精品解析：吉林省松原市滨江中学2025—2026学年度下学期模拟测试卷 九年级数学试卷

松原市滨江中学九年级模拟数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 数轴上表示的点到原点的距离是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点的距离等于两点表示的数的差的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：数轴上表示的点到原点的距离是， 故选：B． 2. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“壮”字一面的相对面上的字为（ ） A. 满 B. 少 C. 年 D. 怀 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据正方体展开图可知：有“壮”字一面的相对面上的字为“年”． 3. 如图是一个旋转一定角度能与原图重合的图形，则它的最小旋转角度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：旋转对称图形的最小旋转角度计算公式为：最小旋转角度全等重复单元的数量， 观察该花朵图案，共有个完全相同的花瓣单元均匀环绕中心分布，因此最小旋转角度为：， 即图形绕中心旋转后即可与原图完全重合，是满足条件的最小角度． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的相关运算法则，先计算积的乘方，再根据同底数幂的除法法则计算，即可得到结果． 【详解】解：． 5. 若点是第三象限内的一点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了第三象限点的坐标特征，解一元一次不等式组； 根据第三象限点的坐标特征，横纵坐标均小于0，建立不等式组求解． 【详解】解：∵点是第三象限内的一点， ∴， 解不等式组得：， 故选：C． 6. 如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点C，以C为圆心，长为半径画，交于点D；②分别以O，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，连接交于点E，交于点F，若，，则的长为（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图步骤①可知，即为等腰三角形；根据作图步骤②可知是线段的垂直平分线，利用垂径定理及勾股定理求出的长，最后根据半径计算的长 【详解】解：由作图步骤①可知，点 、 在上， ， 由作图步骤②可知，垂直平分线段，  ，， 在中，由勾股定理得：， 点在上，  ， ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 81的平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 8. 若与是同类项，则m的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查的是同类项的定义，熟练掌握同类项的概念是解题的关键． 根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，得出m的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴ ． 故答案为：2． 9. 有这样一个问题：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余18本，如果每人分4本，则还缺22本．这个班有多少学生？设这个班有名学生，则可列方程为______（只列不解）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设这个班有名学生，根据图书数量不变，列出一元一次方程，即可得出答案，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设这个班有名学生， 由题意得：， 故答案为：． 10. 边长相等的正六边形和正方形按照如图方式摆放，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出正六边形的每个内角度数，可得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可求解． 【详解】解：∵正六边形的内角和为，  ∴正六边形的每个内角为，  ∵正方形的每个内角为， ∴， 又∵， ∴． 11. 真空压缩袋压缩衣物以减小体积，给人们的生活带来了很大便利．同一件羽绒服质量不变，其体积与密度有如图所示的反比例函数关系，当压缩到密度等于时，其体积是________． 【答案】10 【解析】 【分析】设反比例函数解析式为，根据图象经过点利用待定系数法求出的值，确定函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 由图象可知，函数图象经过点， 将代入得， 解得， 函数关系式为， 当时，． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 13. 学校图书馆整理科技类图书和文学类图书共本，科技类图书每本需要贴个标签，文学类图书每本需要贴个标签，总共贴了个标签．求科技类图书和文学类图书各有多少本． 【答案】科技类图书有本，文学类图书有本． 【解析】 【分析】设科技类图书有本，文学类图书有本，依题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设科技类图书有本，文学类图书有本， 依题意得，， 解得， 答：科技类图书有本，文学类图书有本． 14. 甲、乙两名同学参与长春城市志愿活动，随机分配到交通劝导A、景区讲解B、文明宣传C三个岗位，每人岗位分配相互独立．请用树状图或列表法，求甲乙两人至少一人被分到文明宣传C岗位的概率． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，列出表格，可得一共有9 种等可能结果，其中甲乙两人至少一人被分到文明宣传C岗位的有5 种，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：根据题意，列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 一共有9 种等可能结果，其中甲乙两人至少一人被分到文明宣传C岗位的有5 种， ∴甲乙两人至少一人被分到文明宣传C岗位的概率为． 15. 如图，在中，过点A作于点E，于点F，．求证： （1）； （2）四边形ABCD是菱形． 【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴． 在和中，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得出，进而可利用“”证明； （2）由全等三角形的性质可得出，从而由一组邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握特殊四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题关键． 16. 如图是由边长为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，格点A、B、C在同一个圆上．只用无刻度的直尺分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出圆心O； （2）在图②中，在上画点D，使． 【答案】（1）如图①，点O即为所求 （2）如图②，点D即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接和相交于点，根据两条直径的交点即为圆心，即可得到点就是圆心； （2）取格点，连接交圆于点，根据全等三角形的判定和性质得到，再根据垂径定理即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 实物展示台是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，一台普通的实物展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图①是一个实物展示台，图②是其侧面抽象示意图．立柱，且立柱垂直水平桌面，C为摄像头，可绕点B旋转，当与水平桌面平行时，投影线，摄像头的广角，求拍摄区域的宽度（参考数据：，，）． 【答案】拍摄区域的宽度约为 【解析】 【分析】作于点F，由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可得，，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：作于点F， ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ． 答：拍摄区域的宽度约为． 18. 某校组织全校900名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ①将样本数据分成5组：，，，，，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图； ②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）抽取的40名学生成绩的中位数是___________； （3）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校900名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？ 【答案】（1）补全频数分布直方图如下： （2） （3）该校900名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有495人 【解析】 【分析】（1）根据题意易得的人数为人，然后问题可求解； （2）根据中位数的定义进行求解即可； （3）根据题意可直接进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：的人数为人， 补全频数分布直方图略； 【小问2详解】 解：∵总共抽取了40名学生，且， ∴这组数据的中位数为第20和第21个数据之和的平均数，即为； 【小问3详解】 解：由题意得：（人）； 答：该校900名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有495人． 19. 为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒； （2）求线段对应的函数表达式； （3）甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间． 【答案】（1）6，3 （2） （3）17秒 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、解绝对值方程、解一元一次方程，掌握路程、速度、时间之间的关系，待定系数法求一次函数的关系式、解绝对值方程是解题的关键． （1）根据速度路程时间计算即可； （2）根据时间路程速度求出乙无人机飞行段所用时间，从而求出点P的坐标，再利用待定系数法求出线段对应的函数表达式即可； （3）分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式，令二者差的绝对值为9列方程并求解即可． 【小问1详解】 解：甲无人机的速度是（米/秒），乙无人机的速度是（米/秒）． 故答案为：6，3． 【小问2详解】 解：甲无人机飞行段用时（秒），（秒）， ∴， 设线段对应的函数表达式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入， ， 解得：， ∴线段对应的函数表达式为． 【小问3详解】 解：设乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为． 当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，， 由与乙无人机的高度差为9米得：， 解得， ∴当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，与乙无人机的高度差为9米时的时间为17秒． 20. 如图，在中，，，，D为的中点，动点P从点B出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，连接，以、为邻边构造，设点P的运动时间为t（）（）． （1）用含t的代数式表示的长； （2）当点F落在边上时，求t的值； （3）设与重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，； （2）根据题意得，证明，得到点是的中点，据此列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，作于点，求得，利用平行四边形或梯形的面积公式列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵D为的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点F落在边上， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当点F落在内或在上，即时， 作于点，如图， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴； 当点F落在外，即时， 作于点，如图， 同理， 记与交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 综上，． 21. 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，点D、C的对应点分别是点、，与交于点F． 【操作探究】 （1）如图②，当在直线上时． ①小明发现此时，请你证明这一结论； ②求的长； （2）小磊将从图②的位置开始沿射线向左平移，当以点A、、D为顶点的三角形是以为底的等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 【答案】（1）①证明：由旋转可知， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ∴， ， ． ② （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质推理出是等边三角形，得到，再由，得到，即可证明； ②在中，，，求出即可； （2）由题意可分：当时，过点A作交延长线于点H，连接交于点G，当'时，连接，交于点N，过点A作交于M，然后分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：①略 ②由旋转的性质可知：， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，过点A作交延长线于点H，连接交于点G， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴由平移的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，连接，交于点N，过点A作交于M， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：平移的距离为或． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； （3）若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）先求出点，再将两个点的坐标代入二次函数关系式，求出答案即可； （2）分两种情况：当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，，结合点，可知点D的纵坐标是，再代入函数关系式得出答案； （3）①根据点可得答案； ②当点H，M重合时，求出． 再分两种情况：当点M在点H下方时，当时，矩形内没有函数y的图象；当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，可得取值范围； 当点M在点H上方时，有两种可能：当时，此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大；当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，综合以上情况可得答案． 【小问1详解】 解：当时，， 解得； 当时，， ∴点． ∵点B，C在抛物线上， ∴， 解得， ∴二次函数关系式； 【小问2详解】 解：∵点， ∴，且， ∴． 当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，， ∵点， ∴点D的纵坐标是， 令，， 解得， ∴点； 【小问3详解】 解：①当时，， ∴点，则点． ②抛物线，顶点坐标为． 当点H，M重合时，则 解得． 当点M在点H下方时，如图所示， 即， 由题意，得． 当点H，N达到对称轴两侧对称的位置时，则，则当时，矩形内没有函数y的图象； 当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，即； 当点M在点H上方时，如图， 即或， 当时，，即， 此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大； 当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，则． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松原市滨江中学九年级模拟数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 数轴上表示的点到原点的距离是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 2. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“壮”字一面的相对面上的字为（ ） A. 满 B. 少 C. 年 D. 怀 3. 如图是一个旋转一定角度能与原图重合的图形，则它的最小旋转角度数为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 若点是第三象限内的一点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点C，以C为圆心，长为半径画，交于点D；②分别以O，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，连接交于点E，交于点F，若，，则的长为（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 81的平方根是________． 8. 若与是同类项，则m的值是________． 9. 有这样一个问题：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余18本，如果每人分4本，则还缺22本．这个班有多少学生？设这个班有名学生，则可列方程为______（只列不解）． 10. 边长相等的正六边形和正方形按照如图方式摆放，则______． 11. 真空压缩袋压缩衣物以减小体积，给人们的生活带来了很大便利．同一件羽绒服质量不变，其体积与密度有如图所示的反比例函数关系，当压缩到密度等于时，其体积是________． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 学校图书馆整理科技类图书和文学类图书共本，科技类图书每本需要贴个标签，文学类图书每本需要贴个标签，总共贴了个标签．求科技类图书和文学类图书各有多少本． 14. 甲、乙两名同学参与长春城市志愿活动，随机分配到交通劝导A、景区讲解B、文明宣传C三个岗位，每人岗位分配相互独立．请用树状图或列表法，求甲乙两人至少一人被分到文明宣传C岗位的概率． 15. 如图，在中，过点A作于点E，于点F，．求证： （1）； （2）四边形ABCD是菱形． 16. 如图是由边长为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，格点A、B、C在同一个圆上．只用无刻度的直尺分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出圆心O； （2）在图②中，在上画点D，使． 17. 实物展示台是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，一台普通的实物展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图①是一个实物展示台，图②是其侧面抽象示意图．立柱，且立柱垂直水平桌面，C为摄像头，可绕点B旋转，当与水平桌面平行时，投影线，摄像头的广角，求拍摄区域的宽度（参考数据：，，）． 18. 某校组织全校900名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ①将样本数据分成5组：，，，，，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图； ②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）抽取的40名学生成绩的中位数是___________； （3）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校900名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？ 19. 为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒； （2）求线段对应的函数表达式； （3）甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间． 20. 如图，在中，，，，D为的中点，动点P从点B出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，连接，以、为邻边构造，设点P的运动时间为t（）（）． （1）用含t的代数式表示的长； （2）当点F落在边上时，求t的值； （3）设与重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式． 21. 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，点D、C的对应点分别是点、，与交于点F． 【操作探究】 （1）如图②，当在直线上时． ①小明发现此时，请你证明这一结论； ②求的长； （2）小磊将从图②的位置开始沿射线向左平移，当以点A、、D为顶点的三角形是以为底的等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； （3）若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $