命题大赛 广东高二数学下学期单元测试2025-2026学年（人教A版选择性必修第三册第八章）

**基本信息** 高二数学选择性必修三第八章单元卷，全面覆盖成对数据统计分析核心知识，通过原创改编题结合科技、教育等现实情境，考查数学眼光、思维与语言，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|相关关系判断、散点图与r、独立性检验|如第1题辨析函数与相关关系，第6题原创数据考回归分析| |多选|3/18|等高条形图、2×2列联表、统计概念|第9题结合地铁开通数据考图表分析，第10题教材变式考独立性检验| |填空|3/15|回归预测、独立性检验样本量|第13题以追星调查考检验样本量计算| |解答|5/77|相关系数、回归方程、模型比较|第15题原创幼儿园昼夜差与感冒人数数据，考相关系数与回归预测；第18题教材变式比较反比例与指数模型拟合效果，体现数学建模与数据分析素养|

应用场景：单元测 高二数学下学期单元测试 人教A版选择性必修三第八章 成对数据的统计分析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列变量之间的关系不是相关关系的是（    ） A．光照时间和果树亩产量 B．降雪量和交通事故发生率 C．每亩田施肥量和粮食亩产量 D．圆的面积和半径 2．下面的散点图与相关系数r可能正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法中正确的是（    ） A．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据对应的的独立性检验，结论为：变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005. B．在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越差. C．，当不变时，越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖. D．已知变量、线性相关，由样本数据算得线性回归方程式，且由样本数据算得，，则. 4．已知变量的统计数据如下表： 0 1 2 3 4 10 15 20 30 35 分析表中的数据，发现与之间具有线性相关关系，计算得经验回归直线方程为，据此模型预测：当时，的值为（   ） A．71.5 B．72 C．73.5 D．74 5．【改编】为加强素质教育，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如下：附：，其中. 体育课不及格 体育课及格 合计 文化课及格 57 221 278 文化课不及格 16 43 59 合计 73 264 337 在对体育课成绩与文化课成绩进行独立性检验时，根据以上数据可得到的值为（    ） A．38.214 B．1.255 C．0.0037 D．2.058 6．【原创】为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）．若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（   ） 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A． B．与的样本是负相关 C．当时，的预估值为2.2 D．去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 7．已知随机变量呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程，则变量的估计值有（ ） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 8．已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且，发现有两组数据与误差较大，去掉这两组数据后，重新求得经验回归直线的斜率为1.4，那么当时，的值为（    ） A．9.6 B．10 C．10.6 D．9.4 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．2018年12月1日，贵阳市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高堆积条形图． 根据图中的信息，下列结论中一定正确的是（    ）． A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通 B．样本中多数女性是35岁及以上 C．样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多 D．样本中35岁及以上的人对地铁1号线的开通关注度更高 10．【教材变式】随着科技的进步和人民生活水平的提高，电脑已经走进了千家万户，成为人们生活、学习、娱乐的常见物品，便携式电脑（俗称“笔记本”）也非常流行．某公司为了研究“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度是否与性别有关，随机抽取了50人调查研究，调查数据如下表所示． 性别 喜好情况 喜欢“台式机” 喜欢“笔记本” 总计 男性 18 9 27 女性 8 15 23 总计 26 24 50 由上述数据给出下列结论，其中正确的是（    ） A．没有充分证据证明“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度与性别有关 B．有的把握认为“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度与性别有关 C．没有的把握认为“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度与性别有关 D．没有的把握认为“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度与性别有关 11．下列说法正确的是（   ） A．随机变量，且，则 B．随机变量服从两点分布，且，则 C．对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，则与负相关，与正相关，其中与的相关性更强 D．残差平方和越小，模型的拟合效果越差 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．随着夏季的来临，遮阳帽开始畅销，某商家为了解某种遮阳帽如何定价才可以获得最大利润，现对这种遮阳帽进行试销售，经过统计发现销售量（单位:顶）与单价（单位:元）具有线性相关关系，且线性回归方程为，若想要销售量为80顶，则预计该遮阳帽的单价定为_____________元. 13．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下：参考公式：，其中. 14．有两个分类变量和，其中一组观测值为如下的2×2列联表： 总计 15 50 总计 20 45 65 其中，均为大于5的整数，则__________时，在犯错误的概率不超过的前提下为“和之间有关系”.附： 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【原创】（13分）某幼儿园雏鹰班的生活老师统计2024年上半年每个月的20日的昼夜差（单位：℃，）和患感冒的小朋友人数（单位：人）的数据如下： 8 11 14 20 23 26 其中，，． (1)请用相关系数加以说明是否可用线性回归模型拟合与的关系； (2)建立关于的经验回归方程（精确到0.01），预测当昼夜温差升高4℃时患感冒的小朋友的人数会有什么变化．（人数精确到整数，参考数据：） 16．【改编】（15分）为了治疗某种疾病，一厂商研制了一种新药，为了检验该药的治疗效果，随机抽取了患该病的雌小鼠和雄小鼠各50只进行注射实验，一段时间后检测其血液中的某项指标值，并将数据进行整理得到如下频率分布直方图： 按规定，当该项指标值大于250时，则可认为小鼠已经治愈．为了检验二次用药的效果，对第一次注射新药后未治愈的小鼠进行第二次注射，第二次注射后又有10只小鼠治愈． (1)根据频率分布直方图估计第一次注射新药后这100只小鼠的某项指标值的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)已知两次用药后治愈的雌小鼠共45只． （ⅰ）完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，判断小鼠被治愈与性别是否有关； 治愈情况 性别 合计 雌性 雄性 治愈 未治愈 合计 （ⅱ）若从这100只小鼠中有放回地抽2次，每次抽1只，则在两只都是雌小鼠的条件下，求第一次抽到治愈的小鼠且第二次抽到未治愈的小鼠的概率． 附：，其中． 17．（15分）将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向．2023年12月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用．近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 (1)求氢能源乘用车的销量关于年份的线性回归方程，并预测2024年氢能源乘用车的销量； (2)为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的数据： 了解 不了解 合计 男生 25 女生 20 合计 （ⅰ）根据已知条件，填写上述列联表； （ⅱ）依据的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关？ 参考公式：1．回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为； 2．． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18．【教材变式】（17分）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 56.5 31 22.75 17.8 15.95 14.5 13 12.5 根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与x的相关系数. (1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程； (2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本； (3)根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，若非原料成本y在之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？ 参考数据（其中）： 0.34 0.115 1.53 184 5777.555 93.06 30.705 13.9 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关系数. 19．【原创】（17分）近年来毕业旅行的热度明显上升．对于远程旅行，飞机和高铁是两种主要的出行方式．某平台对年毕业季毕业生购买飞机票的数量（单位：万张）进行了统计，得到如下相关数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 万张 30 36 51 60 78 (1)分析上述统计表可知与有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程． (2)通过调查发现女性比男性更愿意选择坐高铁出行．某平台随机抽查某天在该平台（只出售飞机票和高铁票）购票的400名毕业生（每人只购一张票）作为样本，其中女性购买高铁票的有名，购买飞机票的有90名，男性购买高铁票的有40名． （ⅰ）当时，将样本中购买飞机票的男性人数与样本中购买飞机票的总人数的比例作为概率，用样本估计总体，结合（1）的结果估计2026年毕业季在该平台购买飞机票的毕业生中的男性人数（四舍五入保留整数）． （ⅱ）用样本的频率估计概率．设女性毕业生中购买飞机票的概率为，从所有女性毕业生中随机抽出5名，记恰好有3名女性购买飞机票的概率为，当取得最大值时，求的值． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东高二数学下学期单元测试 （人教A版选择性必修三第八章） 答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C D B D C A ABD BD 题号 11 答案 AB 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D 【分析】利用两变量相关关系的意义判断即可. 【详解】列表解析 选项 是否是相关关系 原因 A 是 果树亩产量与光照时间有关，是相关关系． B 是 降雪量的大小对交通事故发生率有影响，是相关关系． C 是 粮食亩产量与每亩田施肥量有关，是相关关系． D 否 圆的面积S和半径r是函数关系． 故选：D. 2．B 【分析】根据散点图的从左向右是下降的，则，若是上升的，则，分析判断即可 【详解】对于AC，变量的散点图从左向右是下降的，所以，所以AC错误， 对于BD，变量的散点图从左向右是上升的，所以，所以B正确，D错误， 故选：B 3．C 【分析】根据独立性检验、残差分析、正态分布、线性回归方程相关知识进行分析，得出正确答案. 【详解】对A，，所以结论为变量与独立，这个结论犯错误的概率超过0.005，A选项错误； 对B，在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越好，B选项错误； 对C，，当不变时，越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖，C选项正确； 对D，由样本数据算得线性回归方程式，且由样本数据算得，，则，D选项错误. 故选：C. 4．D 【分析】根据已知求出样本中心，再由样本中心在回归直线上求参数，进而求估计值. 【详解】由数据得，， 所以，可得，故， 所以，则. 故选：D 5．B 【分析】由卡方公式计算即可． 【详解】， 故选：B 6．D 【分析】由表格数据求出样本点的中心坐标，代入可得的值由此即可判断A；由的正负即可判断B；.根据回归方程代入计算即可判断C，由相关系数公式即可判断D. 【详解】，所以样本点的中心坐标为， 将它代入得，解得，故A错误； 因为，所以与的样本是正相关，故B错误； 当时，的预估值为，故C错误； 由相关系数公式可知，去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变，故D正确． 故选：D． 7．C 【分析】由题意把，代入线性回归方程，结合对数函数的性质可得. 【详解】已知，把，代入可得： ，即． 因为对数函数在上单调递增，且，所以，即有最大值为． 故选：C. 8．A 【分析】先根据，求出，再根据去掉的两组数据发现样本中心点没变，求出新的回归直线方程，将代入即可求得. 【详解】由和，得． 所以去掉数据与后得到的新数据的平均数，， 由题意可设去掉两组数据后的经验回归方程为， 代入，求得， 故去掉与这两组数据后求得的经验回归方程为． 将代入经验回归方程，得． 故选：A. 9．ABD 【分析】通过等高堆积条形图构建列联表，根据条形图所呈现的信息得出列联表中各部分数量的大小关系，再依据这些关系对各个选项进行分析. 【详解】设等高堆积条形图对应的列联表如下： 项目 35岁及以上 35岁以下 合计 男性 a c 女性 b d 合计 根据第1个等高堆积条形图可知，35岁及以上的男性比女性多，即； 35岁以下的男性也比女性多，即， 根据第2个等高堆积条形图可知，男性中35岁及以上的比35岁以下的多，即； 女性中35岁及以上的也比35岁以下的多，即， 对于选项A，男性人数为，女性人数为，，，故A正确， 对于选项B，35岁及以上女性人数为，35岁以下女性人数为d，，故B正确， 对于选项C，35岁以下男性人数为c，35岁及以上女性人数为b，由，无法直接判断b与c的大小关系，故C不一定正确， 对于选项D，35岁及以上的人数为，35岁以下的人数为，，，故D正确， 故选：ABD． 10．BD 【分析】计算卡方，对比临界值即可作出结论. 【详解】由表中数据可得，因为， 所以有90%，95%的把握认为“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度与性别有关， 没有99%的把握认为“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度与性别有关． 故A（×）B（√）C（×）D（√）． 故选：BD. 11．AB 【分析】利用正态分布的概率分布曲线的对称性即可计算判断A；运用两点分布的数学期望、方差的定义与性质即可判断B；利用两变量相关系数的意义即可判断C；残差和以及模型的拟合效果的关系即可判断D． 【详解】对于A，由题意得，，， 则，故A正确； 对于B，因为两点分布的， 所以， 所以，故B正确； 对于C，因为，且， 所以a与b负相关，m与n正相关，且a与b的相关性更强，故C错误； 对于D，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故D错误. 故选：AB． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．40 【分析】线性回归方程中，当，求的值. 【详解】若销售量为80顶，则，解得，所以预计单价应定为40元. 故答案为：40 13．48 【分析】设男生人数为，依题意列出列联表，分析出根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则，再代入的公式求出的范围，再根据的实际意义即可求出男生的最少人数. 【详解】设男生人数为，依题意可得列联表为 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则， 由，解得. 由题意知，应为6的整数倍， 所以若根据小概率值的独立性检验， 判断中学生追星与性别有关，则男生至少有48人. 故答案为：48. 14．9 【分析】由题意，计算，列出不等式求出的取值范围，再根据题意求得的值. 【详解】解：由题意知：, 则， 解得：或， 因为：且，， 综上得：，， 所以：. 故答案为：9. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．解：（1）由统计表格中的数据，可得，....................................1分 ，........................2分 且，，........................4分 所以，........................6分 所以可用一元线性回归模型拟合与的关系．........................7分 （2）由，可得，........................9分 则，........................11分 所以关于的经验回归方程为， 由回归方程知，昼夜温差每升高，患感冒的小朋友人数大约增加人， 所以当昼夜温差升高时，患感冒的小朋友的人数增加人.........................13分 16．解：（1）由题意得 ．..................4分 （2）由频率分布直方图，第一次注射后治愈的小鼠有只，............6分 第二次注射后又有10只小鼠治愈，故治愈共80只，未治愈共20只；已知两次用药后治愈的雌小鼠共45只， 故可得治愈的雄性小鼠有35只；则剩余未治愈雌性小鼠5只，未治愈雄性小鼠15只. 补全列联表如下： 治愈情况 性别 合计 雌性 雄性 治愈 45 35 80 未治愈 5 15 20 合计 50 50 100 零假设为：小鼠被治愈与性别无关，............9分 则，............11分 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为小鼠被治愈与性别无关．............12分 （ⅱ）记“两只都是雌小鼠”为事件，“第一次抽到治愈的小鼠且第二次抽到未治愈的小鼠”为事件， 故．............15分 17.解：（1）年份的平均数，销量的平均数， 所以，...........2分 ，...........4分 所以，...........6分 所以， 所以氢能源乘用车的销量关于年份的线性回归方程为，...........7分 令，得， 所以预测2024年氢能源乘用车的销量约为12.4万台．...........8分 （2）（ⅰ）根据男生和女生各60名，补全列联表为： 了解 不了解 合计 男生 35 25 60 女生 20 40 60 合计 55 65 120 （ⅱ）零假设：该校学生对氢能源的了解情况与性别无关，...........10分 根据列联表中的数据可得， ，...........13分 依据的独立性检验，可以推断不成立，即该校学生对氢能源的了解情况与性别有关．.........15分 18．解：（1）令，则可转化为，...........1分 因为，所以，............3分 所以，所以， 所以y关于x的回归方程为............5分 （2）与的相关系数为 ............8分 因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好，............9分 把代入回归方程得（元）， 所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元............11分 （3）因为，所以，............12分 因为样本标准差为， 所以，............13分 所以非原料成本y服从正态分布， 所以 因为在之外，所以需要此非原料成本数据寻找出现异样成本的原因............15分 19．解：（1）由题意得，，............2分 ，，.............4分 ， 所以关于的经验回归方程为．..........6分 （2）（ⅰ）由题意知，400名毕业生中男性有（名）， 故样本中购买飞机票的男性有（名）， 样本中购买飞机票的毕业生中，男性所占比例为， 所以估计一名购买飞机票的毕业生为男性的概率为．............8分 因为2026年对应的年份代码，所以， 因此估计2026年毕业季在该平台购买飞机票的毕业生中男性的人数为．............10分 （ⅱ）由题意知，，，，则当时，取得最大值1，当时，取得最小值，即， 且．............12分 设函数，， 则．............13分 当时，，单调递增，当时，，单调递减．故当时，取得最大值．............15分 由上可知，当时，取得最大值，此时，得．............17分 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $表格_20260505 广东高二数学下学期单元测试（人教A版选择性必修三第八章）（双向细目表） 题型 题号 分值 考查知识点 难度 单选题 1 5 相关关系 0.94 单选题 2 5 正、负相关；散点图 0.94 单选题 3 5 正态曲线；决定系数；卡方的 0.94 单选题 4 5 回归方程 0.65 单选题 5 5 卡方的计算 0.65 单选题 6 5 相关系数；回归直线方程 0.65 单选题 7 5 非线性回归 0.65 单选题 8 5 回归方程 0.65 多选题 9 6 列联表分析 0.65 多选题 10 6 独立性检验 0.85 多选题 11 6 相关系数；两点分布 0.65 填空题 12 5 根据回归方程进行数据估计 0.94 填空题 13 5 卡方的计算；独立性检验的基本思想 0.65 填空题 14 5 独立性检验；卡方的计算； 0.4 解答题 15 13 相关系数；回归直线方程 0.65 解答题 16 15 条件概率；由频率分布直方图估计平均数；卡方；独立性检验 0.65 解答题 17 15 回归直线方程；独立性检验 0.65 解答题 18 17 相关系数；回归直线方程；正态分布 0.65 解答题 19 17 函数的最值；非线性回归直线方程；二项分布 0.65 $