解三角形单元复习2025-2026学年高一下学期人教A版必修二

该高中数学解三角形总复习课件系统梳理了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，通过定理几何意义、公式推导及常用变形建立知识网络，串联起定理应用、三角形形状判断等内容，帮助学生构建完整的解三角形知识体系。 其亮点在于采用“定理推导-题型分类-综合应用”的复习策略，如通过探究面积公式培养数学眼光，分析“已知两边及对角”多解问题发展推理能力，设计分层跟踪训练和随堂检测。这种设计既巩固知识又提升核心素养，教师可精准把握学情，提高复习效率。

解三角形总复习 学习新知 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，比值为其外接圆的直径，即： 正弦定理的几何意义 常用变形： , ， , , , 探索新知 探究：三角形的面积公式 如图，的三边分别所对的内角为 过点作的垂线，垂足为， 则 同理， 三角形面积等于任意两边与它们夹角正弦值乘积的二分之一 三角形的面积公式 学习新知 例1. 在中，角所对的边分别为.若，，， 求： 角； 的面积. 解： （1）由正弦定理， 得， 因为在中，且， 所以. （2）因为， 所以. 所以. 典型例题 题型一：已知两角及一边解三角形 (1)若所给边是已知角的对边时 ，可由正弦定理求另一边，再由三角 形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边. (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个 角，再由正弦定理求另外两边。 技巧总结：已知两角及一边解三角形的一般步骤 5 典型例题 题型二：已知两边及一边的对角解三角形 例2.在△中，已知，，，解这个三角形. 解：由正弦定理 ，得： 因为，所以 于是或 分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题， 可以利用正弦定理 (1)当 时， 典型例题 题型二：已知两边及一边的对角解三角形 例2.在△中，已知，，，解这个三角形. 解：(2)当时， 思考：为什么角有两个值？ 由三角函数的性质可知， 在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解； 正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解. 典型例题 题型二：已知两边及一边的对角解三角形 A 为 锐 角 图形 关系 解的个数 0 1 2 1 A 为 钝 角 或 直 角 图形 关系 解的个数 0 0 1 1 典型例题 题型三：三角形形状的判断 推 论 学习新知 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍。即 余弦定理 应用 已知两边和一个夹角，求第三边。 应用 已知三角形的三边，解三角形的三个角。 从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式！ 理解新知 探究3：勾股定理与余弦定理有什么关系？ ， 余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例 为直角 为钝角 为锐角 学习目标一　有关三角形面积的计算 例1 (1)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝3，cos A＝，则△ABC的面积为(　　) A．3　　　B．3 C．6　　　D．6 答案：B 解析：因为cos A＝，A为三角形内角，所以sin A＝，所以S△ABC＝AB·AC·sinA＝.故选B. 返回导航 12 (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝30°，a＝4，且△ABC的面积为，则b＝________． 解析：由题意知S△ABC＝ac sin 30°＝，则c＝，由余弦定理得a2＋c2－2ac cos 30°＝b2，即16＋3－12＝b2，则b＝. 返回导航 13 学霸笔记：求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用． 返回导航 14 跟踪训练1　(1)在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝，则△ABC的面积为(　　) A．　　　B．　　　C．1　　　D．2 答案：A 解析：S△ABC＝·AB·AC·sin A＝×1×2×sin .故选A. 返回导航 15 (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2，A＝120°，△ABC的面积为，则c的值为(　　) A．2 B． C．2 D．4 答案：A 解析：因为在△ABC中，b＝2，A＝120°，△ABC的面积为， 所以S△ABC＝bc sin A＝×2c×sin 120°＝，解得c＝2.故选A. 返回导航 16 学习目标二　求解平面几何问题 例2 在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BAC＝∠DAC，CD＝4，AB＝2. (1)若BC＝，求sin ∠ADC； (2)若∠ADC＝，求AC. 返回导航 17 解析：(1)在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC，即AC2＝4＋2－2×2×，所以AC＝， 由正弦定理得，即， 所以sin ∠CAB＝，sin ∠DAC＝. 在△ADC中，由正弦定理得＝， 即，所以sin ∠ADC＝. 返回导航 18 (2)因为∠ADC＝， 所以由正弦定理得，　① ，　② 联立①②得，BC＝2. 由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2＋＝++＝20， 所以AC＝2. 返回导航 19 题后师说 (1)正确挖掘图形中的几何条件，简化运算是解题要点，还要善于应用正弦定理、余弦定理．只需通过解三角形，一般问题便能很快解决． (2)解决此类问题的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件． 返回导航 20 跟踪训练2　如图，在△ABC中，已知B＝30°，D是边BC上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求： (1)cos ∠ADC；(2)AB的长． 返回导航 21 解析：(1)在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3， 由余弦定理得cos ∠ADC＝. (2)∵cos ∠ADC＝－，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°， 在△ABD中，AD＝5，∠B＝30°，∠ADB＝60°， 由正弦定理得，∴AB＝＝＝＝. 返回导航 22 学习目标三　正、余弦定理的综合应用 例3 (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 返回导航 23 解析：(1)已知a2＋b2－c2＝ab， 则有cos C＝. 又C∈(0，π)，所以C＝. 又sin C＝cos B，所以cos B＝. 又B∈(0，π)，所以B＝. 返回导航 24 (2)由(1)可得C＝，由正弦定理，不妨令＝k(k>0)，则有c＝k. 又S△ABC＝3＋，所以S△ABC＝bc sin A＝＝k(sin B cos C＋cos B sin C)＝k2＝，解得k＝4(负值舍去)，故c＝. 返回导航 25 题后师说 利用正弦定理、余弦定理求解综合问题 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，寻找三角形中的边角关系． (2)抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键． 返回导航 26 跟踪训练3　在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin A＋c sin C－b sin B＝c sin A. (1)求B的值； (2)若△ABC外接圆的面积为8π，且a＋c＝6，求△ABC的面积． 返回导航 27 解析：(1)因为a sin A＋c sin C－b sin B＝c sin A， 由正弦定理得a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝， 又0<B<π，所以B＝. (2)设△ABC外接圆的半径为R，由8π＝πR2，得R＝2， 由正弦定理得＝2R，所以b＝2R sin B＝2， 由(1)知a2＋c2－b2＝ac，所以(a＋c)2－3ac＝b2， 因为a＋c＝6，所以62－3ac＝2，所以ac＝4， 所以S△ABC＝ac sin B＝. 返回导航 28 导练·随堂检测——举一反三 强化实战性 1．(2025·辽宁沈阳期中)在△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝3，C＝，则△ABC的面积为(　　) A． B． C． D． 答案：D 返回导航 29 解析：因为在△ABC中，a＝1，b＝3，C＝，所以△ABC的面积为ab sin C＝×1×3×sin .故选D. 返回导航 30 2．(2025·河北邯郸月考)在△ABC中，BC＝4，BA＝5，且△ABC的面积为5，则角B的大小为(　　) A．30° B．60°或120° C．30°或150° D．60° 答案：B 解析：△ABC的面积S＝BC·BA sin B＝×4×5sin B＝5，解得sin B＝，因为0°<B<180°，所以角B的大小为60°或120°.故选B. 返回导航 31 3．(2025·江苏宿迁期中)在△ABC中，D是边BC上的点，DC＝5，AB＝，∠ABC＝45°，∠ADB＝60°，则AC的长为(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 答案：B 返回导航 32 解析：如图所示，在△ABD中，由正弦定理得，即AD＝＝3，因为∠ADB＝60°，可得∠ADC＝120°，且DC＝5，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 120°＝9＋25－2×3×5×＝49，所以AC＝7.故选B. 返回导航 33 4．(2025·河南开封期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为，若sin A sin B＝cos A cos B＝，则边AB＝______. 返回导航 34 解析：因为sin A sin B＝cos A cos B，可得cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝0，又因为A＋B＋C＝π，所以cos C＝0，可得C＝，即△ABC为直角三角形，因为△ABC的面积为，可得，解得ab＝，又因为a＝c sin A，b＝c sin B，且sin A sin B＝，可得c2sin A sin B＝ab，即c2×，可得c2＝2，所以c＝. 返回导航 35 $