1.5.2 矩形的判定 课件 2025--2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦矩形的判定，涵盖定义及“三个角是直角的四边形”“对角线相等的平行四边形”两个判定定理。以小明验证相框是否为矩形为导入，通过类比平行四边形判定、逆命题猜想等问题链，衔接矩形性质与判定，搭建学习支架。 其亮点在于情境化与逻辑推理结合，以生活实例（相框、木匠锯板）引导学生用数学眼光观察现实，通过定理猜想与证明（如三个直角四边形证矩形）培养推理意识，用几何语言规范表述并结合例题、实际测量方案助学生用数学语言表达。学生能提升应用能力，教师可高效开展教学。

湘教版·八年级下册数学 1.5.2 矩形的判定 第1章 四边形 1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握 矩形的判定定理．（重点） 2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点) 学习目标 小明在商场买了一个相框，在路上遇到了好朋友小虎，小虎看了相框感觉这个相框不是合格，不是标准的矩形，小明想运用学过的知识验证下，你们能帮帮他吗？ 有三个角是直角的四边形是矩形 类比平行四边形的定义是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？ 类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立. 矩形是特殊的平行四边形. 1 问题2 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立 问题3 至少有几个角是直角的四边形是矩形？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°. 由于∠A＝∠B＝∠C＝90°， 所以∠D＝360°－∠A－∠B－∠C＝90°. 因此AD∥BC，AB∥CD. 从而四边形 ABCD 是平行四边形. 又∠A＝90°， A B C D 由矩形的定义得， 四边形 ABCD 是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵ ∠A = ∠B = ∠C = 90°， ∴四边形 ABCD 是矩形. 归纳总结 矩形的判定定理： A B C D 问题1：前边我们学习了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立. 问题2：四边形至少有几个角是直角就是矩形呢？ A B D C (有1个角是直角) A B D C (有2个角是直角) A B D C (有3个角是直角) 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 . 你能证明上述猜想吗？ 小芳同学由“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？ 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明：由于∠A＝∠B＝∠C＝90°， 所以∠D＝360°－∠A－∠B－∠C＝90°. 因此AD∥BC，AB∥CD. 从而四边形 ABCD 是平行四边形. 又∠A＝90°， A B C D 证一证 由矩形的定义得， 四边形 ABCD 是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵ ∠A = ∠B = ∠C = 90°， ∴四边形 ABCD 是矩形. A B C D 归纳总结 矩形的判定定理： 例1 如图， □ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E，F，G，H，求证：四边形 EFGH 为矩形． 证明：在□ ABCD 中，AD∥BC， ∴∠DAB + ∠ABC = 180°. ∵AE 与 BG 分别为∠DAB、∠ABC 的平分线， F A B D C H E G ∴四边形 EFGH 是矩形． 同理可证∠AED = ∠EHG = 90°. ∴∠AFB = 90°. ∴∠GFE = 90°. ∴ ∠BAE + ∠ABF = ∠DAB+ ∠ABC = 90°. 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想“对角线相等的四边形是矩形”，你觉得对吗？ 思考 你能证明这一猜想吗？ 我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 不对，等腰梯形的对角线也相等. 不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分. 情境 下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化． α α α 思考 当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形． 如何证明呢？ 已知：平行四边形ABCD中，AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形. A B C D 证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AB=DC. ∴ △ABC≌ △DCB(SSS). ∴ ∠ABC=∠DCB. 又∵ AC=DB，BC=CB， ∵ AB//CD， ∴ ∠ABC=∠DCB=90°. ∴四边形ABCD是矩形. 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴ ∠ABC+∠DCB=180°. 矩形的判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形. (对角线相等且互相平分的四边形是矩形.) A B C D 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形. (或OA=OC=OB=OD) 思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 有三个角是直角的四边形是矩形. 例2 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是 △ABC 外角 ∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形 ADCE 为矩形． ∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM. ＝ (∠BAC＋∠CAM) ＝ 90°. 证明：在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC. 又∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC ＝ ∠CEA ＝ 90°. ∴四边形 ADCE 为矩形． 思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，那么窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形. 例3 如图，在□ABCD 中，它的两条对角线相交于点O. (1) 如果□ABCD 是矩形，试问：△OBC 是什么样的三角形？ A B C D O 解：(1)因为□ABCD 是矩形， 所以 AC 与 DB 相等且互相平分， 于是 OB = DB = AC = OC， 所以△OBC 是等腰三角形. (2) 如果△OBC 是等腰三角形，且 OB = OC，那么□ABCD 是矩形吗？ 解：(2) 因为△OBC 是等腰三角形，且OB = OC， 所以 AC = 2OC = 2OB = BD. 因此，□ABCD 是矩形. A B C D O 回到情境，现在你可以帮小明检测所买的相框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，有几种方案，根据又是什么呢？ 方案1：分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，那么相框符合规格； 方案2：测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，那么相框符合规格； 方案3：分别测量出相框四边和两条对角线的长度，如果相框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么相框符合规格. 课堂小结 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定定理 $