暑假作业：四边形综合训练2025-2026学年人教版八年级下学期数学

**基本信息** 聚焦四边形知识整合，以题载法覆盖特殊四边形性质、判定及综合应用，渗透几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-2题|多边形内角和公式、平行四边形性质|从一般四边形到特殊四边形的概念生成| |性质应用|单选3-8题、填空11-14题|三角形中位线、勾股定理、轴对称性质|特殊四边形边、角、对角线性质的推导与应用| |综合证明与计算|解答17-24题|全等证明、动点问题分类讨论|特殊四边形判定与性质的综合迁移，几何与代数结合|

暑假作业：四边形 综合训练 一、单选题 1．下列说法错误的是（     ） A．平行四边形的对角相等，邻角互补 B．平行四边形的对角线相等且互相平分 C．平行四边形的对边平行且相等 D．平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形 2．一个多边形的内角和等于，则这个多边形是（    ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．十边形 3．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 4．在中国传统建筑中，花窗不仅是为了美观，通常也用来表达吉祥和愿望．如图是六角花窗，则六边形的内角和为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点在上．第一步：以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，；第二步：以点为圆心，长为半径画弧交于点；第三步：以点为圆心，长为半径画弧交第二步所画的弧于点，连接并延长，交于点．则下列结论一定成立的是（     ） A．B． C． D． 6．如图，菱形中，对角线相交于点O，M、N分别是的中点，，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 7．如图，正方形边长为4，连接，的平分线交的延长线于点E，过A作交延长线于点F，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，将矩形纸片放入平面直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接，将矩形纸片沿折叠，使点C恰好落在边 上的点处，若 ，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接．M，N分别是的中点，连接，则的最小值是（     ） A． B．5 C．6 D．7 10．如图，在正方形中，、相交于点，、分别为、上的两点，，、分别交、于、两点，连、．以下结论：①；②；③；④，其中正确的是( ) A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 11．如图，在中，，，与的距离为____________． 12．已知平行四边形相邻两条边的长度之比为，周长为，则相邻两边长分别为____________． 13．如图，在矩形中，对角线，相交于点 ，若，则的长为________．    14．如图，A，B两点被池塘隔开，在外选择一点C，连接和，分别取和的中点M，N，测得米，则A，B两点间的距离是____________米． 15．已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，连接．当为等腰三角形时，线段的长为________． 16．如图，在矩形中，为对角线，，．点、分别在边，上， 连接，．作点关于的对称点，点关于的对称点、，恰好落在对角线上，连接，，则四边形的周长为_____________． 三、解答题 17．如图，在中，点E，F在对角线上，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 18．如图，在中，，E、F分别是、的中点，连接、． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求四边形的面积． 19．在学习了如何作一个已知角的平分线的方法后，小明同学对（）作了如下操作，以点A为圆心，长为半径作圆弧交于点F，再分别以点B、F为圆心，大于的一半长为半径作圆弧，两弧交于一点P，连接并延长交于点E，连接EF． (1)四边形是___________（填“矩形”、“菱形”、“正方形”或“无法确定”）． (2)相交于点O，若四边形的周长为12，，则的长为___________， ___________（直接填写结果）． 20．如图，矩形的对角线、相交于点，点与点关于对称． (1)连接、，求证：四边形是菱形； (2)若，，求点、之间的距离． 21．如图，在中，是的中点．分别延长 ， 交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的周长． 22．如图、菱形 的对角线 、 相交于点 、 是的中点，点， 在上，、 (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求和的长． 23．如图，在四边形 中，， ，，，．动点 从点 出发，以的速度向终点 运动，同时动点 从点 出发，以的速度沿折线向终点 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)填空：①__________；（用含 的代数式表示） ②__________； (2)直线 把四边形 分成两部分，当 为何值时，其中的一部分是平行四边形？ 24．如图1，在正方形中，点E，F分别是上的点，且，连接，过点E作，使，连接． (1)判断：与的数量关系是　　　　，位置关系是　　　　； (2)如图2，若点E，F分别是边延长线上的点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？ 请作出判断并给予证明； (3)如图3，若点E，F分别是边延长线上的点，正方形的边长为， ，其他条件不变，求四边形的面积．（用含a的式子表示） 第6页，共7页 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C B B B B B C 1．B 【详解】解：A．平行四边形的对角相等，邻角互补，说法正确，故不符合题意； B．平行四边形的对角线互相平分，但对角线不相等，原说法错误，故符合题意； C．平行四边形的对边平行且相等，说法正确，故不符合题意； D．平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，说法正确，故不符合题意． 2．D 【详解】解：设这个多边形的边数为，根据多边形内角和定理，边形的内角和为，其中且为整数． ∵该多边形内角和为 ∴可得方程 解得． 3．C 【分析】先判定是直角三角形，再用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算即可． 【详解】解：由图可得，， ， 为直角三角形．， 又为中点， ， ． 4．C 【详解】解：六边形的内角和为． 5．B 【分析】根据尺规作图痕迹可知，从而推出，结合平行四边形的性质，利用三角形内角和定理及平角定义进行角度转换即可得出结论． 【详解】解： 由作图步骤可知， 四边形是平行四边形 在中， ，其余结论均不能证明． 6．B 【分析】因为，根据菱形的性质可知，而，由M、N分别是的中点，根据中位线的性质即可求得． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴． 7．B 【分析】利用正方形的性质和角平分线的性质先证明，再证得，进而可以证出，利用计算即可． 【详解】解：∵ 四边形为正方形，且边长为， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设与交点为， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ． 8．B 【分析】根据矩形的性质得出，，再由勾股定理确定，得出，设，则，利用勾股定理得出，即可确定点的坐标． 【详解】解：∵在矩形纸片中， ，， ∴，， ∴在中，， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， 又∵点在第二象限， ∴点的坐标为． 9．B 【分析】斜边上的中线得到，，进而得到，即当的值最小时，有最小值，作点C关于直线的对称点，连接，，得到，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵，M，N分别是的中点， ∴，． ∴，即当的值最小时，有最小值． 如图，作点C关于直线的对称点，连接，，则， 即当B，P，三点共线时，的值最小，最小值就是的长． 在中，，， ∴． ∴的最小值． 10．C 【分析】①证得，即可判断①；②由，可得，证得即可判断选项②；③根据是等腰直角三角形，根据勾股定理以及线段的和差关系可得判断选项③；④证明，根据正方形的对角线将面积四等分，即可判断④． 【详解】解：①四边形是正方形， ，， 在和中，，，， ， ， 故①正确； ②由①知：， ， ， ， 故②正确； ③四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ， ，     故③不正确； ④四边形是正方形， ，， 在和中，，，， ， ， ，故④正确． 11．1 【分析】作，根据平行四边形的性质，可得，再根据，可得，最后根据勾股定理，求解即可． 【详解】解：过点作，交于点， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得，，即， ， 则与的距离为1． 12． 和 【分析】利用平行四边形对边相等的性质，结合已知的邻边比和周长，设未知数建立一元一次方程求解即可． 【详解】设平行四边形相邻两条边的长度分别为，. 根据平行四边形对边相等的性质，可得平行四边形周长为四边长度之和，即 ， 整理得 ， 解得 ， ∴ ，. ∴相邻两边长分别为和． 13．6 【分析】根据矩形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴． 14．200 【分析】根据三角形的中位线定理得到即可得出答案． 【详解】解：点M，N分别是和的中点， ∴是的中位线， ∵米， ∴（米）． 15．或 【分析】分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵将沿直线翻折得， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时，过点作于点，如图： 则四边形为矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点在上， 设，则， ∴， 由勾股定理得， ∴，此方程无解，故此情形不存在； 当时， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 当时，过点作于点， 则， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或． 16． 【分析】先求对角线，再利用对称性求，，在中利用勾股定理求（即），同理求进而得，最后通过作高利用面积法和勾股定理求． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由轴对称的性质可知：，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 过点作于点，如图： ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴四边形的周长：． 17．(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴； (2)证明：∵， ∴ ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据即可证明； （2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 18．(1)证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ∴是等腰三角形， ∵E为的中点， ， ， 平行四边形是矩形； (2) 【分析】（1）首先，根据四边形是平行四边形，、F分别是、的中点，证得，，得四边形是平行四边形，然后，再证得是等腰三角形，再由E为的中点，得即可证得结论； （2）先证得是等边三角形， 得，再由E为的中点，得的长，接着，由，运用勾股定理得的长，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形， ， 在中，，， 是等边三角形， ， 是的中点， ， 由(1)得， 在中，， 矩形的面积为． 19．(1)菱形 (2)， 【分析】（1）先根据作图可得，平分，再根据平行四边形的性质可得，根据等腰三角形的判定可得，从而可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得出结论； （2）先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理求出，从而可得的长，然后根据等边三角形的判定与性质可得，最后根据平行四边形的性质即可得的度数． 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下： 由作图可知：，平分，即． ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ∴． ， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形，且它的周长为12，， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ∵四边形是平行四边形， ， ． 20．(1)证明：如图，连接交于点， 四边形是矩形， ，，， ， 点与点关于对称． 垂直平分， ，， ， 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）连接交于点，根据点与点关于对称，可得垂直平分，可得，进而可以证明结论； （2）根据矩形性质和证明是等边三角形，接着利用菱形的性质和勾股定理可得点、之间的距离． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形， ， 由（1）得，又， 是等边三角形， ， ∵四边形是菱形， ，，， ， ， 点、之间的距离为． 21．(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形 (2) 【分析】（1）由四边形是平行四边形得，进而推出两组内错角相等，再结合是中点即，证明，得，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明四边形是平行四边形； （2）由四边形是平行四边形得，结合（1）中得，即为中点，由此求出，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，最后根据平行四边形周长公式计算四边形的周长即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 由（1）得， ∴，即为的中点， ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形的周长． 22．(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴ 是 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2)， 【分析】（1）根据菱形的性质得，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得，进而得，，证明四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得，则，由勾股定理求出，再根据求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形 是菱形， ∴， ∴， ∵ 是 的中点， ∴； 由（1）知，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．(1)①；②13 (2)当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形． 【分析】（1）①由题意得；②过点B作于H，证明四边形是矩形，结合勾股定理即可求得； （2）只有Q点在 上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可． 【详解】（1）解：①由题意得； ②如图，过点B作于H， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，； （2）解： Q在 上运动时间为， ∵， ∴Q运动时间最长为， 当点Q在 上时，直线把四边形分成两个部分，不可能存在其中的一部分是平行四边形， 当时，Q在 边上， 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ∵即， ∴只需， 由题意得，，，， ∴， 解得； ②四边形是平行四边形，如图所示： ∵， ∴只需，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得． 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形． 24．(1)； (2)结论仍然成立．证明如下∶ 如图2， 设与交于点N． ∵四边形是正方形， ∴，． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴；． (3) 【分析】（1）如图1，设与交于点M．利用正方形的性质可证明可得．再证明四边形是平行四边形； （2）如图2，设与交于点N．然后利用（1）的思路即可证明结论； （3）利用正方形的性质可证明可得；再四边形是平行四边形可得，；利用勾股定理可得，进而得到，最后利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解∶；． 如图1，设与交于点M． ∵四边形是正方形， ∴，． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴；． （2）略 （3）解：∵四边形是正方形， ∴，． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 在中， ， ∴， ∴． 答案第14页，共20页 答案第1页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $