2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册综合测试

**基本信息** 聚焦数列与导数核心模块，通过分层题型构建“概念理解-方法应用-综合探究”逻辑链，提炼通性通法，培养数学思维与表达。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列|10题|通项公式验证、等差等比证明、递推转化|从概念（通项、前n项和）到性质（单调性、最值）再到综合应用| |导数|11题|切线斜率分析、单调性判断、极值最值求法、零点问题转化|从几何意义（切线）到代数应用（导数符号分析）再到函数性质探究|

人教A版选择性必修二综合测试 一、单选题 1．已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，的值是（    ） A． B． C． D． 3．在数列中，，，则（） A． B． C． D． 4．点M在曲线上移动，设曲线在点M处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知数列的前项和，则等于（   ） A．1 B． C．4 D．2 6．设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．若函数为减函数，则必有（    ） A． B． C． D． 8．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列的前项和，则（   ） A． B． C．为中的最小项 D．数列是等差数列 10．已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（   ） A． B．的单调递减区间为 C．的极小值为1 D．在上的最大值为3 11．已知函数，则（  ） A． 是奇函数 B．0可能是 的极值点 C． 可能有2个极值点 D．当 在上有极大值时，的取值范围为 三、填空题 12．等差数列的前n项和为，，且，则______． 13．已知数列是公差为的等差数列，首项 ，若，， 按顺序成等比数列，则公差为__________． 14．已知函数．若在处有极值，则的值为__________；若当时， ，则实数的取值范围是__________． 四、解答题 15．在数列中， ， ， ， ． (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求． 16．已知等差数列不是常数列，其前四项和为10，且成等比数列： (1)求数列的通项公式； (2)设，求证数列是等比数列. 17．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)在（1）问的条件下，求的最小值 (3)若有两个零点，求的取值范围． 18．已知函数在处取得极小值． (1)求实数，的值； (2)若的切线过点，求的最大值． 19．已知函数. (1)若曲线在处的切线经过点，求的值； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D D C C A ACD BCD 题号 11 答案 ACD 1．D 【详解】对于A：当为奇数时，；当为偶数时，，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于B：当时，；时，；时，，以此类推，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于C：根据余弦函数性质，，与B相同，所以是该数列的通项公式； 对于D：，与数列的对应项不符，故不是该数列的通项公式． 2．A 【详解】因为， 又，所以. 3．C 【详解】因为， 所以 , 所以， 所以. 4．D 【详解】因为，所以， 由于，因此，可得 ， 即切线斜率， 因为切线的倾斜角为，且，斜率，分两种情况讨论： 当时，即，可得 当时，即，结合正切函数在上单调递增且，可得 综合以上两种情况，倾斜角的取值范围是：. 5．D 【详解】由题意可得，， 所以. 6．C 【详解】由，得， 又数列为递增数列，得，解得.即：. 7．C 【详解】由函数，可得， 因为函数为减函数，可得，即， 又因为，所以，即. 8．A 【详解】，. 函数在上存在单调递增区间， 在上有解，即在上有解； 在上有解，即. 令，； 在上单调递减， 时，取得最大值； ，即实数的取值范围为. 9．ACD 【详解】选项A，由题意得，当时，， 当时，， 当时，上式也成立，，故A正确， 选项B，令，解得，当时，，当时，， 故，故B错误. 选项C，已知，这是一个二次函数，开口向上，对称轴， 由于是正整数，可见当时，取得最小值，即是数列中的最小项，故C正确， 选项D，由题意，得， ，数列是等差数列，故D正确. 故选：ACD. 10．BCD 【详解】函数，，令，则，，故A错误； 函数，则，所以函数的单调递减区间为，故B正确； 函数，则或，所以函数的单调递增区间为或， 所以函数的极小值为，故C正确； 由上分析，时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增， 所以函数的极大值为，又， 故在上的最大值为3，故D正确. 11．ACD 【详解】因为的定义域为，且，所以是奇函数，A正确． ，由，得． 因为是偶函数，所以0不可能是的变号零点，所以0不可能是的极值点，B错误． 令，则． 当时，，所以，又，故； 当时，，，得. 所以在上单调递减． 当时，，当时，，则在上有1个变号零点， 所以在上有1个极值点． 又是奇函数，所以有2个极值点．故可能有2个极值点，C正确． 当 在上有极大值时，在上有解， 因为在上单调递减， 所以，解得，D 正确 12．7 【详解】设等差数列的公差为， 因为等差数列前项和，且， ， 所以，所以，所以， 所以. 13． 【详解】已知是首项为2，公差为的等差数列，则， ， 已知，， 按顺序成等比数列， 则，即，解得或， 当时，，与，， 按顺序成等比数列矛盾，舍去， 当时，，满足题意. 综上所述，. 14． 【详解】． 依题意知，所以． 方法一：当时，， 即，即． 令，则，． ①当 时，， 所以在上单调递增， 所以，所以 满足条件． ②当时，若，则， 若，则． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 令， 所以， 所以在上单调递减． 所以与矛盾，故不满足条件． 综上，实数的取值范围是． 方法二：当时，，即， 即，即恒成立． 令，所以， 令，所以， 所以在上单调递增，所以． 所以，所以在上单调递增． 由洛必达法则知，． 所以 ，故实数的取值范围是． 15．(1)因为 ， 所以数列是以 为首项，为公比的等比数列， 所以 ，即 ； (2) 【详解】（1）略. （2）由（1）知， 所以. 16．(1) (2)由（1）知，则， 所以， 所以数列是等比数列，且等比数列的首项为，公比为. 【详解】（1）设等差数列的公差为，， 因为数列的前四项和为10，且成等比数列， 则，， 即，化简得，解得. 故数列的通项公式为. （2）略 17．(1)递减区间为，递增区间为 (2) (3) 【详解】（1）由题设，则， 当时，当时， 所以的递减区间为，递增区间为； （2）由（1）知，； （3）由题意得：； 当时，恒成立， 在上单调递增， 至多有一个零点，不合题意； 当时，令，解得：， 当时，当时， 在上单调递减，在上单调递增， ； 当时，，则，则至多有一个零点，不合题意； 当时，，则； ， ， 在上有唯一零点； 由（1）知：当时，， 则且时，， 在上有唯一零点； 则时，有两个不同零点； 综上所述：实数的取值范围为. 18．(1)， (2) 【详解】（1），由题意可得，解得； 检验：此时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，符合题意， 故，； （2）由（1）得，则， 设过点的切线的切点坐标为， 则， 有， 整理得，令， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为. 19．(1) (2) 【详解】（1）由题意得：，即切点为． 因为 ，则． 因切线经过点，则，解得． （2）由题意得 ， 若 ，因为，则 恒成立，在上单调递增，无极值，不合题意； 若 ，令 ，得，令 ，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故时，取得极小值， 依题意，需使， 即，解得， 所以的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $