1.5一元二次方程与实际问题 课件 2026-2027学年青岛版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程与实际问题，涵盖下降率、增长率、销售、几何等应用类型，通过知识回顾列方程解应用题步骤，衔接一元一次方程等前期知识，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于结合药品降价、图书馆增长等实际情境及《九章算术》、古代诗词等传统文化题，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过问题分析培养推理意识（数学思维），归纳a(1±x)^n=b等模型（数学语言），助力学生提升实际问题解决能力，教师可直接利用结构化资源高效教学。

内容提要 ◆ 一元二次方程 ◆ 一元二次方程的解法 ◆ 一元二次方程根的判别式 ◆ 一元二次方程根与系数的关系 ◆ 一元二次方程与实际问题 第1章 一元二次方程 青岛版 九年级上册 青岛版数学 九年级上册 第1章 一元二次方程 1.5 一元二次方程与实际问题 与前面学习的一元一次方程、分式方程等一样,一元二次方程也是刻画现实问题的一种模型。建立这种模型可以解决很多实际问题。 1、列方程（组）解应用题的方法步骤： （1）审题： （2）设未知数： （3）列方程（组）： （4）解方程（组）： （5）检验： （6）写答：。 （找题目中的已知量、未知量、量与量的关 系及等量关系）； （间接设或直接设）； （根据量与量的关系及等量关系）； （验根是否是所列方程的解,且是否符合题意）； 知识回顾 例1、某种药品原售价每盒400元,两次降价后每盒售价为原售价的49%, 求该药品两次降价的平均降价率。 分析: （1）某种药品原售价基数是_________； （2）若设该药品平均每次的降价率为x; （3）该药品第一次降价后的售价表示为_________； （4）该药品第二次降价后的售价表示为_________； （5）等量关系是________________ 。 400元 400(1-x)元 400(1-x)2 元 第二次降价后的售价=两次降价的价格 例题讲解--下降率问题 解:设两次降价的平均降价率为x, 则第一次降价后每盒的售价为400(1-x)元, 第二次降价后每盒的售价为400(1-x)2 元。 根据题意,得 400(1-x)2=400×0.49。 解方程,得 x1=0.3,x2=1.7。 根据问题的实际意义,x1=0.3符合题意,即x=30%。 所以,该药品两次降价的平均降价率为30%。 变式：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 例题讲解--增长率问题 分析: （1）去年年底的图书基数是_________； （2）若设这两年的年平均增长率为x; （3）今年年底的图书册数表示为_________； （4）明年年底的图书册数表示为_________； （5）等量关系是________________。 5(1+x)万册 5(1+x)2 第二次增加后的数量=到明年底的数量 5万册 7 解:这两年的年平均增长率为x. 今年年底的图书册数表示为5(1+x)万册； 明年年底的图书册数表示为5(1+x)2万册； 根据题意,得 5(1+x)2=7.2 解方程,得 x1=0.2,x2=-2.2。 根据问题的实际意义,x1=0.2符合题意,即x=20%。 所以,这两年的年平均增长率为20%。 第二次下降后的值为___________； 依次类推第n次下降后的值为________； 设基数为a，平均下降率为x，下降n次后的数量为b. 则第一次下降后的值为________； 1.下降率问题 下降第n次后的方程为_____________。 知识归纳 a（1-x) a（1-x)2 a（1-x)n a（1-x)n=b 9 第二次增长后的值为___________ 依次类推第n次增长后的值为________ 设基数为a，平均增长率为x，增长n次后的数量为b. 则第一次增长后的值为________ ； 2.增长率问题 增长第n次后的方程为_____________ a（1+x) a（1+x)2 a（1+x)n a（1+x)n=b 10 1.某网店在节日促销活动中对一件原价500元的商品进行了 “折上折”的优惠活动 (两次打折且打折数相同),优惠后实际仅售320元。这件商品每次打了几折? 跟踪练习 解:设这件商品每次打了x折。 500 × ×=320 x2=64 x=8 答:这件商品每次打了8折 例2、某商品的进货价为每件2400元。销售商调查发现:若按每件3000元销售,一天能卖出50件;若让利销售,每件每让利50元,一天就能多卖出10件。要使一天的利润达到36000元,销售价应定为多少元? 分析: （1）怎样设未知数？让利后的销售量怎么表示？ （2）每件商品的盈利怎么表示？ （3）等量关系是什么？ 例题讲解--销售问题 解：设每件商品让利x元, 则每件利润为(3000-2400-x)元, 每天能卖出（50+×10）件。 根据题意,得 (3000-2400-x)（50+ ×10）=36000 整理,得 x2-350x+30000=0。 解方程,得 x1=150,x2=200。 根据问题的实际意义,两个根都符合题意。 当x=150时,3000-x=2850; 当x=200时,3000-x=2800。 所以,销售价应定为2850元或2800元 2.某花圃用花盆培育一种花,经调查发现,出售一盆花的盈利与该盆中花的棵数有关。当盆中栽种3棵花时,平均每棵盈利3元;盆中每增加1棵花,平均每棵盈利将减 少0.5元。要使每盆花的盈利达到10元,每盆应栽种花多少棵? 分析: （1）怎样设未知数？每盆栽种的花的棵数怎么表示？ （2）每盆中每棵花的盈利怎么表示？ （3）每盆花的总盈利怎么表示？ （4）等量关系是什么？ 跟踪练习 解:设每盆中增加种植x棵,则每盆种花(3+x)棵,平均每棵花的盈利为(3-0.5x)元，根据题意，得 整理,得 x2 -3x+2=0 解得 x1 =1,x2=2 经检验,x1=1,x2=2均合题意. ∴每盆应种植该种花4棵或5棵. ∴ 3+x =4或5 (3-0.5x)(3+x)=10 例3、《九章算术》中记载了这样一个问题:今有户不知高、广,竿不知 长、短。横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出。问户高、广、邪各几何。 大意为:有一扇门不知道其高与宽,有一根竹竿也不知道其长度。将竹竿横放量门的宽度,竹竿比门宽4尺;将竹竿竖放量门的高度,竹竿比门高2尺; 将竹竿沿对角线方向丈量,竹竿恰好与门的对角线一样长。求门的高、宽、对 角线长。 例题讲解--几何问题 解:设竹竿的长度为x尺,则门的高、宽、对角线 长分别为(x-2)尺、(x-4)尺、x尺。 根据题意,得 (x-2)2+(x-4)2=x2。 整理,得 x2-12x+20=0。 解方程,得 x1=10,x2=2。 根据问题的实际意义,x1=10符合题意。 当x=10时, x-2=8, x-4=6。 所以,门的高、宽、对角线长分别是8尺、6尺和10尺。 3.标准足球场通常是一个长为105m、宽为68m的矩形。某足球场四周设有等宽的 缓冲草坪,若足球场与缓冲草坪的总面积为7490m2,求缓冲草坪的宽度。 跟踪练习 例4、中华人民共和国国旗上有五颗极富美感的正五角星,这种视觉上的 美感与正五角星中线段的比例有一定关系。在如图所示的正五角星中,线段AB 上AC与CB的比等于CB 与AB的比,这个比值是多少? 例题讲解-- 分析：首先明确线段的和的关系:点C在线段AB上，所以AC+CB=AB。 设未知比值为k，就可以把AC、 AB的长度都用CB和k来表示， 解:设=x, 则CB=x·AB, AC=AB-CB=(1-x)AB。 ∵AC 与CB 的比等于CB 与AB 的比 ∴ = 即CB2=AC·AB,得 x2=1-x。 整理,得 x2+x-1=0。 解方程,得x1= , x2= 根据问题的实际意义,x1= 符合题意。 所以,的值为。 这里 是一个无理数,精确到0.001的近似值是0.618。在图中,我们称点C为线段AB的黄金分割点。 4.诗歌是人类智慧与情感的结晶,我国古代的一些数学家常常把数学名题编成耐人 寻味的诗词。清代的《增删算法统宗》一书中有一首 “圆内方池”: 今有圆田一块,中间有个方池。 丈量田地待耕犁,恰好三分在记。 池面至周有数,每边三步无疑。 内方圆径若能知,堪作算中第一。 跟踪练习 大意为:有一块圆形的田地,中间有一个正方形水池。量得水池外圆内田地的面积,恰好是3分(注:1分=24平方步)。从水池的每条边到圆周,最远都是3步。如图,求正方形的 边长和圆的直径(π取3) 解:设圆的半径为r步。 由题意可知，田地面积为:3×24=72(平方步） 因为从水池的每条边到圆周最远都是3步，所以正方形的边长为(2r-6)步。 根据“圆面积-正方形面积=田地面积”，列方程得: πr2 -(2r-6)2=72 解得:r1=6，r2=18。 当r=6时:正方形边长:2×6-6=6(步)圆的直径:2×6=12(步) 当r=18时:正方形边长:2×18-6=30(步)圆的直径:2×18=36(步) 答:正方形的边长为6步，圆的直径为12步; 或正方形边长:30步，圆的直径:2×18=36步。 1.增长率问题，下降率问题 课堂小结 a（1±x)n=b 2.销售问题：总利润=单件利润×数量 27 $