解三角形期末复习专题 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以三角公式为基础，通过六类题型系统覆盖正余弦定理应用，结合历年真题强化期末备考针对性 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正弦定理余弦定理|4题|定理条件判断与基本计算|三角公式→正余弦定理直接应用| |测量问题|2题|实际情境仰角俯角求解|定理应用→现实问题数学建模| |三角形形状问题|2题|边角关系判断三角形类型|定理变形→边角互化推理| |三角形个数问题|1题|已知边角判断解的个数|定理应用→多解情况分析| |周长面积问题|4题|综合求面积及边长|定理与面积公式→综合计算| |多三角形问题|1题|复杂图形多三角形关联|单三角形求解→多三角形联动| |历年真题|8题|综合考点真题再现|知识整合→中考命题趋势对接|

期末复习专题 解三角形 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 2．二倍角公式 ； ； . 3．辅助角公式： ．（其中，） 4．计算： ； . ； . 题型一 正弦定理 余弦定理 5．在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 7．在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 题型二 测量问题 9．为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A． B． C． D． 题型三 三角形形状问题 11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a cos B－b cos A＝c，则△ABC的形状是________． 12．（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为钝角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若为锐角三角形，则 题型四 三角形个数问题 13．在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 题型五 三角形周长面积问题 14.在△ABC中，，，. (1)求△ABC的面积； (2)求c及的值. 15．在△ABC中，内角的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角的大小； (2)若，△ABC的面积为，求的值. 16. 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c,,． （1）求B； （2）若，求△ABC的面积． 17．在中，角的对边分别为，已知，． (1)若为锐角三角形，求其周长的取值范围； (2)若角的角平分线交于，满足，求的长． 题型六 多三角形问题 18．在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【历年真题】 1.在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=2b，则的最小值为___________. 2. 在中，的角平分线交AB于D，则CD=__________. 3．数学小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B在同一水平面内的两个基测点C与D.现测得，，CD=100米，在点C测得大厦顶的仰角，则该大厦高度AB= 米（精确到1米）.参考数据：， 4．已知△ABC的内角，，的对边分别为a，b，c，. (1)求cosB的值； (2)若，c=1，求b的值. 5. 在△ABC中，a､b､c分别是角A､B､C的对边，且． （1）求角B的大小; （2）若，求△ABC的面积和周长． 6. 已知分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，满足. （1）求A; （2）若△ABC周长为20，面积为 求a. 7. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，AC边上的高等于. （1） 求cosAcosC的值； （2）若AB=2，求△ABC的面积. 8. 在△ABC中，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点，若. （1） 用, 表示,； （2）求； （3）若，求四边形PMCN的面积. 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题 解三角形解析 3．辅助角公式：__________．（其中，） 【答案】 4．计算： ； ； 题型一 正弦定理 余弦定理 5．在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 6．已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理计算易得. 【详解】由正弦定理可得. 故选：A. 7．在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由余弦定理计算求解即可. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 8．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】展开原式得，移项整理得. 根据余弦定理，代入得， 因为是三角形内角，范围为，故满足的角为. 9．为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】设塔高为，已知平面，则均为直角三角形， 已知，则，故， 已知，则， 由余弦定理得，即 ，解得． 10．如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，求得，进一步可得，由正弦定理求得，又为等腰直角三角形，求得. 【详解】在中，，，所以， 在中，，， 所以， 由正弦定理得，所以， 又为等腰直角三角形，所以. 11．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 , , ,且满足 ,则 的形状是____________. 【答案】直角三角形 【分析】利用余弦定理、勾股定理逆定理进行求解即可. 【详解】， 所以   是直角三角形. 故答案为：直角三角形 12．（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为钝角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若为锐角三角形，则 【答案】BCD 【分析】A. 由，利用二倍角公式和正弦定理转化，再利用大角对大边判断；B.利用余弦定理判断；C.利用正弦定理将边转化为角，再利用两角和与差的正弦公式求解；D.根据为锐角三角形，得到，即，再利用在上的单调性判断. 【详解】A. 由，得，即 ，又 ， ，所以 ，由正弦定理得 ，则 ，即 ，由大角对大边得，故错误； B. 因为，所以，又，则C为钝角，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，所以为钝角三角形，故正确； C. 由得， ，化简得，因为， 所以，则，所以为直角三角形，故正确； D. 因为为锐角三角形，则，所以， 因为在上递增，则，故正确； 13．在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 14．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． (1)求的面积； (2)求边长及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用平方关系和面积公式求解即可. （2）利用余弦定理和正弦定理求解即可. 【详解】（1）由，且， 则， 所以． （2）由， 则， 又，则． 15．在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式及两角和的正弦公式化简求解即可. （2）根据三角形面积公式及余弦定理求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，， 又，所以， 则， 化简得，， 在中，，所以， 又因为，所以. （2）由三角形面积公式得：，解得， 由余弦定理得，， 所以，又，所以. 16. 在中，角所对的边分别为． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用条件及余弦定理的推论可得，再由条件可求出； （2）解法1：利用两角和的正弦公式分别求出角的正弦值，再利用正弦定理可求出，再利用三角形面积公式求解即可；解法2：注意到，进而可得，由正弦定理并化简可得，进而求，再利用三角形面积公式求解即可；解法3：过点作交于，利用直角三角形即可求边长，再利用面积公式求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理推论及得， 由于，则， 又因为，且， 所以，则． 【小问2详解】 解法1：由（1）可知， 且， ， 由正弦定理：， 得， 所以． 解法2： 由（1）， 所以， 由正弦定理：， 得， ． 解法3 : 如图，过点作交于， 由于，则， 所以，， 所以． 17．在中，角的对边分别为，已知，． (1)若为锐角三角形，求其周长的取值范围； (2)若角的角平分线交于，满足，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）正弦定理化边，结合余弦定理求角，最后用正弦函数的性质或基本不等式求最值； （2）利用角平分线定理定边的比例，再用余弦定理求三边，最后用向量模长公式计算长度． 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，整理得， 所以， 又因为，所以， 因为，由正弦定理得， 所以，， 因为，所以， 则， 又，则，即， 所以，，即， 所以，即周长的取值范围是， （2）因为，由角平分线定理得，即， 在三角形中，，由余弦定理得，，； 因为，所以，得， 所以 ． 18．在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【详解】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值：. 故答案为：C 【历年真题】 1．在中，角所对的边分别为，则的最小值为___________. 【答案】3 【分析】首先根据余弦定理和角的范围求出，然后用将所求式子表示出来并化简，最后利用二次函数的最值可求得原式的最小值. 【详解】根据余弦定理得，因为，所以， 所以. 所以. 而. 当时，即时，取最大值为. 此时取最小值为. 故答案为：3. 2．在中，的角平分线交于，则__________. 【答案】 【分析】在中，由余弦定理可得：，由正弦定理可得，根据角平分线的性质可得：，在中，由正弦定理可得：即可求解. 【详解】因为在中，    由余弦定理可得：，解得 由正弦定理可得：，即，解得：， 因为的角平分线交于，所以，由角平分线性质可得：，所以， 在中，由正弦定理可得：，即，解得： 故答案为： 3．高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部在同一水平面内的两个基测点与.现测得，，米，在点测得大厦顶的仰角，则该大厦高度_____________米（精确到1米）. 参考数据：，.    【答案】 【分析】在中，利用正弦定理求出，再解即可. 【详解】在中，，，米， 则， 因为， 所以米， 在中，， 则， 所以米. 故答案为：. 4．已知△ABC的内角，，的对边分别为a，b，c，. (1)求cosB的值； (2)若，c=1，求b的值. 答案：(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，即可求出； （2）根据数量积的定义求出，即可求出，再由余弦定理计算可得； 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得，因为，所以 （2）解：因为，所以，所以， 因为，所以， 由余弦定理， 所以. 5. 在中，a､b､c分别是角A､B､C的对边，且． （1）求角B的大小; （2）若，求的面积和周长． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】（1）由余弦定理化角为边可得，再利用余弦定理即可求解； （2）由面积公式即可求出面积，再利用余弦定理得出即可求出周长. 【详解】（1）由余弦定理，得， 将上式代入，整理得， ∴， ∵角B为的内角，∴． （2）在中，， 在中，由余弦定理， 将， 代入得， ∴， ∴， 的周长为． 6. 已知分别为三个内角的对边，满足 （1）求; （2）若的周长为，面积为 求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，得到，再由辅助角公式求出答案； （2）根据题中条件得到的关系式，结合余弦定理解得的值 【小问1详解】 由正弦定理得， 其中， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以， 故，解得； 【小问2详解】 因为的周长为，面积为 所以，即 由余弦定理得，即 结合方程化简得，解得 7. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，AC边上的高等于. （1）求的值； （2）若，求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角形的面积公式得出；再利用正弦定理将边化为角得出；最后根据两角和的余弦公式及诱导公式可求解. （2）结合（1）中及余弦定理可得；再根据三角形面积公式可求解. 【小问1详解】 因为AC边上的高等于 所以，即 由正弦定理得， 又因为， 所以． 又因为， ， 所以， 故 【小问2详解】 由（1）知. 因为， 所以. 因为， 所以由余弦定理可得：， 即， 则，即，解得， 所以△ABC的面积. 8. 在中，，边上的两条中线，相交于点，若. （1）用表示； （2）求； （3）若，求四边形的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)由，为，边上的中线即可得出答案 （2）由，两边平方，设，化简计算后即可得出答案 （3）由是重心，得出，再由（2）即可得出答案 【小问1详解】 因为为边上的中线，所以 因为为边上的中线，所以 【小问2详解】 因为 所以 因为 所以设 所以 所以 又因为 所以 【小问3详解】 已知，设，结合， ，代入得： 解得 则 因为是重心,则 所以，同理 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $