正弦定理与余弦定理解三角形复习2课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件系统梳理了解三角形的核心知识，涵盖余弦定理、正弦定理及面积公式，通过“定理公式-典型问题-方法总结”的结构，将中线、角平分线、最值等问题与定理应用紧密结合，帮助学生构建从基础到综合的知识网络。 其亮点在于聚焦数学思维与数学运算素养，如中线问题总结向量化、双余弦定理等方法，角平分线问题结合等面积法与内角平分线定理，例题解析注重逻辑推理过程。跟踪训练和课后作业分层设计，满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升学生知识应用能力。

解三角形总复习2 利用余弦定理、正弦定理解三角形 1.通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角恒等变换得出三角形内角之间的关系进行求解时，注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B⇔A＝B；sin (A－B)＝0⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝等． 2．利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数变换求出三条边之间的关系． 3．通过对正、余弦定理的应用的学习，提升学生逻辑推理和数学运算素养． 2 例3 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，则A＝(　　) A．45°　　　B．60°　　　C．120°　　　D．135° 答案：A 解析：由题意得cos A＝，又0°<A<180°，所以A＝45°.故选A. 4 (2)(2025·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B. ①求sin A； ②设AB＝5，求AB边上的高． 5 解析：①∵A＋B＝3C， ∴π－C＝3C，即C＝， 又2sin (A－C)＝sin B＝sin (A＋C)， ∴2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C， ∴sin A cos C＝3cos A sin C， ∴sin A＝3cos A， 即tan A＝3，所以0<A<，∴sin A＝. 6 ②由①知，cos A＝＝， 由sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝＝， 由正弦定理得，可得AC＝， ∴AB·AC·sin A， ∴h＝AC·sin A＝2＝6. 7 学习目标一　解三角形中的中线问题(可扩展到n等分点) 例1 已知△ABC，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c＋b＝2a cos B. (1)求A； (2)c＝3，S△ABC＝，D是BC的中点，求AD的长． 8 解析：(1)由题意2sin C＋sin B＝2sin A cos B， 且sin C＝sin (B＋A)＝sin B cos A＋cos B sin A， 即2sin B cos A＋2cos B sin A＋sin B＝2sin A cos B， 得2sin B cos A＋sin B＝0，且B∈(0，π)，则sin B≠0， 可得cos A＝－，且A∈(0，π)，所以A＝. 9 (2)如图，因为c＝3，∠CAB＝， 由S△ABC＝bc sin ∠CAB＝，所以＝，解得b＝2. 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ∠CAB＝4＋9－2×2×3×＝19，则a＝， 又D为BC边上的中点，所以BD＝， 10 在△ABC中，由余弦定理得cos B＝， 在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝9＋， 所以AD＝. 11 求解三角形中线问题的常用方法 (1)方法一：向量化 在△ABC中，设D是BC的中点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 核心技巧：2， 由⇒2＝＝(c2＋b2＋2bc cos A)＝(2c2＋2b2－a2)； 12 (2)方法二：双余弦定理法(邻角互补法) 核心技巧：∠ADB＋∠ADC＝π⇒cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0， 在△ADB中有cos ∠ADB＝，在△ADC中有cos ∠ADC＝； (3)方法三：等面积法 S△ABD＝S△ACD＝S△ABC. 13 跟踪训练1　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a sin B＝b cos A. (1)求角A的大小； (2)若BC边上的中线AD＝，且c＝4，求b的值． 14 解析：(1)由a sin B＝b cos A，可得sin A sin B＝sin B cos A， ∵sin B≠0，则sin A＝cos A， ∴tan A＝，故A＝. (2)∵AD是BC边上的中线，∴， ∴， ∴7＝，∴28＝16＋4b＋b2， 解得b＝2或b＝－6(舍去)．∴b的值为2. 15 学习目标二　解三角形中的角平分线问题 例2 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2b－a)cos C＝. (1)求C； (2)若∠ACB的平分线交AB于D，且a＋b－ab＝0，求CD的值． 16 解析：(1)由(2b－a)cos C＝，得(2b－a)cos C＝， 即(2b－a)cos C＝c cos A，则(2sin B－sin A)cos C＝sin C cos A， 则2sin B cos C＝sin A cos C＋sin C cos A，即2sin B cos C＝sin (A＋C)＝sin B， 由于B∈(0，π)，sin B≠0，故cos C＝，C∈(0，π)，故C＝. 17 (2)由∠ACB的平分线交AB于D， 可得S△ABC＝S△ADC＋S△BCD， 即ab sin C＝b×CD sin ∠ACD＋a×CD sin ∠BCD， 即ab sin ＝b×CD sin ＋a×CD sin ，则ab＝CD(b＋a)， 结合a＋b－ab＝0，得a＋b＝CD(b＋a)，所以CD＝1. 18 求解三角形中角平分线问题的常用方法 在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c： (1)利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD. (2)内角平分线定理：或.(根据面积比相等证明) (3)等面积法：由S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，得c·AD sin b·AD sin ＝，得(b＋c)AD＝2bc cos ，故AD＝. 19 跟踪训练2　锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋2a cos B＝2c，且a＝，b＝3. (1)求边c的值； (2)求内角A的角平分线AD的长． 20 解析：(1)由b＋2a cos B＝2c，根据正弦定理得sin B＋2sin A cos B＝2sin C， 因为sin C＝sin (π－C)＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B， 所以sin B＋2sin A cos B＝2sin A cos B＋2cos A sin B，整理得sin B＝2cos A sin B， 由0<B<π，得sin B>0，所以cos A＝，结合A∈(0，π)，可得A＝. 根据余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos ，即7＝32＋c2－3c， 整理得c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2， 21 根据△ABC为锐角三角形， 可得a2＋c2－b2>0，所以c2>2，c＝1不符合题意，故c＝2. (2)由AD是角A的平分线，可知∠DAB＝∠DAC＝， 因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 所以×2×3sin ×2AD sin AD×3sin ，即AD，解得AD＝. 22 学习目标三　解三角形中的最值(范围)问题 例3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且边c＝2，求△ABC面积的取值范围． 23 解析：(1)由正弦定理得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B， 因为A＋B＋C＝π，所以sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋sin C cos B， 所以sin B cos C＋sin C cos B＝sin B cos C＋sin C sin B，sin C cos B＝sin C sin B. 因为sin C≠0，所以cos B＝sin B，tan B＝. 因为0<B<π，所以B＝. 24 (2)方法一　因为△ABC是锐角三角形，又B＝， 所以解得C∈， S△ABC＝ac sin B＝sin B＝3＝＝＝＝，因为C∈，所以tan C∈，则∈， 从而S△ABC∈. 25 方法二　若△ABC为锐角三角形， 所以BC′<a<BC″， 因为B＝，所以BC′＝，BC″＝，所以<a<4， 又因为S△ABC＝ac sin B＝∈，所以S△ABC∈. 26 解三角形中的最值(范围)问题主要有两种方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值(范围)． 27 跟踪训练3　已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足sin2A－sin2B－sinB sin C＝sin2C. (1)求角A； (2)设点D为边BC的中点，且AD＝2，求b＋c的最大值． 28 解析：(1)由正弦定理得a2－b2－bc＝c2，即b2＋c2－a2＝－bc， ∴cos A＝＝，又A∈(0，π)，∴A＝. (2)∵D为边BC的中点，∴＝， ∴2＝(c2＋b2＋2bc cos A)＝[(b＋c)2－3bc]＝4， ∴3bc＝(b＋c)2－16≤3×2＝(b＋c)2， ∴b＋c≤8(当且仅当b＝c时取等号)，∴b＋c的最大值为8. 29 课后作业——举一反三 强化实战性 1．在△ABC中，若A＝，则BC边上的高为(　　) A．1 B． C． D．2 答案：C 30 解析：由余弦定理得BC＝ ＝1，设BC边上的高为h，则S△ABC＝AB·AC·sin ×1·h，解得h＝.故选C. 31 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝8，b＝6，c＝4，则中线AD的长为(　　) A．2 B．2 C． D． 答案：D 32 解析：根据题意，作图如下． 在△ABD和△ADC中，由余弦定理得AB2＝AD2＋DB2－2AD·DB cos ∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos ∠ADC，又cos ∠ADB＝－cos ∠ADC，两式相加得AB2＋AC2＝2AD2＋DB2＋DC2，即42＋62＝2AD2＋42＋42，∴2AD2＝20，∴AD＝.即△ABC的中线AD的长为.故选D. 33 3．(2025·河南郑州期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知c＝b，c＋a＝2，则b的最小值为(　　) A．　　　　B．1　　　　C．　　　　D．2 答案：B 34 解析：由条件和正弦定理可得sin C＝sin B，所以sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝sin B sin A＋sin B cos A，即sin A cos B＝sin B sin A，由sin A≠0，可得tan B＝，由0<B<π可知，B＝，由余弦定理得b＝≥ ＝1，当且仅当a＝c＝1时等号成立，所以b的最小值为1.故选B. 35 4．在△ABC中，已知∠BAC＝，D是BC上的点，AD平分∠BAC，S△ABD＝2S△ACD，则tan B＝________. 36 解析：因为S△ABD＝2S△ACD，所以BD∶CD＝2∶1.根据正弦定理可得　①，　②，因为sin ∠BAD＝sin ∠CAD，所以用①除以②得＝2，所以sin C＝2sin B．因为B＋C＝，所以C＝－B，所以2sin B＝sin ＝sin B．所以5sin B＝cos B，所以tan B＝. 37 $