如果用表示距离地面的高度，用表示温度，请写出满足与关系的式子． ( 3 )计算出距离地面千米的高空温度是多少？ 【答案】 (1) (2)． (3)距离地面千米的高空温度是． 【解析】 (1)由图可知， 表中自变量是，因变量是， 当时，， 故答案为：，，． (2)设， ，得， 即与关系是：． (3)当时， 即距离地面千米的高空温度是． 练习 5 . 声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表： 气温 音速（米/秒） ( 1 )此表反映的是变量           随           变化的情况． ( 2 )请直接写出与的关系式为           ． ( 3 )当气温为时，某人看到烟花燃放秒后才听到声响，求此人与烟花燃放所在地的距离． 【答案】 (1)音速（）气温（） (2) (3)距离为． 【解析】 (1)此表反映的是变量音速（）随气温（）变化的情况． (2)可以先设出，代入两组数据即可解得， ∴与的关系式为：． (3)时，声速为，距离为． 6 . 为了解某种车的耗油量，我们对这种车了试验，并把试验的数据记录下来，制成下表： 汽车行驶时间 剩余油量 ( 1 )上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ ( 2 )汽车行驶、后，油箱中剩余的油量分别是多少？ ( 3 )写出与的关系式，贮满汽油的汽车，最多行驶几小时？ 【答案】 (1)反映了汽车行驶时间与剩余油量的关系．自变量为汽车行驶时间，因变量为剩余油量． (2)汽车行驶后，剩余油量；汽车行驶后，剩余油量． (3)，贮满汽油的汽车，最多行驶小时． 【解析】 (1)反映了汽车行驶时间与剩余油量的关系． 自变量为汽车行驶时间， 因变量为剩余油量． (2)汽车行驶后，剩余油量． 汽车行驶后，剩余油量． (3)由表格知当每增加时，减少．且开始时时， ∴，最多行驶即当时停止，． 例题 7 .圆柱的底面半径是，当圆柱的高由小到大变化时，圆柱的体积随之发生变化． ( 1 )在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？ ( 2 )在这个变化过程中，写出圆柱的体积与高之间的关系式． ( 3 )当由变化到时，是怎样变化的？ 【答案】 (1)自变量：圆柱的高；因变量：圆柱的体积． (2)． (3)从增加到． 【解析】 (1)由于圆柱体积随圆柱高的变化而变化， 因此自变量为圆柱的高，因变量为圆柱体积． (2)． (3)当时，， 当时，． 练习 8 .一石激起千层浪，一枚石头投入水中，会在水面上激起一圈圈圆形涟漪，如图所示（这些圆的圆心相同）． ( 1 )在这个变化过程中，自变量           ，因变量是           ． ( 2 )如果圆的半径为，面积为，则与之间的关系式是           ． ( 3 )当圆的半径由增加到时，面积增加了           ． 【答案】 (1)圆的半径圆的面积或周长 (2) (3) 【解析】 (1)自变量是圆的半径，因变量是圆的面积（或周长）． 故答案为：圆的半径；圆的面积（或周长）． (2)根据圆的面积公式，如果圆的半径为，面积为，则与之间的关系式是． 故答案为：． (3)当圆的半径由增加到时，面积增加了． 故答案为：． 9 .假设圆柱的高是，圆柱的底面半径由小到大变化时， ( 1 )圆柱的体积如何变化？在这个变化的过程中，自变量、因变量各是什么？ ( 2 )如果圆柱底面半径为 （ ），那么圆柱的体积 （ ） 可以表示为           ． ( 3 )当由变化到时，由            变化到            ． 【答案】 (1)圆柱的体积随着圆柱的底面半径的增大而增大，自变量：圆柱的底面半径，因变量：圆柱的体积． (2) (3) 【解析】 (1)圆柱的体积随着圆柱的底面半径的增大而增大，自变量：圆柱的底面半径，因变量：圆柱的体积． (2)圆柱的体积等于底面积乘以高， ∴ ， 故答案为：． (3)当时 ， ， 当时， ， 故答案为： ，． 例题 10 . 在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度与所挂物体的质量的几组对应值． 所挂物体质量 弹簧长度 ( 1 )本题反映的是弹簧的长度与所挂物体的质量这两个变量之间的关系，其中自变量是           ，因变量是           ． ( 2 )当所悬挂重物为时，弹簧的长度为           ；不挂重物时，弹簧的长度为           ． ( 3 )请直接写出弹簧长度（）与所挂物体质量（）的关系式，并计算若弹簧的长度为时，所挂重物的质量是多少？（在弹簧的允许范围内） 【答案】 (1)所挂物体质量弹簧长度 (2) (3)，． 【解析】 (1)所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量． 故答案为：所挂物体质量；弹簧长度． (2)时，， 每挂重物，弹簧长度伸长， 所以不挂重物时，长度为． 故答案为：；． (3)， 时， ， ． 故答案为：，． 练习 11 . 一支原长为的蜡烛点燃后，其剩余长度与燃烧时间之间的关系如表： 燃烧时间 剩余长度 ( 1 )表中反映的自变量是什么？因变量是什么？ ( 2 )求出剩余长度与燃烧时间之间的关系式． ( 3 )估计这支蜡烛最多可燃烧多少分钟？ 【答案】 (1)自变量为燃烧时间，因变量为剩余长度． (2)． (3)分钟． 【解析】 (1)由表格可看出，自变量为燃烧时间，因变量为剩余长度． (2)时间每多，长度减少， 所以每过，长度减少，． (3)令，得， 这支拉合作最多可燃烧分钟． 12 . 中国联通在某地的资费标准为包月元时，超出部分国内拨打元/分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费． 下表是超出部分国内拨打的收费标准． 时间/分 电话费/元 ( 1 )这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？ ( 2 )如果用表示超出时间，表示超出部分的电话费，那么与的表达式是什么？ ( 3 )如果打电话超出分钟，需付多少电话费？ ( 4 )某次打电话的费用超出部分是元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟？ 【答案】 (1)国内拨打时间与电话费之间的关系，打电话时间是自变量、电话费是因变量． (2)． (3)需付元的电话费． (4)小明的爸爸打电话超出分钟． 【解析】 (1)国内拨打时间与电话费之间的关系，打电话时间是自变量、电话费是因变量． (2)由题意可得，，，，， ∴． (3)当时，（元）， 即如果打电话超出分钟， 需付（元）的电话费． (4)当时， （分钟）， 答：小明的爸爸打电话超出分钟． 三、知识总结   学科网（北京）股份有限公司 $ 用关系式表示的变量间关系 一、教学要求 教学目标 （1）经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响． （2）能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系，初步感受模型思想． （3）能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系． 重难点分析 （1）重点：根据关系式求值； （2）难点：用关系式表示两个变量之间的关系. 二、知识讲解 关系式法表示变量间关系 【探究】如图，三角形底边上的高是．当三角形的顶点沿底边所在直线向点运动时，三角形的面积发生了变化． （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ （2）如果三角形的底边长为，那么三角形的面积可以表示为________； （3）当底边长为变化到时，三角形的面积从________变化到________． 关系式是我们表示变量之间的关系的另一种方法．利用关系式， 我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值． 优点 简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与因变量的相互关系 缺点 求对应值时要经过计算 ，不能直观的反应变化趋势，而且有的关系式不一定能用关系式表示出来 【注意】： ①变量关系式是含有一对变量的等式． ②变量关系式中：等式的右边是含有自变量的代数式，等式的左边是用一个字母表示的因变量． ③要 注意自变量的取值范围 ，既要使自变量的代数式有意义，而且使实际问题有意义． 例题 1 .以固定的速度（米/秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球运动的时间（秒）之间的关系式是，在这个关系式中，常量、变量分别是（   ）． A.常量是，变量是， B.常量是，变量是， C.常量是，，变量是， D.常量是，变量是，， 练习 2 .在 中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定长时，在此式中（   ）． A.，是变量，，是常量 B.，，是变量，是常量 C.，是变量，，是常量 D.是变量，，，是常量 3 .变量与之间的关系式是，当自变量时，因变量的值是（   ）． A. B. C. D. 例题 4 . 父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低”，并给小明出示了下面的表格： 距离地面高度（千米） 温度（） 根据表中，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答． ( 1 )表中自变量是           ；因变量是           ． 当地面上（即时）时，温度是           ． ( 2 )如果用表示距离地面的高度，用表示温度，请写出满足与关系的式子． ( 3 )计算出距离地面千米的高空温度是多少？ 练习 5 . 声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表： 气温 音速（米/秒） ( 1 )此表反映的是变量           随           变化的情况． ( 2 )请直接写出与的关系式为           ． ( 3 )当气温为时，某人看到烟花燃放秒后才听到声响，求此人与烟花燃放所在地的距离． 6 . 为了解某种车的耗油量，我们对这种车了试验，并把试验的数据记录下来，制成下表： 汽车行驶时间 剩余油量 ( 1 )上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ ( 2 )汽车行驶、后，油箱中剩余的油量分别是多少？ ( 3 )写出与的关系式，贮满汽油的汽车，最多行驶几小时？ 例题 7 .圆柱的底面半径是，当圆柱的高由小到大变化时，圆柱的体积随之发生变化． ( 1 )在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？ ( 2 )在这个变化过程中，写出圆柱的体积与高之间的关系式． ( 3 )当由变化到时，是怎样变化的？ 练习 8 .一石激起千层浪，一枚石头投入水中，会在水面上激起一圈圈圆形涟漪，如图所示（这些圆的圆心相同）． ( 1 )在这个变化过程中，自变量           ，因变量是           ． ( 2 )如果圆的半径为，面积为，则与之间的关系式是           ． ( 3 )当圆的半径由增加到时，面积增加了           ． 9 .假设圆柱的高是，圆柱的底面半径由小到大变化时， ( 1 )圆柱的体积如何变化？在这个变化的过程中，自变量、因变量各是什么？ ( 2 )如果圆柱底面半径为 （ ），那么圆柱的体积 （ ） 可以表示为           ． ( 3 )当由变化到时，由            变化到            ． 例题 10 . 在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度与所挂物体的质量的几组对应值． 所挂物体质量 弹簧长度 ( 1 )本题反映的是弹簧的长度与所挂物体的质量这两个变量之间的关系，其中自变量是           ，因变量是           ． ( 2 )当所悬挂重物为时，弹簧的长度为           ；不挂重物时，弹簧的长度为           ． ( 3 )请直接写出弹簧长度（）与所挂物体质量（）的关系式，并计算若弹簧的长度为时，所挂重物的质量是多少？（在弹簧的允许范围内） 练习 11 . 一支原长为的蜡烛点燃后，其剩余长度与燃烧时间之间的关系如表： 燃烧时间 剩余长度 ( 1 )表中反映的自变量是什么？因变量是什么？ ( 2 )求出剩余长度与燃烧时间之间的关系式． ( 3 )估计这支蜡烛最多可燃烧多少分钟？ 12 . 中国联通在某地的资费标准为包月元时，超出部分国内拨打元/分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费． 下表是超出部分国内拨打的收费标准． 时间/分 电话费/元 ( 1 )这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？ ( 2 )如果用表示超出时间，表示超出部分的电话费，那么与的表达式是什么？ ( 3 )如果打电话超出分钟，需付多少电话费？ ( 4 )某次打电话的费用超出部分是元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟？ 三、知识总结   学科网（北京）股份有限公司 $