4.2 认识一次函数 教学设计 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦一次函数的概念、均匀变化现象及应用，通过滴漏水龙头、摞碗等生活实例导入，引导学生从具体现象抽象出均匀变化规律，再过渡到一次函数概念构建，形成从具体到抽象的学习支架。 以生活情境为载体，通过水龙头滴漏实验培养数学眼光，归纳一次函数概念发展数学思维，租车方案决策强化数学语言。如用蛤蟆儿歌引入变量关系，水费分段计费问题提升应用能力，为教师提供实用教学流程，助力学生理解数学与生活的联系。

4.2 认识一次函数 第1课时 “均匀”变化的现象 教学设计 课题 第1课时 “均匀”变化的现象 授课人 教学目标 1.通过生活中的示例，能理解均匀递增、递减现象； 2.能根据均匀的变化规律列关系式并判断某事件的未来变化趋势。 教学重点 理解均匀递增、递减现象。 教学难点 能根据均匀的变化规律列关系式并判断未来变化趋势。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少?够一个人一年使用吗? 提示：2020 年，我国人均生活用水量：城镇(含公共用水) 207 L/d,农村 100 L/d。 从实际生活入手，让学生体会数学与生活的联系。 探究新知 1.均匀递增现象 思考 (1)将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯。每隔 1 min,记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表。在坐标纸上描出( t,V )对应的点。你认为漏水量的变化具有什么规律?请你估计：这个水龙头一天的漏水量是多少? (2)下表是小明通过实验得到的数据。请你根据小明得到的数据，在坐标纸上描出( t,V )对应的点，并据此估计：小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少?一年呢?够一个人一年使用吗? (3)分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量 V 与时间 t 之间的关系式吗? 解：（2）在坐标纸上描点如图所示。 据此估计一天的漏水量为 5.5×24×60＝7920(mL) ＝7.92(L)， 一年的漏水量为 7.920×365＝2889.8(L)， 所以不够一个人一年使用。 （3）由表格数据，得 V ＝5.5 t。 探究 分享各组的实验结果，并交流下列问题： (1)比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处? (2)引起各组数据不一致的因素有哪些?这些因素的差别对表格、图象和表达式的影响分别体现在哪些方面? (3)假如漏水严重一些，表格、图象和表达式可能会发生什么变化?为什么? 解：（1）①共同之处：都体现了随着时间的增加，漏水量也呈现增加的趋势。 ②不同之处：由于实验条件、操作手法等差异，导致测量出的具体数据有差别。 （2）因素有仪器精度、环境条件、操作规范性等，对表格影响数据值，对图象影响形状位置，对表达式影响系数等。 （3）表格数据变化幅度增大，图象斜率增大，表达式相关系数改变，因漏水严重改变了变量变化情况。 针对练习 1．如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，桌面上碗的高度与碗数（个）的变化情况如下表： 请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： (1)上表中a的值为____________； (2)写出叠放在桌面上碗的高度与碗数（个）之间的关系式； (3)你认为这种规格的碗摞放起来的高度能达到 18 cm 吗？为什么？ 解：（1）10； （2）y＝1.5x＋4； （3）这种规格的碗摞放起来的高度不能达到，理由如下： 由(2)知，叠放在桌面上碗的高度 y (cm)与碗数 x (个)之间的关系式为 y＝1.5x＋4， ∴当y＝18时，则有1.5x＋4＝18， 解得：x＝， ∵ x 表示碗的各数，为整数， ∴ x＝不符合题意； ∴这种规格的碗摞放起来的高度 y (cm)不能达到 18 cm。 2.均匀递减现象 思考 为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔 1 min 测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下： (1)根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出( t,l )对应的点。 (2)估计燃烧 10 min后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由。 (3)估计这根香可燃烧的时间，并说明理由。 (4)试写出这根香可燃烧部分的长度 l 与燃烧时间 t 的关系式。 解：（1）平面直角坐标系中描出( t,l )对应的点如图所示。 （2）燃烧 10 min后这根香可燃烧部分的长度为 22.4－0.5×(10－1)＝17.9(cm)。 （3）由题意列代数式，得 l＝22.4－0.5(t－1)＝22.9－0.5t， 当 l＝0时，t＝45.8，∴这根香可燃烧 45.8 min。 （4）由（3），得 l＝22.9－0.5t。 探究 在小颖的实验中，燃烧时间每增加 1 min,香可燃烧部分的长度就减少 0.5 cm。也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少。为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢? 答：因为香的原材料分布均匀，结构较为一致，在燃烧过程中，其与氧气接触的条件相对稳定，外界环境因素在实验设定范围内相对固定时，就会出现这种随着时间等量变化的情况。 教师提醒： 所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的。 通过动手操作，体会生活中的均匀递增现象。 通过观察与思考，体会均匀递减现象在生活中的应用。 随堂检测 1．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地势的上升而降低这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象。下面是小明对某地某一时刻距离地面的高度 h 与温度 t 测量得到的表格。 请回答下列问题： (1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2) t 与 h 之间的关系式是 。 (3)你能估计温度为－19℃时，距离地面的高度是多少吗? 解：（1）上表反映了温度和距离地面高度之间的关系，距离地面高度是自变量，温度是因变量。 （2）根据表格数据知当高度每上升 1 km 时，温度下降 6 ℃， ∴ t＝－6h＋20； （3）将t＝－19代入t＝－6h＋20， 可得：－6h＋20＝－19， 解得 h＝6.5， 答：温度为－19℃时，距离地面的高度是6.5 km。 2.水龙头关闭不严会造成滴水，从而造成资源浪费。为了调查漏水量与漏水时间的关系，小明进行以下试验与研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每 5 min 记录一次容器中的水量，并填写了下表。 (1)建立平面直角坐标系，以横轴表示时间 x ，纵轴表示水量 y ，画出函数图象； (2)试写出漏水量 y 与漏水时间 x 的关系式，并由它估算这种漏水状态下一天的漏水量。 解：(1)利用描点法画出函数图象,如图所示。 (2)由题意，得关系式 y ＝6x, 一天＝24 h＝24×60 min＝1440 min， 即 x＝1440 min， 则 y＝6×1440＝8640 mL＝8.64 (L), 故这种漏水状态下一天的漏水量为 8.64 L。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况。 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第1课时 “均匀”变化的现象 习题解析 教学反思 第2课时 一次函数与正比例函数的概念 教学设计 课题 第2课时 一次函数与正比例函数的概念 授课人 教学目标 1.知道一次函数和正比例函数的概念以及它们之间的关系。 2.能写出实际问题中一次函数和正比例函数的关系式并能解决简单的实际问题。 3.渗透数学建模的思想，使学生体会到数学的抽象性和广泛的应用性。 4.激发学生学习数学的兴趣，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。 教学重点 1.一次函数与正比例函数的概念。 2.一次函数与正比例函数的关系。 3.会根据已知信息写出一次函数与正比例函数的表达式。 教学难点 一次函数知识的运用。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 一个蛤蟆一张嘴， 两只眼睛四条腿， 扑通一声跳下水。 两个蛤嫫两张嘴， 四只眼睛八条腿， 扑通、扑通跳下水。 如果设蛤蟆的数量为 x，y 分别表示蛤蟆嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数关系式吗？ 通过游戏感知生活中的变化关系；易于聚焦课堂，适时渗透德育。 探究新知 1.一次函数、正比例函数的概念 在弹性限度内，某弹簧的长度 y (单位：cm)与所挂物体的质量 x (单位：kg)的关系如下表所示： (1)随着所挂物体质量 x 的增加，弹簧长度 y 的增长是“均匀”的吗？ (2)写出 y 与 x 之间的关系式，并说明理由。 解：（1）观察表格，每次所挂物体质量增加 1 kg，弹簧长度都增长 0.5 cm，所以随着所挂物体质量 x 的增加，弹簧长度 y 的增长是“均匀”的。 （2）y＝0.5x＋3.0由前面可知，所挂物体质量每增加 1 kg，弹簧长度增长 0.5 cm，且当 x＝0 时，y＝3 cm， ∴ y 与 x 之间的关系式为 y＝3＋0.5x。 思考 某辆汽车油箱中原有汽油 40 L，汽车每行驶 50 km 耗油 4 L。 （1）完成下表： （2）写出耗油量 y 与汽车行驶路程 x 之间的关系式。 解：由题意，得汽车每行驶1km的耗油量为 L， ∴ 耗油量 y 与汽车行驶路程 x 之间的关系式为 y＝ x。 （3）写出油箱剩余油量 z (单位：L)与汽车行驶 x 之间的关系式。 解：z＝40－ x。 探究 （1）在上面情境中，我们得到下列关系式，它们有什么共同的特征？ （2）请你写出具有一个这种特点的关系式。 a＝5＋2b 教师归纳： 如果两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，那么称 y 是 x 的一次函数。 函数是一次函数→关系式为：y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 特别地，当 b = 0 时，称 y 是 x 的正比例函数。 函数是正比例函数→关系式为：y＝kx( k 为常数，k≠0) 注意 对一次函数而言，自变量每增加 1，函数值就增加 k，函数值的变化是“均匀”的。 针对练习 1．下列函数中，正比例函数是（ C ） A.y＝2x＋1 B.y＝x2＋1 C.y＝x D.y＝ 2．下列函数：①y＝2x；②y＝4x－1；③y＝3－x；④y＝。其中一次函数的个数是（ D ） A．1 B．2 C．3 D．4 教师总结 1.判定一个函数是一次函数的条件： 答：① k，b为常数，k≠0； ② x 的次数是 1。 2.判定一个函数是正比例函数的条件： 答：① k，b为常数，k≠0； ② x 的次数是 1； ③ b = 0。 正比例函数是一种特殊的一次函数。 2.根据条件列正比例函数、一次函数关系式 （链接例1、例2） 3.实际情境中k，b的意义 探究 (1)例(1)中，两个一次函数的一次项系数 k 和常数项 b 分别是多少，它们的实际意义是什么？ (2)一般地，k，b 对一次函数 y＝kx＋b 有怎样的影响？ 解：（1）例(1)中的两个一次函数分别是 y＝60x 和 y＝15＋5x， y＝60x 的一次项系数 k＝60 ，常数项 b＝0； y＝15＋5x 的一次项系数 k＝5 ，常数项 b＝15。 k 表示自变量每增加 1 个单位时因变量的变化量， b 表示当自变量为 0 时因变量的值。 （2）k 决定函数图象的升降及陡峭程度， b 决定函数图象与 y 轴的交点位置。 （链接例3） 与问题 1衔接，根据学生已有的知识基础和生活经验，巧设问题，培养学生独立思考的能力；另一方面培养学生的合作意识，在简单交流后达成共识。 典例精析 【例1(教材P81例1)】写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y (单位：km)与行驶时间 x (单位：h)之间的关系； （2）圆的面积 y (单位：cm2)与它的半径 x (单位：cm)之间的关系； （3）某水池有水 15 m3，现打开进水管进水，进水速度 5 m3/h,经过 x h 这个水池内有水 y m3。 【解】（1）由路程＝速度×时间，得 y＝60x，y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数。 （2）由圆的面积公式，得 y＝πx2，y 不是 x 的正比例函数，也不是 x 的一次函数。 （3）这个水池每小时增加水 5 m3，x h 增加水 5 x m3， 因而 y＝15＋5x，y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数。 【例2】已知函数 y＝(m－5)−24＋m＋1。 (1) 若它是一次函数，求 m 的值； (2) 它可能是正比例函数吗？若能，求出 m 的值。 【解】（1）∵ y＝(m－5)−24＋m＋1 是一次函数， ∴ m2－24＝1 且 m－5≠0。 ∴ m＝±5 且 m≠5。 ∴ m＝－5。 ∴ 当 m＝－5 时，函数 y＝(m－5)−24＋m＋1 是一次函数。 （2）∵ y＝(m－5)−24＋m＋1 是正比例函数， ∴ m2－24＝1 且 m－5≠0 且 m＋1＝0。 ∴ m＝±5 且 m≠5 且 m＝－1。 这样的 m 不存在。 ∴ y＝(m－5)−24＋m＋1 不可能是正比例函数。 【例3(教材P82例2)】在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过 1 s 其速度减少 35 km/h。 （1）假设该汽车以 120 km/h 的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度 y (单位：km/h)与刹车后所经过的时间 t (单位：s)之间的关系式 y＝kt＋b，并说明 k 和 b 的实际意义。 （2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间。 【解】（1）刹车开始时汽车的速度为 120 km/h， 每过 1 s 汽车的速度减少 35 km/h， 于是经过 t s 汽车的速度减少了 35 t km/h， 所以 y 与 t 的关系式是 y＝－35t＋120。 其中，k＝－35表示每秒汽车速度的变化量， b＝120 表示刹车开始时汽车的速度。 （2） 汽车停止时速度 y＝0， 解方程 0＝－35t＋120， 得 t＝≈3.43。 因此，该汽车从刹车到停止所需的时间大约为 3.43 s。 通过例题再次强化对概念的理解，并让学生们体会一次函数的应用价值；指出一次函数的定义可以帮助我们方便地计算，从而指导我们的生活。 随堂检测 1．一段导线，在 0 ℃ 时的电阻为 2 欧，温度每增加 1 ℃，电阻增加 0.008 欧，那么电阻 R 欧表示为温度 t ℃的函数关系为（ B  ） A．R＝－1.992t＋2 B．R＝0.008t＋2 C．R＝2.008t＋2 D．R＝2t＋2 2．如果 y＝kx＋2k＋x 是关于 x 的正比例函数，则 k 的值为 0 。 3．当 m＝ ±3 时，函数 y＝−8＋(3－m)是一次函数。 4．有一块 10 公顷的成熟麦田，用一台收割速度为 0.5 公顷每小时的小麦收割机来收割。 (1) 求收割的面积 y (单位：公顷) 与收割时间 x (单位：时) 之间的函数关系式； (2) 求收割完这块麦田需用的时间。 解：(1) y＝0.5x； (2) 把 y＝10 代入 y＝0.5x 中，得 10＝0.5x。 解得 x＝20，即收割完这块麦田需要 20 小时。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况。 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第2课时 一次函数与正比例函数的概念 函数是一次函数→关系式为：y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 函数是正比例函数→关系式为：y＝kx( k 为常数，k≠0) 正比例函数是一种特殊的一次函数。 习题解析 教学反思 第3课时 利用一次函数作出决策 教学设计 课题 第3课时 利用一次函数作出决策 授课人 教学目标 1.学会一次函数的应用。 2.能利用一次函数解决生活中的数学问题。 教学重点 掌握一次函数的应用。 教学难点 能利用一次函数解决生活中的数学问题。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 新课导入 回顾 什么是一次函数？ 如果两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，那么称 y 是 x 的一次函数。 思考 在实际生活中，能否运用一次函数解决某些问题？ 回顾旧知，引入本节可内容。 探究新知 1.方案选择问题 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 （1）假设该单位用车里程为 30 km，你建议租用哪家公司的客车？ （2）假设该单位用车里程为 52 km，你建议租用哪家公司的客车？ （3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？ 解：（1）由题意，得 甲公司的费用：15×30＝450（元）， 乙公司的费用：10×30＋200＝500（元）。 ∵ 450＜500， ∴建议租用甲公司的客车。 （2）由题意，得 甲公司的费用：15×52＝780（元）， 乙公司的费用：10×52＋200＝720（元）。 ∵ 780＞720， ∴建议租用乙公司的客车。 （3）设用车里程为 x 千米是两家收费相同。 则甲公司费用为 15 x 元，乙公司费用为(10x＋200)元。 则 15x＝10x＋200， 解得 x＝40 ∴ 用车里程为 40 千米时，两家出租车公司的收费相同。 ☀ 通过前面的题目，你发现了什么？ 我们发现，哪家公司比较优惠并不是固定不变的，而是根据用车里程的不同选择不同的公司。 2.分段收费问题 （链接例1） 思考 （1）在例题中，当 x＞300 时，你能写出水费 y(单位：元)与用水量 x 之间的关系式？ （2）像例题这样计费有什么意义，设计计费规则时要注意什么，生活中还有哪些情况用到类似的计费方法？ 解：（1）当 x＞300 时， y＝220×3.45＋(300－220)×4.83＋(x－300)×5.83 整理，得 y＝5.83x－603.6(x＞300)。 （2）①意义：体现公平、促进资源合理利用、反应成本差异等； ②需要注意数据的准确性、灵活性与适应性等； ③在生活中，出租车计费、快递计费等都用到类似的计费方法。 通过逐步探索解决问题，体会一次函数在生活中的应用。 典例精析 【例1（教材P83例3）】为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过 4 人时户年用水量及分档计费标准： （1）当 220＜ x ≤300 时，写出水费 y (单位：元)与 x 之间的关系式； （2）某户一年用水量是 250 m3，求该用户这一年的水费； （3）某户去年一年的水费是 1 000.5元，求该户去年一年的用水量。 【解】（1）当 220＜ x ≤300 时，用水量属于第二档。 于是 y＝3.45×220＋4.83×(x－220)， 即 y＝4.83x－303.6。 （2）当 x ＝250 时，y＝4.83×250－303.6＝903.9(元)。 （3）∵ 3.45×220＝759,4.83×300－303.6＝1 145.4， 759＜1 000.5＜1 145.4， ∴该户用水量属于第二档。 设该用户用水量为 x m3，则 1 000.5＝4.83x－303.6。 解这个方程，得 x＝270。 因此，该户去年一年的用水量为 270 m3。 通过例题，巩固一次函数的运用。 随堂检测 1．我市为鼓励居民节约用水，对家庭用水户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过 10 m3，则按每立方米 1.5 元收费；若每月用水量超过 10 m3，则超过部分按每立方米 3 元收费。如果某居民在某月缴纳了 45 元水费，那么这户居民在这个月的用水量为（ C  ） A.10m3 B.15m3 C.20m3 D.25m3 2．某公司推出两种手机通话收费方案。方案一：月租费 36 元， 通话费为 0.1 元/分；方案二：不收月租费，通话费为 0.6 元/分。设小明一个月的通话时间为 x min，已知小明选择方案一比选择方案二更优惠，则他一个月的通话时间超过（ C ） A.60 min B.70 min C.72 min D.80 min 3.某市电力公司采用分段计费的方法计算电费。每月用电不超过 100 kw·h时，按每千瓦时0.55 元计算费用，每月用电超过 100 kw·h时，超过部分按每千瓦时 0.60 元计算。 (1)设每月用电 x kw·h时，应交电费 y 元，写出 y 与 x 之间的函数关系式； (2)小王家一月份用了 115 kw·h电，应交电费多少元? 解：(1)由题意可得，当 0＜ x ≤100 时，y＝0.55x, 当 x＞100时，y＝0.55×100＋(x－100)×0.6＝0.6x－5。 (2)当 x＝115时，y＝0.6×115－5＝64(元), 答：小王家一月份用了 115 kw·h电，应交电费 64 元。 4．某公司到果园基地购买优质水果，慰问在抗震救灾的解放军官兵。果园基地对购买在 3000 千克以上（含 3000 千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克 9 元，由基地送货上门；乙方案：每千克 8 元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车需运费 5000 元。 (1)分别写出该公司两种购买方案付款 y（元）与所购买的水果量 x（千克）之间的关系式； (2)当购买 6000 千克优质水果时，应选择哪种购买方案？ 解：(1)根据题意得， 甲方案：y＝9x ；乙方案：y＝8x＋5000。 (2)当 x＝6000时， 甲方案：y＝9×6000＝54000 ； 乙方案：y＝8×6000＋5000＝53000 ； ∵ 54000＞53000, ∴ 当购买 6000 千克优质水果时，应选择乙方案。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况。 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第3课时 利用一次函数作出决策 习题解析 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $