4.3 一次函数的图象 第1课时 正比例函数的图象与性质 教案 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该教案聚焦正比例函数的图象与性质，涵盖作图步骤（列表、描点、连线）及k值对函数的影响。通过温故知新导入，回顾一次函数、正比例函数概念及函数表示方法，搭建新旧知识学习支架。 特色在于以学生探究为核心，通过动手绘制y=2x、y=-3x图象总结规律，培养几何直观与抽象能力。对比不同k值函数分析增减性和倾斜度，发展推理意识，助力学生提升数形结合能力，为教师提供层次分明的教学流程与实践活动设计。

3　一次函数的图象 第1课时　正比例函数的图象与性质 课题 第1课时　正比例函数的图象与性质 授课人 教 学 目 标 1.理解函数图象的含义,经历画正比例函数图象和探索正比例函数图象的形状的过程,知道正比例函数的图象是一条过原点的直线. 2.让学生经历正比例函数图象变化情况的探索过程,发展数形结合的意识和能力. 3.让学生经历函数图象的作图过程,初步了解作函数图象的一般步骤:列表、描点、连线. 4.让学生经历作图过程,归纳总结出作函数图象的一般步骤,发展学生的总结概括能力;在探究活动中发展学生的合作意识和探究能力. 教学 重点 　　初步了解作函数图象的一般步骤:列表、描点、连线,能够画出正比例函数的图象. 教学 难点 　　理解正比例函数的表达式与图象之间的一一对应关系. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 活动内容:(温故而知新) 1.有下列函数: (1)y=x2-3;(2)y=2x;(3)y=;(4)y=2-5x. 是一次函数的是　(2)(4)　,是正比例函数的是　(2)　.  2.函数有哪些表示方法? 3.你能将关系式法转化成图象法吗? 什么是函数的图象? 　　学生回忆并回答,为本节课的学习提供知识基础. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 函数图象及其画法 教师说明:把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标,在平面直角坐标系内描出相应的点,所有这些点组成的图形叫作该函数的图象. 【操作·思考】 画正比例函数y=2x的图象. (1)为了画出函数的图象,首先需要选取一些自变量的值,并将自变量的值及其对应的函数值用表格表示.那么,列表时选取自变量x的哪些值呢?观察这个函数表达式,x可以取0吗?可以取正数吗?可以取负数吗? (2)以你所列表中各组对应值为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点. (3)这些点真的在一条直线上吗?你能画出这条直线吗? (4)其他满足y=2x的点(x,y)也在上面画出的直线上吗? 处理方式:让学生先在小组内进行讨论如何作出函数的图象,教师加以指导,然后教师演示如何作函数y=2x的图象,最后教师总结出作函数图象的一般步骤. 说明:因为自变量可以取负数、0和正数,所以取点时可以对称性的取点. 解:列表: x … -2 -1 0 1 2 … y … -4 -2 0 2 4 … 描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点. 连线:把这些点依次连接起来,得到y=2x的图象(如图4-3-6),它是一条直线. 图4-3-6 【概括新知】 画函数图象的一般步骤:列表、描点、连线. 【探究2】 正比例函数的图象及性质 【思考·交流】 (1)画正比例函数y=-3x的图象. (2)正比例函数y=2x和y=-3x的图象有什么共同特点?一般地,正比例函数y=kx的图象有何特点?与同伴进行交流. 处理方法:指导学生利用列表、描点、连线三个步骤画出函数y=-3x的图象,教师注意巡视指导,重点关注学生画图的规范性,然后教师展示画法,并让学生比较两个函数,归纳总结它们的共同点. 　　1.让学生自己尝试总结函数图象的概念,培养学生的概括总结能力,也能让学生更好地掌握函数图象的概念. 2.让学生通过作函数图象,掌握作一个函数图象的一般步骤,能作出一个函数的图象. 活动 二: 探究 与 应用 【概括新知】 正比例函数y=kx的图象是一条经过原点(0,0)的直线.因此,画正比例函数图象时,只要再确定一个点,过这个点与原点画直线就可以了. 说明:正比例函数的表达式与图象是一一对应的,即满足正比例函数的表达式的一对x,y所对应的点(x,y)都在正比例函数的图象上;正比例函数的图象上的点(x,y)的坐标都满足正比例函数的表达式.正比例函数y=kx的图象是一条直线,以后可以称正比例函数y=kx的图象为直线y=kx. 【应用】 例1　已知点P(1,m)在正比例函数y=3x的图象上,那么点P的坐标是 (A) A.(1,3)　　　B.(-1,-3)　　　C.(1,-3)　　　D.(-1,3) 【尝试·思考】 (1)在同一平面直角坐标系中画出正比例函数y=x,y=3x,y=-x和y=-4x的图象; (2)上述四个函数中,随着x值的增大,y的值分别如何变化?相应图象上的点的变化趋势如何? 处理方式:让学生独立完成问题(1),然后根据图象讨论交流(2),并用自己的语言进行表述. 通过讨论得出:正比例函数y=x和y=3x中,随着x值的增大,y的值逐渐增大,相应的点从左到右上升;而正比例函数y=-x和y=-4x中,随着x值的增大,y的值逐渐减小,相应的点从左到右下降. 【概括新知】 在正比例函数y=kx中,当k>0时,y的值随着x值的增大而增大;当k<0时,y的值随着x值的增大而减小. 【思考·交流】 (1)正比例函数y=x和y=3x中,随着x值的增大,y的值都增大了,其中哪一个增大得更快?你能解释其中的道理吗? (2)类似地,正比例函数y=-x和y=-4x中,随着x值的增大,y的值都减小了,其中哪一个减小得更快?你是如何判断的?与同伴进行交流. 处理方式:展示图象,让学生观察,并在小组内交流得出的结论. 学情预设:正比例函数y=x和y=3x中,随着x值的增大,y=3x中y的值增大得更快;正比例函数y=-x和y=-4x中,随着x值的增大,y=-4x中y的值减小得更快. 结论:|k|越大,直线越靠近y轴. 【应用】 例2　已知点(-2,y1),(-5,y2)都在直线y=-x上,则y1,y2大小关系是 (A) A.y1<y2 B.y1=y2 C.y1>y2 D.y1≥y2 　　3.感悟到正比例函数的图象是一条直线.通过让学生动手操作,相互合作,探索得出正比例函数的表达式与图象是一一对应的及正比例函数y=kx的图象是一条直线. 4.巩固所学知识,使学生明确画正比例函数的图象取(0,0),(1,k)两点. 5.通过学生对所画函数图象变化趋势的观察,得出正比例函数图象的增减性. 6.利用正比例函数的性质解决问题,提高学生对性质的认识. 活动 二: 探究 与 应用 变式 1.在正比例函数y=(m+1)x|m|-1中,若y随x的增大而减小,则m的值为　-2　.  2.请根据下列信息确定函数y=kx中k的正负. (1) (2) 　 (3)y随x的增大而减小 k　　　　　0  [答案:(1)<　(2)>　(3)<] 【拓展提升】 1.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线y=kx上,且k<0,x1>x2,则y1与y2的大小关系为 (　　) A.y1>y2　 B.y1=y2　 C.y1<y2　 D.无法确定 2.如图4-3-7,三个正比例函数的图象分别对应表达式:①y=ax;②y=bx;③y=cx.则a,b,c的大小关系是 (　　) 图4-3-7 A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.b>c>a 　　拓展提升,提高学生应用知识的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.k=-的正比例函数的图象不经过点 (　　) A.(-2,1)　　 B.(0,0)　　 C.(2,1)　　D.(2,-1) 2.函数y=-0.5x的大致图象是 (　　) 图4-3-8 3.在平面直角坐标系中,已知正比例函数y=2x的图象经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若x1<x2,则y1　　　　y2.(填“>”“<”或“=”)  4.y=4x的图象经过点(0,　　　　)与(1,　　　　),y随x的增大而　　　　.  　　检验大多数同学对基础知识的掌握情况,检测后给学生反馈及纠正的时间,对本节课的学习进行查漏补缺. 【板书设计】 第1课时　正比例函数的图象与性质 1.图象:画函数图象的一般步骤:列表、描点、连线. 正比例函数y=kx的图象是一条经过原点(0,0)的直线. 2.性质: (1)当k>0时,y的值随着x值的增大而增大; (2)当k<0时,y的值随着x值的增大而减小. 　　提纲挈领,重点突出. 活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 学生在写关系式和认识图象的过程中,初步感受函数与图象的联系,激发了学生的学习兴趣和求知欲,为新课的学习做了铺垫. ②[讲授效果反思] 这节课的内容是学生利用数形结合的思想去研究正比例函数的图象与性质,但学生对函数与图象的对应关系有点陌生.在教学过程中,函数与图象的对应关系应让学生动手去实践、去发现,对正比例函数的图象是一条直线应让学生自己得出.在得出结论之后,让学生能运用“两点确定一条直线”很快作出正比例函数的图象.在巩固练习活动中,鼓励学生积极思考,提高学生解决问题的能力. ③[师生互动反思]     ④[习题反思] 好题题号　　  错题题号　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $