暑假专题训练：三角形内角和定理2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 北师大版八年级下册暑假专题训练聚焦三角形内角和定理，通过基础计算、综合应用及证明探究的三阶分层设计，强化从单一知识到跨情境应用的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|内角和定理直接应用（角度计算、比例）|选择题1-7/填空题13-15（如角度比例、基础计算）| |能力提升|结合角平分线/平行线/高的综合计算|选择题8-12/填空题16-17（如方位角、角平分线与平行线综合）| |综合应用|证明过程与实际情境应用|解答题18-22（如定理证明、航海情境应用，体现转化思想）|

北师大版（2024）八年级下册暑假专题训练：三角形内角和定理 一、选择题 1.如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇C在其北偏东62°的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇C在其北偏东13°的方向上．则此时在巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是(　　) A.13° B.49° C.62° D.75° 2.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是(　　) A.80° B.90° C.100° D.110° 3.已知在△ABC中，∠A﹣∠B＝30°，且∠C＝4∠B，则△ABC为(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是(　　) A.59° B.60° C.56° D.22° 5.如图，P是△ABC内一点，连接BP，CP，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则∠BPC的度数为(　　) A.110° B.120° C.130° D.140° 6.如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是(　　) A.40° B.50° C.60° D.70° 7.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2:3:4，则∠A的度数为(　　) A.35° B.40° C.70° D.110° 8.如图，在△ABC中，∠A的度数是(　　) A.60° B.40° C.30° D.20° 9.在下列条件中，可以确定△ABC是直角三角形的是(　　) A.∠A+∠B+∠C＝180° B.∠A＝∠B＝∠C C.∠A＝∠C﹣∠B D.∠A＝∠B＝2∠C 10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为(　　) A.80° B.30° C.35° D.50° 11.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且与BC相交于点D，∠B＝40°，∠BAD＝30°，则∠C的度数是(　　) A.70° B.80° C.100° D.110° 12.如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是(　　) A.30° B.35° C.40° D.45° 二、填空题 13.三角形三个内角度数之比为1:2:3，其中最大的角度数为 　　． 14.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为 　                   　． 15.在△ABC中，∠A+∠B＝2∠C，则∠C＝　  　． 16.如图，某轮船上午8时在A处测得灯塔S在其北偏东60°的方向上，向东行驶至中午12时，在B处测得灯塔S在其北偏西30°的方向上(自己完成图形)，已知轮船行驶的速度为20 km/h，则∠ASB＝________，AB的长为________km. 17.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠BDC＝118°，则∠A＝　  　． 三、解答题 18.阅读下列材料，并完成相应任务． (1)证法一的思路是先用平行线的性质得到∠B＝∠1，∠C＝∠2，此处，括号内应填写的理由是 　         　，再将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180°，这种方法主要体现的数学思想是 　　；(单选，将正确选项填入空格处) A．数形结合思想 B．分类思想 C．转化思想 (2)将证法二补充完整． 19.在小学我们通过观察、实验的方法得到“三角形的内角和是180°”的结论．小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明确认他的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路，如图1，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下： 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 证明：延长BC，过点C作CM//BA． ∴∠A＝∠1，∠B＝∠2． ∵∠1+∠2+∠ACB＝180°， ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°． (1)小明的证明过程依据有哪些？(写两条即可) 　                                  　； 　                                    . (2)请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 20.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数． 21.如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数． 22.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且∠ABD＝∠A，∠C＝3∠A． (1)求△ABC各内角的度数； (2)求∠ADB的度数． 北师大版（2024）八年级下册暑假专题训练：三角形内角和定理（参考答案） 一、选择题 1.如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇C在其北偏东62°的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇C在其北偏东13°的方向上．则此时在巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是(　　) A.13° B.49° C.62° D.75° 【答案】B 【解析】由题意得，∠CAB＝90°﹣62°＝28°，∠ABC＝90°+13°＝103°， ∴∠ACB＝180°−∠CAB﹣∠ABC＝49°． 故选：B． 2.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是(　　) A.80° B.90° C.100° D.110° 【答案】C 【解析】∠ACB＝180°－30°－50°＝100°， 因为CD平分∠ACB， 所以∠ACD＝50°，∠ADC＝180°－30°－50°＝100°. 故选：C . 3.已知在△ABC中，∠A﹣∠B＝30°，且∠C＝4∠B，则△ABC为(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【答案】C 【解析】由∠A﹣∠B＝30°，可得出∠A＝∠B+30°，在△ABC中，∠A=∠B+30°, ∠C=4∠B.利用三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=∠B+30°+∠B+4∠B=180°，解得∠B=25°，∠C=100°，结合∠C＝100°＞90°，可得出△ABC为钝角三角形． 故选：C． 4.如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是(　　) A.59° B.60° C.56° D.22° 【答案】A 【解析】∵BE为△ABC的高， ∴∠AEB＝90°. ∵∠C＝70°，∠ABC＝48°， ∴∠CAB＝62°， ∵AF是角平分线， ∴∠1＝∠CAB＝31°， 在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°． ∴∠3＝∠EFA＝59°. 故选：A． 5.如图，P是△ABC内一点，连接BP，CP，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则∠BPC的度数为(　　) A.110° B.120° C.130° D.140° 【答案】D 【解析】在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∵∠A＝100°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣100°＝80°， 即∠1+∠2+∠3+∠4＝80°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴2∠2+2∠4＝80°， ∴∠2+∠4＝40°， 在△BPC中，∠BPC+∠2+∠4＝180°， ∴∠BPC＝140°. 故选：D． 6.如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是(　　) A.40° B.50° C.60° D.70° 【答案】B 【解析】∵DE∥AB，∠BDE＝50°， ∴∠ABD＝∠BDE＝50°， 而BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD＝100°， ∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°． 故选：B． 7.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2:3:4，则∠A的度数为(　　) A.35° B.40° C.70° D.110° 【答案】B 【解析】∵△ABC中∠A∶∠B∶∠C＝2:3:4， ∴设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝4x． ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2x+3x+4x＝180°，解得x＝20°， ∴∠A＝2x＝40°． 故选：B． 8.如图，在△ABC中，∠A的度数是(　　) A.60° B.40° C.30° D.20° 【答案】A 【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3x+2x+4x＝180°， 解得x＝20°， ∴∠A＝3×20°＝60°． 故选：A． 9.在下列条件中，可以确定△ABC是直角三角形的是(　　) A.∠A+∠B+∠C＝180° B.∠A＝∠B＝∠C C.∠A＝∠C﹣∠B D.∠A＝∠B＝2∠C 【答案】C 【解析】∠A+∠B+∠C＝180°，∠A，∠B，∠C的度数不确定，A不能确定△ABC是直角三角形； ∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是等边三角形，B不能确定△ABC是直角三角形； 由∠A=∠C﹣∠B得∠A+∠B＝∠C，根据三角形内角和定理得到∠C＝90°，C可以确定△ABC是直角三角形； ∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC是等腰三角形，D不能确定△ABC是直角三角形. 故选：C． 10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为(　　) A.80° B.30° C.35° D.50° 【答案】C 【解析】∵∠B＝50°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC＝35°， ∵DE∥AC， ∴∠ADE＝∠DAC＝35°. 故选：C． 11.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且与BC相交于点D，∠B＝40°，∠BAD＝30°，则∠C的度数是(　　) A.70° B.80° C.100° D.110° 【答案】B 【解析】∵AD平分∠BAC，∠BAD＝30°， ∴∠BAC＝2×30°＝60°， ∵∠B＝40°， ∴∠C＝180°－40°－60°＝80°. 故选：B. 12.如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是(　　) A.30° B.35° C.40° D.45° 【答案】C 【解析】如图， 由题意得∠5＝180°﹣(∠1+∠2)＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣(∠3+∠4)＝180°﹣2∠3， ∵∠α＝70°， ∴∠2+∠3＝180°﹣∠α＝110°， ∵∠β＝180°﹣(∠5+∠6) ∴∠β＝180°﹣(180°﹣2∠2+180°﹣2∠3) ＝2(∠2+∠3)﹣180° ＝2×110°﹣180° ＝220°﹣180° ＝40°． 故选：C． 二、填空题 13.三角形三个内角度数之比为1:2:3，其中最大的角度数为 　　． 【答案】90° 【解析】若三角形三个内角度数的比为1:2:3， 设一个角是x度，则另两角分别是2x度，3x度． 根据三角形内角和定理得到x+2x+3x＝180， 解得x＝30． 则最大的角是3x＝90． 故答案为：90°． 14.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为 　                   　． 【答案】70°或30° 【解析】如图1，∵AD为边BC上的高， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝50°+20°＝70°， 如图2，∵AD为边BC上的高， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝50°﹣20°＝30°. 故答案为：70°或30°． 15.在△ABC中，∠A+∠B＝2∠C，则∠C＝　  　． 【答案】60° 【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝2∠C， ∴3∠C＝180°， ∴∠C＝60°． 故答案为60° 16.如图，某轮船上午8时在A处测得灯塔S在其北偏东60°的方向上，向东行驶至中午12时，在B处测得灯塔S在其北偏西30°的方向上(自己完成图形)，已知轮船行驶的速度为20 km/h，则∠ASB＝________，AB的长为________km. 【答案】90°；80 【解析】由图可知， ∠SAB＝90°－∠SAD＝90°－60°＝30°，∠SBA＝90°－∠SBC＝90°－30°＝60°， ∴∠ASB＝180°－∠SAB－∠SBA＝180°－30°－60°＝90°， ∴AB＝20×(12－8)＝80(km)． 故答案为：90°；80. 17.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠BDC＝118°，则∠A＝　  　． 【答案】56° 【解析】由三角形内角和定理知∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝62°， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB， ∴∠ABC+∠ACB＝2(∠DBC+∠DCB)＝124°， 由三角形内角和定理知∠A＝180°﹣(∠ABC+∠ACB)＝180°﹣124°＝56°． 故答案为：56°． 三、解答题 18.阅读下列材料，并完成相应任务． (1)证法一的思路是先用平行线的性质得到∠B＝∠1，∠C＝∠2，此处，括号内应填写的理由是 　         　，再将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180°，这种方法主要体现的数学思想是 　　；(单选，将正确选项填入空格处) A．数形结合思想 B．分类思想 C．转化思想 (2)将证法二补充完整． 【答案】解：(1)两直线平行，内错角相等；转化思想． 故答案为：C. (2)∵CN∥AB， ∴∠A＝∠ACN，∠B＝∠NCM， ∵∠ACB+∠ACN+∠NCM＝180°， ∴∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°． 19.在小学我们通过观察、实验的方法得到“三角形的内角和是180°”的结论．小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明确认他的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路，如图1，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下： 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 证明：延长BC，过点C作CM//BA． ∴∠A＝∠1，∠B＝∠2． ∵∠1+∠2+∠ACB＝180°， ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°． (1)小明的证明过程依据有哪些？(写两条即可) 　                                  　； 　                                    . (2)请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】(1)解：延长BC，过点C作CM∥BA． ∴∠A＝∠1(两直线平行，内错角相等)， ∠B＝∠2(两直线平行，同位角相等)． ∵∠1+∠2+∠ACB＝180°(平角的定义)， ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°(等量代换)． 故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；平角的定义；等量代换(写两条即可). (2)证明：过点A作DE∥BC， ∴∠2＝∠B，∠3＝∠C， ∵∠BAC+∠2+∠3＝180°， ∴∠BAC+∠B+∠C＝180°. 20.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数． 【答案】解：∵∠A＝54°，∠B＝48°， ∴∠ACB＝180°﹣54°﹣48°＝78°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACB＝39°， ∵DE∥BC， ∴∠CDE＝∠BCD＝39°． 21.如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数． 【答案】解：由题意得，BE∥AD，∠BAD＝40°， ∠CAD＝15°，∠EBC＝80°， ∴∠EBA＝∠BAD＝40°，∠BAC＝40°＋15°＝55°， ∴∠ABC＝∠EBC－∠EBA＝80°－40°＝40°， ∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－55°－40°＝85°. 22.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且∠ABD＝∠A，∠C＝3∠A． (1)求△ABC各内角的度数； (2)求∠ADB的度数． 【答案】解：(1)∵BD是∠ABC的平分线，∠ABD＝∠A， ∴∠CBD＝∠ABD＝∠A， ∴∠ABC＝∠CBD+∠ABD＝2∠A， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠A+2∠A+3∠A＝180°， ∴∠A＝30°， ∴∠ABC＝2∠A＝60°，∠C＝3∠A＝90°. (2)由(1)可知∠ABD＝∠A＝30°， ∵∠ADB+∠ABD+∠A＝180°， ∴∠ADB＝180°﹣(∠ABD+∠A)＝120°． 学科网（北京）股份有限公司 $