精品解析：广东佛山市南海区石门中学2025-2026学年高一下学期第二次供题训练数学试卷

2025～2026学年下学期第二次供题训练 高一数学 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 2.请认真核对答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 3.作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 4.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 长度相等的两个向量一定是相等向量 B. 方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C. 零向量没有方向 D. 平行向量的方向一定相同 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，相等向量必须长度相等方向相同，故A错误； 对于B，由共线向量的定义得方向相同或相反的两个向量叫做共线向量，故B正确； 对于C，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故C错误； 对于D，平行向量的方向可以相同，也可以相反，故D错误. 2. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算化简复数z，再根据其对应点的坐标判断所在象限. 【详解】由题意得复数， 复数z在复平面内对应的点为，该点位于第一象限. 3. 某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在频率分布直方图中，中位数左右两边面积相等，平均数受极端值影响，偏向长尾方向. 直方图左偏（左边拖尾长，右边集中）,如D选项→平均数中位数； 直方图右偏（右边拖尾长，左边集中），如B选项→平均数中位数； 直方图对称，如AC选项→平均数≈中位数. 故此题选D. 4. 将函数的图象经过下列哪种变换可以得到函数的图象（ ） A. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） D. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】A 【解析】 【详解】先将向左平移个单位，可得， 再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 可得的图象，故A正确. 5. 在中，，则这个三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理和三角恒等变换得到或，得到三角形形状 【详解】，由正弦定理得， 故， 又， ， 所以， 所以， 即，所以或， 由得或（舍去）， 由得， 故这个三角形一定是等腰或直角三角形 6. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】根据平面向量平行性质，，，，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 7. 如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量加法的几何意义得，从而化为求的范围，根据已知及向量数量积的运算律、二次函数的性质求范围. 【详解】因为点是线段的中点，所以向量， 所以，又向量方向相反，且， 所以． 8. 若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法，求出函数在上的两个端点，结合函数在上有最大值没有最小值构造不等式，解不等式求出的取值范围． 【详解】令，，， 当时，；当时，； 则， 函数的最大值在处取得； 最小值在处取得； 已知函数在上有最大值没有最小值， 区间必须包含第一个最大值点，且不能包含第一个最小值点， ，解得． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有两项或三项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】列举反例，排除AD，根据复数的运算公式，判断BC. 【详解】A.若取，，满足，但，，不能比较大小，故A错误； B. 若，则，故B正确； C.设，，, 则， ， ，所以，故C正确； D. 若取，，满足，但此时，，故D错误. 10. [多选]如图为某省高考数学试卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，下列结论正确的有（ ） A. 近三年容易题分值逐年增加 B. 近三年难题分值逐年减少 C. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2023年 D. 2024年的容易题与中档题的分值之和占总分的以上 【答案】AD 【解析】 【分析】根据近三年高考数学卷中容易题、难题、中档题分值的数据的变化可判断ABC选项的正误；计算出2024年的容易题与中档题的分值之和，求出所占比例，可判断D选项的正误，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由题图可知，近三年容易题分值分别为40，55，96，逐年增加，故A项正确； 对于B：由题图可知，近三年难题分值先增后减，故B项错误； 对于C：由题图可知，近三年中档题分值所占比例最高的年份是2022年，故C项错误； 对于D：由题图可知，2024年的容易题与中档题的分值之和为，所占比例为，故D项正确． 11. 正三棱柱中，棱长均为3，在棱上，且（在上面），则（ ） A. 五面体的体积是定值 B. 与可能垂直 C. D. 当时，称五面体为刍甍，该刍甍体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据割补法计算体积分析ACD，建立空间直角坐标系分析B. 【详解】 对于AD，, 正三棱柱中，棱长均为3,所以, 设，则, , 故,AD正确； 对于B，以为原点，建立空间直角坐标系如图， 则，,, 所以,, 当时，，此时不在棱上，故错误； 对于C，因为平行于平面, 所以到平面的距离为的高， , 故, , 故正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】两角和的正切公式求解，再由同角三角函数基本关系式化简求解即可． 【详解】因为，所以，解得， 所以． 13. 已知为单位向量，若向量在向量方向上的投影向量为，则________. 【答案】## 【解析】 【详解】为单位向量，， 向量在向量方向上的投影向量为， . 14. 已知正四棱柱的高为2，底面边长为1，为该四棱柱表面上的动点，且，则的轨迹总长度为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据正四棱柱的性质可得点的轨迹是以为球心，为半径的球面与该四棱柱表面的交线，依次分析点在各面的轨迹，计算轨迹长度可得结果. 【详解】因为所以P在以为球心，为半径的球面上. 因为球心到侧面，侧面，侧面上的点的距离均不大于， 所以球面与面，面，面均无交线， 因为球心到平面的距离分别为， 所以球与面的交线为以为圆心，为半径的四分之一圆，即点在底面的轨迹长； 与面的交线为以为圆心，以2为半径的圆弧， 如图设点，当时，，此时，，所以. 所以点在侧面的轨迹长； 与面的交线为以为圆心，以2为半径的圆弧， 当时，，此时，，所以. 所以点在侧面的轨迹长； 综上所述，点的轨迹总长为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求的单调递减区间及对称轴； （2）当时，求函数的值域． 【答案】（1）单调递减区间为，对称轴为 （2） 【解析】 【小问1详解】 ， 正弦函数的单调递减区间为， 令，则， 解得， 所以的单调递减区间为； 正弦函数的对称轴为， 令，解得， 所以的对称轴为． 【小问2详解】 令，因为，所以， 所以，即， 所以， 即函数的值域为． 16. 如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且． （1）证明：B，D，E，G四点共面. （2）证明：三条直线交于一点. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，利用平行的传递性证明，进而可得四点共线； （2）延长，设它们交于一点，由已知可得，则，同理可得，则S和Q是同一个点，所以三条直线交于一点. 【小问1详解】 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. 【小问2详解】 延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 17. 为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． （1）求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； （2）估计样本中成绩的上四分位数； （3）若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 【答案】（1），90 （2）86 （3）平均数为91，方差为22． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求的值，再利用频率估计总体即可； （2）根据百分位数的求解方式求解即可； （3）根据分层抽样的方差公式求解． 【小问1详解】 在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1， 则，解得， 估计样本中成绩不低于60分的人数为． 【小问2详解】 前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 所以成绩的上四分位数落在内，设其为， 则，解得， 即估计样本中成绩的上四分位数为86． 【小问3详解】 样本中成绩在内占成绩在内的比例为， 样本中成绩在内占成绩在内的比例为． 设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为， 由分层随机抽样的平均数公式可得， 由分层随机抽样的方差公式可得， 故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22． 18. 如图，正方形ABCD中，边长为a，E为中点，F是边上的动点，将，分别沿着折起，使A，B两点重合于点S. （1）求证：； （2）当F是边BC的中点时，将，，分别沿着折起，使A，B，C三点重合于点S，求三棱锥的外接球的表面积； （3），若，设直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可知，根据线面垂直的判定即可证明平面，继而得到； （2）根据题意可得两两垂直，三棱锥可放入以为边的长方体中，长方体体对角线就是其外接球直径，求出体对角线长即可得到外接圆面积； （3）利用等体积法可得点到平面的距离为，根据线面角的定义可得，再利用函数的单调性求最值即可. 【小问1详解】 在正方形ABCD中,, 所以翻折后，又平面， 所以平面，又平面，所以. 【小问2详解】 在正方形ABCD中，，翻折后， 又，所以两两垂直， 三棱锥可放入以为边的长方体中， 所以长方体体对角线就是其外接球直径，长度为 ， 即外接球半径，表面积 三棱锥SDEF的外接球的表面积. 【小问3详解】 设，设点到平面的距离为， 则， ，， 则， ， 又由（1）知平面，所以， ，解得， 又直线与平面所成角为， 所以， 又因为，当，即时取等， 所以在单调递减，即， 则， 所以的最大值为. 19. 布洛卡点是三角形内部的一个特殊的点，由法国数学家亨利•布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角．如图，在中，记它的三个内角分别为，，，其对边分别为，，，的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题： （1）若，且，求； （2）若，的面积为，求； （3）若为锐角三角形．求证：． 【答案】（1） （2）24 （3）在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得 ， ， ， 三式相加可得：①； 在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得： ， 在和内，同理， 于是， 因为， 由等比性质得②， 由①②得 即， 因为， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和，可得，从而求得，得到 的值； （2）由三角形面积公式，可得，在，，中，分别利用余弦定理，并三式相加整理得，从而求得； （3）由同角三角关系的商数关系，进行切化弦，在内，利用余弦定理及三角形面积公式可得：；同理在，和 内，可得，根据比例的性质进行化简即可证明. 【小问1详解】 ， 又， ，. 所以， ，所以. 【小问2详解】 ， 所以， 在，，中，分别由余弦定理得： ，，， 三式相加整理得， 即，故； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年下学期第二次供题训练 高一数学 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 2.请认真核对答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 3.作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 4.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 长度相等的两个向量一定是相等向量 B. 方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C. 零向量没有方向 D. 平行向量的方向一定相同 2. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象经过下列哪种变换可以得到函数的图象（ ） A. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） D. 先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 5. 在中，，则这个三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有两项或三项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. [多选]如图为某省高考数学试卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，下列结论正确的有（ ） A. 近三年容易题分值逐年增加 B. 近三年难题分值逐年减少 C. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2023年 D. 2024年的容易题与中档题的分值之和占总分的以上 11. 正三棱柱中，棱长均为3，在棱上，且（在上面），则（ ） A. 五面体的体积是定值 B. 与可能垂直 C. D. 当时，称五面体为刍甍，该刍甍体积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，则________． 13. 已知为单位向量，若向量在向量方向上的投影向量为，则________. 14. 已知正四棱柱的高为2，底面边长为1，为该四棱柱表面上的动点，且，则的轨迹总长度为___________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求的单调递减区间及对称轴； （2）当时，求函数的值域． 16. 如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且． （1）证明：B，D，E，G四点共面. （2）证明：三条直线交于一点. 17. 为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． （1）求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； （2）估计样本中成绩的上四分位数； （3）若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 18. 如图，正方形ABCD中，边长为a，E为中点，F是边上的动点，将，分别沿着折起，使A，B两点重合于点S. （1）求证：； （2）当F是边BC的中点时，将，，分别沿着折起，使A，B，C三点重合于点S，求三棱锥的外接球的表面积； （3），若，设直线与平面所成角为，求的最大值. 19. 布洛卡点是三角形内部的一个特殊的点，由法国数学家亨利•布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角．如图，在中，记它的三个内角分别为，，，其对边分别为，，，的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题： （1）若，且，求； （2）若，的面积为，求； （3）若为锐角三角形．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $