第八章 成对数据的统计分析 单元测试卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 本卷为高二数学“成对数据的统计分析”单元测试卷，全面覆盖相关系数、线性回归、独立性检验等核心知识，通过疫情在线学习、工厂质量分析等现实情境设计，培养数据观念与模型意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|相关系数比较、残差计算|结合散点图（第4题）考查直观想象| |多选题|3/18|回归方程应用、相关系数影响|通过去点分析（第10题）提升批判性思维| |填空题|3/15|决定系数、残差计算|设置斜率变化（第12题）考查动态分析| |解答题|5/77|独立性检验、模型比较|以药用昆虫产卵（第19题）为情境，比较线性与非线性模型拟合效果，发展应用意识|

2025--2026学年第二学期高二数学成对数据的统计分析测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 甲 乙 丙 丁 0.82 0.68 0.69 0.85 1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对两变量的线性相关性做试验，并分别求得样本相关系数如表： 则试验结果体现两变量具有更强的线性相关性的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．已知变量，具有线性相关关系，由样本数据（，2，3，4，5）得到关于的经验回归方程为，若，，则当时，的预测值为（    ） A． B． C． D． 3．某校研究性学习小组收集了某地区近几年的某种经济指标与年份的数据，经计算得经验回归方程为．若年该经济指标的实际值为，则残差为（   ） A． B． C． D． 4．下列样本数据散点图中，变量和变量的样本相关系数分别为，，，则（     ）    A． B． C． D． 5．下列说法中错误的有几个（   ） ①数据1，2，3，5，7，8，9的60%分位数是6； ②根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01； ③回归分析时，可用决定系数刻画模型的拟合效果，越大，则拟合效果越好； ④若随机变量服从正态分布，若，则实数. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．某工厂为研究新、旧两条产线与产品质量的关系，随机抽取200件产品进行检验，得到如下列联表，则下列说法正确的是（　　） 优质品 非优质品 合计 新产线 75 25 100 旧产线 60 40 100 合计 135 65 200 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A．有的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异 B．有的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异 C．根据小概率值的独立性检验，我们认为新、旧两条产线的产品质量没有差异 D．根据小概率值的独立性检验，我们认为新、旧两条产线的产品质量有差异，该推断犯错误的概率不超过0.001 7．新泰中学为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类、文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（   ）    A．在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人 B．在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人 C．依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于 D．依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于 8．用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的经验回归方程为，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．某单位通过对数据的统计与分析得知，日用电量（单位：）与当天平均气温（单位：）之间线性相关，且线性回归方程为．已知数据样本的相关系数为，则下列说法正确的有（    ） A．日用电量与平均气温成负相关，气温每升高，日用电量平均减少 B．可以预测到当平均气温为时，日用电量约为 C．如果样本的相关系数，则说明用电量与平均气温的线性相关性很弱 D．该回归直线必经过样本点的平均值点 10．如图所示，有一散点图在5个数据中去掉后，下列说法中错误的是（   ） A．残差平方和变大 B．相关系数变小 C．决定系数变小 D．解释变量与响应变量的相关性变强 11．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元／件）的情况如下表所示.则（    ） 售价x（元/件） 10 11 12 13 14 月销售量y（千件） 10 9 9 7 5 参考公式：①；②；③. 参考数据：，，，. A．y关于x的线性回归方程为： B．相关系数（小数点后保留两位） C．当售价为15元/件时，预测月销售量为3.4千件 D．在线性回归方程的估计下，样本点的残差为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知变量和变量的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，经重新计算得到新回归直线的斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为__________.（残差观测值预测值） 13．已知一系列样本点满足，，由最小二乘法得到与的回归方程，其中，.现用决定系数来判断拟合效果（越接近1，拟合效果越好），若，则_____． 14．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）在疫情的特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习．复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取50名进行调查．知道其中有30人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图： (1)用样本频率估计概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率； 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 (2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关” 16．(本小题15分）某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出（单位：万元）和销售量（单位：万台）的数据如下： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 广告费支出 1 2 4 6 11 13 19 销售量 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 (1)若用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程； (2)若用模型拟合与的关系，可得回归方程，经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88，请根据的值，判断选择哪个回归模型更好． 参考数据：，.附：，． 17．(本小题15分）对于变量和变量，设获得的成对数据为，其中.在某实验过程中，随机抽样获得了如下成对样本数据： 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 40 47 56 61 66 72 74 78 83 86 表1 对表1中数据作变换 得到了如下表2： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 -30 -23 -14 -9 -4 2 4 8 13 16 -37 150 92 42 18 4 0 4 16 39 64 429 表2 设样本相关系数为，当 时，表明两个变量的线性相关程度较强，当时，表明两个变量的线性相关程度很强. 参考公式：；，. 参考数据：，. (1)证明： (2)分别求表1中的两个变量､表2中的两个变量的样本相关系数，并推断相关关系的类型（即正相关或负相关）和相关程度； (3)设关于的经验回归方程为，反之，关于的经验回归方程为. （i）由表1的实验数据，求经验回归方程和，并判断与在直角坐标系中的位置关系（计算结果精确到0.01）； （ii）对于实验中经过随机抽样获得的对数据 ，得到经验回归方程和，在线性相关程度较强的条件下，判断与对应的两条直线是否相交？若相交，请求出交点坐标，若不相交，请说明理由. 18．(本小题17分）某商场为了解顾客购买手机的意愿，随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表． 购买手机 购买无技术的手机 总计 男性顾客 女性顾客 总计 (1)根据表中数据，判断是否有的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)从这位男性顾客中随机挑选位，求其中至少有位购买手机的概率（精确到）； (3)为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望． 参考公式及数据：①，其中． ②，，，． 19．(本小题17分）一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度 21 23 24 27 29 32 产卵数个 6 11 20 27 57 77 经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，，其中分别为观测数据中的温度和产卵数，. (1)若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）； (2)若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且决定指数. （i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好. （ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D B A A C A ABD ABC 题号 11 答案 ABD 1．D 【详解】由表格知，相关系数绝对值最大的是丁，故试验结果体现两变量具有更强的线性相关性的是丁. 2．A 【详解】由，，得，， 点在回归直线上，故，解得，， 故当时，． 3．D 【详解】由经验回归方程为得：预测值， 残差实际值预测值． 4．B 【分析】根据散点图，结合变量间的相关关系和相关系数的定义，即可求解. 【详解】由散点图（1）可得，变量与变量之间呈现正相关，所以； 由散点图（2）可得，变量与变量之间呈现不相关，所以； 由散点图（3）可得，变量与变量之间负相关，所以，所以. 5．A 【分析】利用百分位数定义可判断①；利用独立性检验可判断②；利用决定系数与模型拟合效果的关系可判断③；利用正态分布对称性和性质可判断④. 【详解】对于①，将数据按从小到大排列：1，2，3，5，7，8，9共有7个数据， 故60%分位数是第5个数，即7不是6.故①错误； 对于②，根据列联表中的数据计算得出，而， 则有99%的把握认为两个分类变量有关系， 则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01，故②正确； 对于③，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果， 若越大，则说明模型拟合的效果越好，故③正确； 对于④，由随机变量，其正态曲线关于直线对称， 由，若， 则，即得，所以，故④正确. 6．A 【详解】零假设新、旧两条产线的产品质量没有差异， 由题意可得， 则有的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异． 7．C 【分析】由等高堆积条形图，可以分别求出高一、高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比，从而根据分层抽样求出人数，即可判断选项和；根据，对照临界指表，即可判断选项和. 【详解】由等高堆积条形图可知，高一学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为， 所以按比例分层随机抽样抽取人，则参加科技类的学生有人，错误； 由等高堆积条形图可知，高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为， 所以参加科技类活动人数为人，参加文艺类活动人数为人， 所以调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多人，错误； 已知，根据临界值表可得， 依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于， 所以正确；因为，不满足，因此不能依据的独立性检验得出结论，所以错误. 8．A 【分析】先对指数式取对数化为线性形式，结合已知数据算出，，利用回归直线过样本中心点求出，再对比截距得即，最后相乘． 【详解】由，得， 令，则与满足线性关系， 由，得，由， 得，所以， 过样本中心点，即，解得， 对比和，，解得，，所以． 9．ABD 【详解】A、因为线性回归方程为，，两个变量成负相关， 即当气温每升高，日用电量平均减少，故A正确； B、因为线性回归方程为，当时，， 则当平均气温为时，日用电量的度数约为68，故B正确； C、，，非常接近1， 说明用电量与平均气温的线性相关性很强，故C错误； D、回归直线必经过样本中心， 所以回归直线必经过样本点的平均值点，故D正确． 10．ABC 【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差平方和的变化情况即可得. 【详解】从散点图可分析出，若去掉点，则解释变量与响应变量的线性相关性变强， 且是正相关，所以相关系数变大，决定系数变大，残差平方和变小， 故A、B、C错误，D正确. 11．ABD 【分析】由已知公式求得线性回归方程可判断ACD，由相关系数计算公式可判断B. 【详解】计算均值： ， ， 选项A：根据公式， ， 线性回归方程为，A正确； 选项B：相关系数，B正确； 选项C：代入回归方程： ，预测月销售量为千件，不是千件，C错误； 选项D：时， ，残差 ，D正确. 12．/ 【分析】将样本中心点代入回归方程中求出，即可得出，进而得出新数据的样本中心点和回归方程，代入计算即可. 【详解】由题意得，， 则，， 当增加两个样本数据和后， 变量的平均数为，变量的平均数为， 因为新回归直线的斜率为3，所以可设其方程为， 将代入得，则， 令，则，则样本数据所对应的残差为. 13．/ 【详解】． 14． 【分析】由回归方程求出，再求出新样本的平均数，，从而求出回归直线方程，再求出预测值，即可得到残差. 【详解】将代入，， 去除两个样本点和后，所以，，， 故去除样本点和后的回归直线方程为， 当时，，则样本的残差为． 15．(1) (2)能，高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关 【分析】（1）根据等高图，应用古典概型的概率求法求概率即可； （2）由题意完善列联表，再求出卡方值，结合独立检验基本思想得到结论. 【详解】（1）从等高条形图中看出，学习时长不超过1小时， 但考试成绩超过120分的人数为人， ∴其概率为； （2）依题意，得列联表： 数学成绩 在线学习时长 分 分 合计 小时 18 12 30 小时 5 15 20 合计 23 27 50 零假设：高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长无关， ， ∴根据小概率值的独立性检验，可以认为不成立， 即高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关，而且犯错误的概率不超过0.05． 16．(1) (2)更好 【分析】（1）根据线性回归方程相关基本量直接计算即可； （2）根据反映的残差平方和与拟合效果关系进行判断. 【详解】（1）由题意得，， ， ，， 所以， 所以， 所以y关于x的线性回归方程为 （2）因为，且越接近于1，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好， 所以选用更好. 17．(1)证明如下：， 而因为，，所以 (2) ， ，相关类型为线性正相关，相关程度很强. (3)（i）相交；（ii）相交，交点坐标为 【详解】（1）略 （2） ， ， 所以， 因为 所以， 则， 故, ，      ∴相关类型为线性正相关，相关程度很强. （3）（i）， , 所以 与相交. （ii）因为在线性相关程度较强的条件下，有 过过， 过， 与 有公共点 假设两条直线重合，则 即, 所以，与 矛盾，所以两条直线相交. 18．(1)有的把握认为购买手机与顾客的性别有关，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题设中的数据计算，结合临界值表可判断的把握认为购买手机与顾客的性别有关； （2）利用对立事件可求至少有位购买手机的概率； （3）先求出的分布列，再根据期望公式可求，或者利用独立事件的期望公式求出. 【详解】（1）作原假设：购买手机与顾客的性别无关，取， 根据题意，代入数据，得 ， 因为，所以否定原假设，即有的把握认为购买手机与顾客的性别有关． （2）由题意得. （3）解法一：由题意得，随机变量的可能取值为 ， 而，， ，， ，， 故的分布列为 期望． 解法二：设第次抽中奖金为（），则， 由题设可得（）的分布列为 从而，而，相互独立， 故． 19．(1) (2)（i）非线性回归模型拟合效果更好；（ii） 【分析】（1）求出、后代入公式直接计算得、，即可得解； （2）（i）求出线性回归模型的决定系数，与比较即可得解； （ii）直接把代入，计算即可得解. 【详解】（1）由题意，则，， ，， 所以y关于x的线性回归方程为：. （2）（i）对于线性回归模型，，， 决定系数为， 因为，所以用非线性回归模型拟合效果更好. （ii）当时,（个） 所以温度为时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $