6.4.3.2 正弦定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦正弦定理，通过复习余弦定理及其局限性，从直角三角形引入边与对角正弦的比例关系，再用向量法证明非直角三角形情况，构建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于多维度证明（向量法、外接圆法、作高法）和深度拓展（几何意义、边角转化、面积公式），结合数学思维（逻辑推理）和数学眼光（几何直观），如用外接圆法揭示2R的几何意义，助力学生深化理解，教师可依托系统内容提升教学效率。

第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理 2.正弦定理 1.余弦定理及其推论分别是什么？ 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 余弦定理 余弦定理的推论 复习引入 2. 已知SSS、SAS ，可解三角形. 但，已知ASA或AAS时，不能用余弦定理. 实际上，我们仍希望有新的定理来解决问题. 那么，是否有呢？ A B C c b a 根据锐角三角函数，在中，有: 则： 3. 上式如何构成连等式？ 又∵ ∴ A B C c b a 4.关系式对于非直角三角形是否成立？ ①如图，在锐角△ABC中，过点A作与 垂直的单位向 量j，则j与 的夹角为 －A，j与 的夹角为 －C. 因为 ＋ ＝ ，所以j·（ ＋ ）＝j· . 由分配律，得j· ＋j· ＝j· ，即｜j｜｜ ｜· cos ＋｜ j｜｜ ｜ cos （ －C）＝｜j｜｜ ｜ cos （ －A）， 也即a sin C＝c sin A，所以 ＝ .同理，过点C作与 垂直的单位向量m，可得 ＝ .因此 ＝ ＝ . ②当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角（如图所示）， 过点A作与 垂直的单位向量j，则j与 的夹角为A－ ，j与 的夹 角为 －C， 仿照上述方法，同样可得 ＝ ＝ . 6 教材导学 阅读教材： 1.正弦定理是什么？ 2.例7中，在ASA的条件下，如何解三角形？ 3.例8中，在SSA的条件下，解三角形的角为什么会有两种情况？ 1.正弦定理是什么？ 2.例7中，在ASA的条件下，如何解三角形？ 由三角形内角和求出第三个角，再用正弦定理求解. 9 3.例8中，在SSA的条件下，解三角形的角为什么会有两种情况？ 内角由三角函数的性质可知，在区间（0，）内，余弦函数单调递减，所以用余弦定理求角只有一解；正弦函数在区间（）内单调递增，在区间（ ，）内单调递减，所以利用正弦函数求解可能有两解. 10 拓展探究 1.的几何意义是什么？ 2.结合正弦定理，为什么在三角形中有大边对大角的边角关系？ 3.正弦定理也符合等比定理吗？ 4. 如何用正弦定理实现边角转化？ 5.三角形面积公式还有其他形态吗？ 6. 正弦定理还有其他方法证明吗？ 1. 的几何意义是什么？ 如图，的外接圆为圆，其半径为， 连接并延长，交三角形的外接圆于点，连接， 易知， °,，且 在中，，且 同理可得， ， 综上， 用外接圆法证明正弦定理 2. 结合正弦定理，为什么在三角形中有大边对大角的边角关系？ 可知 思考 钝角三角形也符合大边对大角吗？ 13 3.正弦定理也符合等比定理吗？ 由，得正弦定理的变形 ② ① 正弦定理也符合等比定理 14 4. 如何用正弦定理实现边角转化？ (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C．　 (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝. 边化角 角化边 化一化: a＝2b 2sinC=sinA sinA=2sinB 2c=a 15 5.三角形面积公式还有其他形态吗？ 在ΔABC中，边BC，CA，AB上的高分别记作， 若ΔABC为锐角三角形，则由下图可知， 同理可得 当ΔABC为直角三角形或钝角三角形时结论相同. 16 6. 正弦定理还有其他方法证明吗？ A C a b B D 锐角三角形 钝角三角形 D A B C a b c ； 即： 同理，有 即： ； 即： 同理，有 即： c 17 巩固应用 解：∵ asin(2C)+csinA=0， 由正弦定理可得2sinAsinCcosC+sinCsinA=0 又A,C为三角形的内角，则sinA，sinC＞0， ∴2cosC+1=0，即cosC= - ， 又0＜C ＜Π ∴C= . 1.在△ABC 中，三个角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若asin(2C)+csinA=0,则C为多少？ 2.在△ABC 中，三个角A,B,C所对的边分别为a, b, c,已知b=8，a=8，A=30°，则三角形ABC的面积为多少？ 解：在△ABC 中，由正弦定理得， ， 则 ，∴ = ,又0＜C ＜Π ∴= 60°或=120°,∵A+B+C=180°, ∴C=90°或C=30°从而=1或= , ∴= ab = 或16. ∴三角形ABC的面积为或16. 3.若b=A=60°,这样的三角形有两解，则a的取值范围是多少？ 解: 根据题意作图如右， 在Rt△MBC中， 必然有直角边MC＜斜边BC ， 即bsinA＜a; ∵这样的△ABC有两解, ∴ BC ＜AC,即a＜b. 综上所述，bsinA＜a＜b， 故a∈（ ，2）. 20 小结 向量法 作业 《课时作业》 2.正弦定理 $