2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务二十七利用特殊线解三角形课件

这是一份高一数学期末复习课件，共32页，聚焦利用特殊线解三角形。包含中线、角平分线、高线及线段成比例四大类型，涵盖定理公式、例题解析、多种解法及配套练习题，构建系统学习支架。 资料特色突出，融合数学核心素养。通过向量法、等面积法等多种解题方法，如中线长定理应用、角平分线等面积法推导，培养逻辑推理与数学建模能力。例题步骤详细，及时练巩固，助力学生掌握解题技巧，为教师教学提供系统资源。高一学生处于初高中过渡阶段，需适应抽象思维与综合解题要求，本资料能帮助学生夯实基础，提升解三角形问题的综合应用能力。

高一数学期末复习课程 任务二十七·利用特殊线解三角形 类型一：三角形的中线 1.中线长定理:在△ABC中,AD是边BC上的中线,则AB2+AC2=2(BD2+AD2). 2.向量法:(b2+c2+2bccos A). 例1 (1)在△ABC中,bsin B=asin A-(b+c)sin C. (1)求角A的大小; (2)若BC边上的中线AD=2,且S△ABC=2,求△ABC的周长. 解:(1)由已知bsin B=asin A-(b+c)sin C和正弦定理,得b2=a2-bc-c2, 由余弦定理得cos A==-, 在△ABC中,因为A∈(0,π),所以A= (2)由S△ABC=bcsin A=bc=2,得bc=8,① 由(1)知b2=a2-bc-c2,即b2+c2=a2-8,② 在△ABD中,由余弦定理得c2=+(2)2-2·2cos∠ADB, 在△ADC中,由余弦定理得b2=+(2)2-2·2cos∠ADC, 因为cos∠ADB=-cos∠ADC,所以b2+c2=+24,③ 由①②③,得a=8,b2+c2=56,bc=8,所以b+c==6,所以△ABC的周长为a+b+c=8+6 (2)在△ABC中,b=4,c=,BC边上的中线AD=2,则a=　　　　　. 6 解析 (方法一)设BD=CD=x,由图可知∠ADC=π-∠ADB, 所以cos∠ADC=cos(π-∠ADB)=-cos∠ADB, 从而=-,故x=3,所以a=2x=6. (方法二)因为D是BC的中点, 所以),故||2=(||2+||2+2), 将已知条件代入可得4=(10+16+24×cos A),故cos A=-, 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A=42+()2-2×4(-)=36, 所以a=6. (方法三)由图可知,CE=AB=,AE=2AD=4, 在△ACE中,cos∠ACE=, 所以cos A=cos(π-∠ACE)=-cos∠ACE=-, 在△ABC中, 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A=42+()2-2×4(-)=36, 所以a=6. 及时练1:(1)(多选)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且(2b-c)cos A=acos C,b=2,若边BC的中线AD=3, 则下列结论正确的有(　 　) A.A=　　　　　 B.A= C.=6 D.△ABC的面积为3 ACD 解析:由(2b-c)cos A=acos C,得2sin Bcos A-sin Ccos A=sin Acos C, 得2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin(π-B)=sin B, 因为B∈(0,π),所以sin B≠0,因此2cos A=1,得cos A=, 因为A∈(0,π),所以A=,A正确,B不正确; 因为AD是中线,所以由),得4+2,得36=c2+12+2×2c,得c=2或c=-4(舍去), 因此=22=6,C正确; S△ABC=bcsin A=22=3,D正确. (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且. ①求B; ②若D为边AC的中点,且a=3,c=4,求中线BD的长. 解 ①因为,所以,从而(b+c)(b-c)=a(a-c), 故a2+c2-b2=ac, 所以cos B=, 结合0<B<π可得B= ②由余弦定理,b2=a2+c2-2accos B=9+16-2×3×4×cos=13, 所以b=,故AD=CD=,设BD=x, 因为∠BDC=π-∠BDA,所以cos∠BDC=-cos∠BDA, 故=-,解得x=,所以BD= (3)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,. ①若△ABC的面积S满足S=2cos A,求角A; ②若边BC上的中线为AD,求AD长的最小值. 解 ①在△ABC中,根据余弦定理,b2=a2+c2-2accos B,故a2+c2-b2=2accos B, 代入,可得,所以(*), 由题意,A,B,所以cos A≠0,cos B≠0,故在(*)中约掉可得, 所以,故bc=2a=4,所以S=bcsin A=2sin A, 由题意,S=2cos A,所以2sin A=2cos A,故tan A=1,结合0<A<π可得A= ②由题意,BD=CD=1,如图, 在△ABD中,cos∠ADB=, 在△ADC中,cos∠ADC=, 因为∠ADB=π-∠ADC,所以cos∠ADB=-cos∠ADC, 从而=-,故AD2=-1, 由①知bc=4,所以AD2=-1≥bc-1=3, 故AD,当且仅当b=c=2时取等号,所以ADmin= 类型二：三角形的角平分线 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 1.利用角度的倍数关系:∠BAC=2∠BAD=2∠CAD. 2.内角平分线定理:AD为△ABC的∠BAC的平分线,则. 3.等面积法:因为S△ABD+S△ACD=S△ABC,所以c·ADsinb·ADsin bcsin A,所以(b+c)AD=2bccos,整理,得AD=(角平分线长公式). 例2 (1)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于点D, 则AD=　　　　　. 2 解析:(方法一)在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,即()2=22+AC2-2×2×AC×cos 60°,即AC2-2AC-2=0, 解得AC=1+或AC=1-(舍). 由于AD平分∠BAC,且∠BAC=60°,∴∠BAD=∠CAD=30°. ∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,2×(+1)2×AD(+1)×AD,即(+1)=AD+AD,解得AD=2. (方法二)在△ABC中,由正弦定理得,即, 得sin C=又知0°<C<120°,∴C=45°,∴B=75°. 在△ABD中,∠BAD=30°,∴∠ADB=180°-30°-75°=75°, ∴△ABD为等腰三角形, ∴AD=AB. 又AB=2,∴AD=2. (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,c=4,∠BAC=120°, ∠BAC的角平分线交边BC于点D,则AD=　　　　　. 解析 因为∠BAC=120°,AD是∠BAC的平分线, 所以∠CAD=∠BAD=60°, 又S△ACD+S△ABD=S△ABC, 所以2×AD×sin 60°+4×AD×sin 60° =2×4×sin 120°,解得AD= 及时练2：(1) 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若角A,C,B成等差数列,角C的角平分线交AB于点D,且CD=,a=3b,则c的值为(　　) A.3 B. C. D.2 C 解析:如图,在△ABC中, 由角A,C,B成等差数列,角C的角平分线交AB于点D,则C=, 所以∠ACD=∠BCD=,由CD=,a=3b,所以, 在△ACD和△BCD中,由余弦定理得AD2=b2+3-2bcos 30°=b2-3b+3, DB2=(3b)2+3-2×3bcos 30°=9b2-9b+3, 故9b2-9b+3=9(b2-3b+3),解得b=,故a=4. 在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C, 即c2=16+-2×4,故c= (2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,点D在BC上, 且AD平分角A,AD=1,则a的最小值为　　　　　. 2 解析 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc,① 如图,因为A=,且AD是角A的平分线,所以∠CAD=∠BAD=, 由图可知,S△ACD+S△ABD=S△ABC,所以bsincsinbcsin, 整理得b+c=bc,② 由①可得a2=b2+c2+bc=(b+c)2-bc, 将②代入上式可得a2=b2c2-bc,③ 由②可得bc=b+c≥2,所以bc≥4, 当且仅当b=c=2时取等号, 由③知a2=(bc-)2-,所以当bc=4时,a2取得最小值12,故a的最小值为2 (3)已知△ABC中,CD为∠ACB的角平分线,交AB于点D,且BD=1,CD=2,AC=2,则BC的长为　　　　　. 解析 在△ABC中,设A,B,C的对边分别为a,b,c.由角平分线的定义可得∠ACD=∠DCB, 所以S△ACD+S△BCD=S△ABC,即AC×CDsin∠ACD+CD×CBsin∠DCB=AC×CBsin∠ACB, 又因为∠ACB=2∠ACD=2∠DCB,所以sin∠ACB=2sin∠ACDcos∠ACD=2sin∠DCBcos∠DCB, 则AC×CD+CD×CB=2AC×CBcos∠DCB =2AC×CB=AC, 又因为AC=2,CD=2,BD=1,所以22+2CB=2, 整理可得a2-2a-=0,即(a+1)(a-)=0. 因为a>0,所以a+1≠0,a-=0,则a= 类型三：三角形的高线 (1)等面积法:AD·BC=AB·AC·sin∠BAC. (2)AD=AB·sin∠ABD=AC·sin∠ACD. (3)a=c·cos B+b·cos C. 例3.已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sin A; (2)设AB=5,求AB边上的高. 解:(1)在△ABC中,A+B=π-C, 因为A+B=3C,所以3C=π-C,所以C= 因为2sin(A-C)=sin B,所以2sin=sin, 展开并整理得(sin A-cos A)=(cos A+sin A),得sin A=3cos A, 又sin2A+cos2A=1,且sin A>0,所以sin A= (2)由正弦定理,得BC=sin A==3 由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C,得52=AC2+(3)2-2AC·3cos, 整理得AC2-3AC+20=0,解得AC=或AC=2 由(1)得,tan A=3>,所以<A<, 又A+B=,所以B>,即C<B,所以AB<AC,所以AC=2 设AB边上的高为h,则AB·h=AC·BCsin C, 即5h=23,解得h=6,所以AB边上的高为6. 及时练3: 在△ABC中,AB=2,AC=1,∠BAC=120°,AH为△ABC的高线, 则=(　　) A. B. C. D. C 解析:在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°=7, 即BC=,所以S△ABC=AB·ACsin 120°=BC·AH, 所以AH= 由向量数量积的几何意义得=||2= 在△ABC中,D在BC上却不是中点,且已知BD与CD的长度比.则这类问题可采用中线类似方法求解. 类型四：线段成比例 例4.在△ABC中,b=2,c=2,D为边BC上一点,BD=3CD,若AD=,则a=　　　. 4 解析 (方法一)由题意,可设CD=x(x>0),则BD=3x, 由图可知,∠ADB=π-∠ADC, 所以cos∠ADB=cos(π-∠ADC)=-cos∠ADC, 故=-,解得x=1,所以a=4. (方法二)因为BD=3CD, 所以)=, 所以||2=|2+|2+, 故7=4+12+2×2cos A,解得cos A=0,所以A=90°, 故a==4. 及时练4：在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点D在边BC上, ∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=　　　　　. -1 解析 在△ABD中,由余弦定理,c2=x2+22-2x·2×cos 120°=x2+2x+4, 在△ACD中,∠ADC=180°-∠ADB=60°, 由余弦定理,b2=(2x)2+22-2×2x×2×cos 60°=4x2-4x+4, 所以=4- =4-=4-4-=4-2, 当且仅当x+1=时取等号,此时x=-1,所以当取得最小值时,BD=-1. 任 务 完 成 $