2.1 直线与直线方程讲义-2026学年高二上学期人教A版-选择性必修一

2.1 直线与直线方程 【知识梳理】 一、直线的方程 1. 直线的倾斜角和斜率 （1）倾斜角：直线向上的方向与轴正方向所成的夹角，称为倾斜角，记为.其中要求. （2）斜率：倾斜角的正切值为斜率，记为 倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； 倾斜角时，直线的斜率不存在. （3）两点斜率公式：设直线上有两个点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则； 【结论】（1）从左向右看，直线上升时，>0；直线下降时，<0； 直线水平时，=0；直线竖直时，不存在. （2）直线越陡，越大 2．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 两点式 过两点 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 所有直线 结论：若一条直线的横截距纵截距相等，则①截距都为0时，直线过原点，②截距不为0时，k=-1。 3. 线段的中点坐标公式：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点为. 二、两直线的位置关系 1. 两条直线的位置关系 位置关系 斜截式 一般式 平行 相交 垂直 (相交的特殊情况) 【注】两条直线的交点求解方法： 若直线相交， 则它们的交点坐标为方程组（Ⅰ） 的唯一一个实数解. 【题型精讲】 题型一、直线的倾斜角与斜率 角度1：直线的倾斜角与斜率 例1．（25-26高二上·广东·期中）直线的倾斜角为（   ） A． B． C．1 D．不存在 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】直线的倾斜角、特殊角的三角函数值 【分析】根据倾斜角的概念即可求解. 【详解】直线垂直于轴，故倾斜角为． 故选：B 例2．（25-26高二上·山东德州·期中）已知直线l经过点，，则正确的是（   ） A．直线l的斜率为1 B．直线l的倾斜角为 C．直线l的方向向量为 D．直线l的法向量为 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线方向向量的概念及辨析（平面中））、求直线的法向量、已知两点求斜率 【分析】由两点求得斜率，进而逐项判断即可. 【详解】由斜率公式得， 所以倾斜角为，方向向量为， 法向量为，其中，所以A，C，D错误，B正确. 故选：B 例3．（25-26高二上·广东深圳·期中）若直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、直线的倾斜角 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率为，所以. 故选：D. 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线经过点和点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角 【分析】由两点间斜率公式求出直线斜率即可求倾斜角. 【详解】设的倾斜角为， 则由题可得直线斜率为. 故选：C 2．（25-26高二上·广东·阶段检测）直线的倾斜角是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角 【详解】设直线的倾斜角是. 直线斜率为， 又， 故选：D. 3．（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】斜率公式的应用、已知两点求斜率 【分析】由三点共线得到，再由两点表示出直线的斜率求解即可； 【详解】由题意可得，即，解得. 故选：C. 角度2：斜率与倾斜角的变化关系 例4．（25-26高二上·广东深圳·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线的一般式方程及辨析、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】分类讨论斜率的存在性，求出斜率的取值范围即可得倾斜角的范围. 【详解】由题意知，当时，直线的斜率不存在，其倾斜角； 当时，直线的斜率， 所以倾斜角， 综上，. 故选：C 【针对训练】 1．（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【详解】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 2．（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据方程可得直线的斜率，再根据斜率的定义结合正切函数的性质运算求解. 【详解】因为直线，即的斜率， 又因为，且，所以. 故选：A. 角度3：直线与线段的相交关系求斜率范围 例5．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知点，直线与线段相交（不含，两点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率 【分析】化简直线为，得到直线恒过定点，求得，结合图象，即可求解. 【详解】由直线，可得， 又由直线的点斜式方程，可得直线恒过定点， 因为，可得， 如图所示，若直线与线段相交（不包含端点），则， 即直线斜率的取值范围为. 故选：B. 【针对训练】 1．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知两点，过点的直线l与线段（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率 【分析】分别求出直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可求出. 【详解】因，，，则斜率，， 如图所示，    直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，所以此时； 从转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大，所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A. 2．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知点和，直线与线段AB有公共点，则实数a的取值范围__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、直线过定点问题、已知两点求斜率 【分析】首先确定直线所过的定点，再求出临界情况的斜率，应用数形结合确定参数范围. 【详解】由过定点，则，，如下图， 由图，要使直线与线段AB有公共点，则. 故答案为： 题型二、两条直线的位置关系 角度1：判断两直线的位置关系 例6．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线与直线一定（   ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】求得两直线的斜率，根据斜率关系判断直线的位置关系. 【详解】由直线得，, 由直线得，, 因为，故两直线相交但不垂直. 故选：D. 例7．（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 【针对训练】 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【分析】根据两直线的斜率关系判断即可. 【详解】因为直线经过点和，所以直线的斜率， 又直线的斜率，且， 所以与相交但不垂直. 故选：D 2．（24-25高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行 【分析】根据斜率公式求得的斜率，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系. 【详解】由题意，由点和点，可得，所以的方程为， 又由直线的斜率为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故选：B． 角度2：由两直线的位置关系求参数 例8．（25-26高二上·新疆·期中）已知直线与直线垂直，则实数的值为 ． 【答案】2或0 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】由直线垂直的充要条件列出关于a的方程即可求解. 【详解】由于直线与直线垂直， 故，解得或0． 故答案为：2或0． 例9．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线，直线，若，则实数的值为（   ） A．2 B． C．1 D．1或 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行得到，解出值后再验证即可. 【详解】若，则，即，解得或， 当时，直线：与：，符合题意； 当时，直线：与：，两直线重合，不合题意. 综上， . 故选：B. 例10．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）若直线与直线互相平行，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】由两直线平行的充要条件可得，即可求参数，并代入验证是否含重合情况. 【详解】因为直线与直线平行， 根据两直线平行的充要条件可得， 解得或， 当时，代入可得与验证两条直线不重合， 当时，代入可得与验证两条直线不重合. 故选：C 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知直线：：，：，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、充要条件的证明 【分析】根据求出的值并进行检验，再利用充分必要条件的概念判断即可. 【详解】由，解得或, 当时，直线：，：，此时两条直线重合，舍掉， 当时，直线：，：，此时两条直线平行， “”是“”的充分必要条件. 故选：. 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】当时，判断两直线的斜率，从而可证明充分性；当时，求的值，从而证明必要性. 【详解】当时，：，：， 则，所以，即“”是“”的充分条件； 当时，，解得或， 所以，当时，或，即“”是“”的不必要条件， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）直线与不相交，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、已知直线平行求参数 【分析】先由题目分析得到表示直线去掉点，由于两者不相交，则直线与平行或直线过点，分别求出即可. 【详解】表示直线（去掉点）， ∴直线与不相交，即直线与平行或直线过点， ∴的取值为或. 故选：BD 题型三、直线的方程 角度1：求直线方程 例11．（25-26高二·全国·暑假作业）根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7； (4)经过点，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.92 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线两点式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】（1）由点斜式方程求解即可； （2）根据与轴垂直的直线方程特点求解即可； （3）由斜截式方程求解即可； （4）由两点式方程求解即可. 【详解】（1）由点斜式，得， 化成一般式，得． （2）直线方程为，即． （3）由斜截式，得， 化成一般式为． （4）由两点式，得， 化成一般式为． 例12．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程； (2)求与平行时的直线的方程． 【答案】(1)或； (2) 【难度】0.65 【知识点】由两条直线平行求方程、直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析 【分析】(1)分两类截距为0或不为0，再利用截距式直线方程来求直线方程； (2)利用平行直线的斜率相等，再结合点斜式直线方程来求即可. 【详解】（1）当直线在轴上的截距与在轴上的截距都为时，满足题意， 所以此时的直线方程为，整理可得： 当直线在轴上的截距与在轴上的截距都不为时，可设直线方程为， 由题意可得：，解得：， 此时直线方程为，整理可得：. 即直线的方程为或； （2）由直线方程化斜截式可得：， 则直线的斜率为， 因为直线与平行，所以直线的斜率也为， 再由点斜式可得直线的方程为：，整理得：. 【针对训练】 1．（25-26高二上·山西朔州·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】由题意设与平行的直线方程为，代入点后即可求得，进而得到直线方程. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 代入，可得，解得， 故所求直线方程为. 故选：A. 2．（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】由题意分截距为0与截距不为0两种情况求解即得. 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程可设为， 代入点，解得，所以直线方程为即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为， 代入点，解得，所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 故选：C. 3．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据直线的方向向量求直线方程 【分析】由方向向量求出直线的斜率，进而得到直线方程． 【详解】由直线的一个方向向量，得的斜率， 又在y轴上的截距为，所以的方程为，即． 故选：C． 4．（25-26高二·全国·暑假作业）经过点，且一个法向量为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据直线的法向量求直线方程 【分析】由点法式方程求解即可. 【详解】由点法式方程得，即． 角度2：直线过定点问题 例13．（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题 【分析】将直线化为即可求解． 【详解】由， 当，即时，，解得， 所以无论取何值，直线总经过点． 故选：C． 【针对训练】 1．（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知直线：，：，则下列说法中正确的有（   ） A． B．存在，使得 C．直线过定点 D．直线过定点 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线过定点问题 【分析】根据垂直及平行系数关系分，计算判断A，B，求解定点判断C，D. 【详解】若，：，：，显然成立， 若，的斜率为，的斜率为，，所以，所以无论为何值，，故A正确，B错误； 的方程可化为，即，所以过定点，故C正确， ，所以过定点，故D错误. 故选：AC. 角度3：直线方程的综合应用 例14．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线的方程. (4)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. (5)在解决上述关于直线方程的问题时，我们运用了多种求直线方程的方法，如点斜式、截距式，还涉及到直线垂直时斜率的关系等知识.请结合这些问题，总结一下求直线方程的常见方法以及在不同条件下如何选择合适的方法 【答案】(1) (2) (3) (4)或 (5)答案见解析 【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程、已知两点求斜率、直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）由两点式或点斜式求解； （2）由两点式或点斜式求解； （3）求出中点，由点斜式求解； （4）由点斜式求解； （5）略. 【详解】（1）解法1：由两点式得边所在直线方程为， 即. 由截距式得边所在直线方程为，即. 解法2：因为，所以边所在直线方程为， 即. 因为，所以边所在直线方程为， 即. （2）设的中点为，由中点坐标公式可得， 因为，所以垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线方程为，即. （3）因为，所以高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为， 即. （4）若直线在两个坐标轴上的截距为，则直线过原点， 方程为，整理得，即； 若直线在两个坐标轴上的截距不为0，设为， 代入，得，解得， 所以方程为，即. （5）求直线方程的常用方法：直接法和待定系数法. 方法选择建议：（1） ‌已知斜率和一点‌：优先用点斜式；（2）‌已知斜率和截距‌：直接使用斜截式；（3）‌已知两点‌：用两点式，需注意垂直坐标轴的情况；（4）‌已知截距‌：用截距式，但需排除截距为的情况；（5）‌无特殊条件或需统一形式‌：化为一般式，并确保‌。 注意事项： （1）使用点斜式或斜截式时，需先讨论斜率是否存在；（2）截距式不能表示过原点的直线或垂直于坐标轴的直线；（3）最终方程若无特殊要求，建议化为一般式。 例15．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）在平面直角坐标系中有， (1)求直线的一般方程； (2)在三角形中，求边的高线方程； (3)若直线将面积两等分，求的值 【答案】(1)； (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】直线方程的实际应用、直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线的一般式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）由截距式求直线方程，化简即可； （2）利用垂直关系，得出高线的斜率，再求直线方程； （3）先由两直线的交点坐标的求法求得D，E的坐标，再结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）由题意的，直线AC在x轴和y轴的截距分别为2和3， 由截距式方程得AC的方程为， 化简得； （2）直线AB的斜率， 根据垂直关系可得，边AB上的高线斜率不存在， 由于高线过点，所以边AB上的高线方程为； （3）设直线与边分别交于点． 由，得． 又直线的方程为，而点在边上，故可设．因此，． ， ． 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点、，则线段的垂直平分线方程为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】求出线段的中点坐标，并求出直线的斜率，可得出线段的垂直平分线所在直线的斜率，结合点斜式方程可得出所求直线的方程. 【详解】由题意可知线段的中点为，， 故线段的垂直平分线所在直线的斜率为， 因此线段的垂直平分线方程为，即. 故答案为：. 2．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2)或， 【难度】0.66 【知识点】已知两点求斜率、已知直线垂直求参数、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式得出，再设直线方程进而代入点的坐标即可得出直线方程. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； （2）因为点为边的中点， 所以， 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为或， 因为直线过点，所以或，所以或， 所以过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 3．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知直线l经过点. (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)若直线l在x轴上的截距是y轴上的截距3倍，求直线l的方程； (3)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点，求当的面积取得最小值时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或. (3) 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析、已知直线垂直求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用直线l与直线垂直，求得直线l的斜率，由点斜式可求直线l的方程； （2）讨论两种情况：直线过原点时求得斜率，由斜截式可得直线方程；直线不过原点时，设出截距式方程，将代入方程，结合直线l在轴上的截距是轴上的截距倍，列方程可得结果; （3）设直线方程为，可得，利用基本不等式得，，当，从而可得结果. 【详解】（1）由直线的斜率为，根据直线l与直线垂直， 可知直线l的斜率为， 则由点斜式可知直线l为， 整理得l的直线方程为：; （2）当直线过原点时，可设直线方程为， 将点坐标代入可得，直线方程为 直线不过原点时，设直线方程为， 由题意得，解得直线方程为， 故所求直线方程为或. （3）由题意可设直线l方程为，由直线l经过点， 可得，从而得， 所以三角形面积，当时取等号， 所以三角形最小面积为12， 此时，直线方程为. 【课后作业】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[1,4] 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】记为点，求出的斜率，结合图象可得结论． 【详解】记为点，则直线PA的斜率，直线PB的斜率， 因为直线过点，且与线段AB相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是[1,4]. 故选：D． 2．（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 3．（25-26高二上·四川成都·期末）下列直线中，倾斜角最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据各直线的方程求出其斜率，进而求得其倾斜角后比较即得. 【详解】对于A，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为； 对于B，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为； 对于C，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为； 对于D，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为. 因，故倾斜角最大的直线为. 故选：D. 4．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）若直线的一个方向向量的坐标为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、求直线的方向向量（平面中）、直线斜率的定义 【分析】利用直线的方向向量求得其斜率，进而求得其倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量的坐标为， 所以该直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：A. 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】先根据两直线平行的条件列出方程，求出可能的值，再分别代入检验两直线是否重合，从而确定两直线平行的充要条件. 【详解】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时两直线重合，舍去， 又时，，此时， 所以 “”的充要条件是“”. 故选：B. 6．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．直线与直线互相垂直，则 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．直线过点，且与点的距离最远，则直线的方程是: D．直线与直线互相平行，则 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】直线截距式方程及辨析、已知直线垂直求参数、已知直线平行求参数 【分析】根据直线方程的相关概念，以及两条直线平行或垂直的性质，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】对于选项A：当时，两直线方程为别为与，且相互垂直，所以A错误； 对于选项B：当直线经过原点和点时，在轴和轴上截距都相等，直线方程为，所以B错误； 对于选项C：当直线经过点，且与直线垂直时，与点的距离最远， 可得，所以直线斜率为， 则直线的方程为，即，所以C错误； 对于选项D：当直线与直线互相平行时， 可得，解得，所以D正确. 故选：D. 7．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线：和直线：，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解． 【详解】直线：和直线：，， 则，解得 故选：D 8．（25-26高二上·河北石家庄·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、由两条直线垂直求方程 【分析】由题可设垂直于直线的直线方程为，进而利用待定系数法求解. 【详解】设垂直于直线的直线方程为，代入， 得，解得，即， 故选：C. 9．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 10．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】根据直线的点斜式方程的含义判断A；根据直线的截距式方程的含义判断B；根据直线的两点式方程的含义判断C；直线经过第一、二、四象限，确定的符号，即可判断D. 【详解】对于A，过点的直线斜率不存在时，表示为， 当直线的斜率存在时，方程才可以表示为，A错误； 对于B，直线在轴，轴的截距分别为， 当均不为0时，则该直线方程才可写为，B错误； 对于C，当时，直线的两点式方程为， 则可化为， 当或时，直线方程为或，依然满足上式，C正确； 对于D，若直线经过第一、二、四象限，则， 则点在第二象限，D错误， 故选：C 二、多选题 11．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【详解】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD 12．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．若三点共线，则m的值为0 B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、斜率公式的应用、直线与线段的相交关系求斜率范围、根据直线的方向向量求直线方程 【分析】A选项，利用斜率相等求解即可；B选项，结合图像求出临界情况分析即可；C选项根据方向向量与平行来判断即可；D选项，根据倾斜角与斜率的关系举反例即可. 【详解】对于A选项，由可得，由三点共线得，得，A选项正确； 对于B选项，由、，， 则，， 由图可知，要使过点的直线与线段MN有公共点， 则或，即的斜率k的取值范围为，故B错误； 对于C选项，若，则，故与平行，故C选项正确； 对于D选项，若，但是，故D选项错误； 故选：AC. 13．（25-26高二上·河南·阶段检测）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线与互相垂直，则实数 C．已知直线与平行，则或 D．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为或 【答案】BCD 【难度】0.94 【知识点】直线过定点问题、直线截距式方程及辨析、已知直线垂直求参数、已知直线平行求参数 【分析】根据题意，求出各直线的斜率，依次判断各选项的正误. 【详解】对A，直线恒过定点，所以A错误； 对B，若，则，解得，所以B正确； 对C，若，则有，即，解得或， 当时，，，所以符合题意， 当时，，所以符合题意，所以C正确； 对D，当直线过原点时，方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为：，又因为过点，所以，解得，所以直线方程为，所以D正确. 故选：BCD 14．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 【答案】AC 【难度】0.5 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行的充要条件求解即可. 【详解】要使三条直线共有两个不同的交点，则有两条直线平行，第三条直线与它们不平行． 因为直线与不平行，所以或． 当时，,解得； 当时，，解得． 综上，的值可能是或． 15．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D．在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 【答案】AC 【难度】0.7 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】对于A，根据直线方向向量的概念求解即可；对于B，根据直线定点的求解方式求出直线定点即可；对于C，根据直线位置的判定判断即可；对于D，根据截距式不能表示截距为0的直线判断即可． 【详解】对于A，直线l的倾斜角为，斜率为，一个方向向量是，A正确； 对于B，直线，即，恒过定点，B错误； 对于C，当时，显然，当时，，所以，C正确； 对于D，截距式不能表示截距为0的直线，D错误． 三、填空题 16．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，，直线．若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】首先求出直线恒过定点，表示出直线的斜率，再结合图形即可求出参数的取值范围. 【详解】因为直线，所以 令，解得，故直线恒过点，直线的斜率为,    则， 依题意直线与线段有公共点，由图可知或，即 故答案为： 17．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线的倾斜角的取值范围是__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线斜率的定义、直线的倾斜角 【分析】由直线方程得出直线斜率，根据直线斜率的取值范围求解． 【详解】，即， 直线的斜率， 倾斜角，， ， ， 故答案为：． 18．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是______． 【答案】平行或重合 【难度】0.94 【知识点】由斜率判断两条直线平行 【分析】求得直线与的斜率，进而可得结论. 【详解】直线的倾斜角为135°，故斜率． 由经过点，，得， 所以，所以直线与平行或重合． 故答案为：平行或重合． 19．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为______． 【答案】垂直或重合 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【分析】求出值，再代入方程并确定位置关系即得. 【详解】由，得或， 当时，：，：，，， 显然，所以直线与垂直； 当时，：，：，所以直线与重合． 故答案为：垂直或重合 20．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是___________． ①直线恒过定点； ②若直线的倾斜角为，则实数的值为； ③已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为或 ④设过原点的直线的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线的倾斜角是或． 【答案】②③④ 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、直线的点斜式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】根据直线方程可得直线恒过定点判断①，由直线的斜截式可判断②，根据直线的斜率可判断③，分截距为0或不为0可求出直线方程判断④． 【详解】直线即直线， 当时，，即直线恒过定点，①错误； 直线，倾斜角为，斜率为，所以，②正确； 因为直线过点，且在轴上截距相等， 当截距都为0时，直线方程为， 当截距不为0时，可设直线方程为，则，即，则直线方程为， 所以直线的方程为或，③故正确． 若倾斜角小于，逆时针旋转，倾斜角加，即； 若倾斜角大于或等于，逆时针旋转，倾斜角为，④故正确； 故答案为：②③④． 四、解答题 21．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知的三个顶点是. (1)求BC边上的高所在直线的方程; (2)若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）根据垂直关系得出高所在直线斜率，点斜式得出直线方程； （2）由题意转化为所求直线与AB平行或过AB的中点，分别求解即可. 【详解】（1）因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为1， 所以BC边上高所在直线为，即. （2）因为点A，B到直线的距离相等， 所以直线与AB平行或过AB的中点， ①当直线与AB平行， 所以， 所以，即. ②当直线过AB的中点， 所以， 所以，即. 综上，直线的方程为或. 22．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知直线，直线过点. (1)若，求直线的方程； (2)若直线与轴和直线围成的三角形的面积为4，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）根据两直线垂直可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程. （2）讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，结合三角形面积求出直线的方程. 【详解】（1）设直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以 由题意可知，所以 又因为直线过点，所以直线的方程为，即. （2）设直线与轴交点为，直线与轴交点为，则 ①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，， 的面积，符合题意； ②若直线的斜率存在，设直线的斜率为，，则直线的方程为 令，则，即点坐标为， 的面积，解得， 则直线的方程为 综上，直线的方程为或. 23．（25-26高二上·天津河北·阶段检测）已知．求： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)边垂直平分线方程； (3)过点且在轴和轴的截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、已知两点求斜率 【分析】（1）求中点的坐标，再求直线的斜率，利用点斜式表示直线，再化成一般式即可； （2）利用直线垂直的充要条件求出直线的方程； （3）分直线在轴和轴的截距为0与不为0两种情况讨论可求解． 【详解】（1）由于，则中点坐标为， 直线的斜率， 所以边上的中线所在的直线方程为，整理得； （2）由于，，所以中点，直线的斜率， 所以直线的垂直平分线的斜率， 所求的垂直平分线的方程为，整理得； （3）当直线在轴和轴的截距为0时，设其方程为， 又因为直线过点，所以，解得，所以直线方程为，即； 当直线在轴和轴的截距不为0时，设其方程为， 又因为直线过点，所以，所以，即； 综上所述：过点且在轴和轴的截距相等的直线方程为或． 第 21 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 直线与直线方程 【知识梳理】 一、直线的方程 1. 直线的倾斜角和斜率 （1）倾斜角：直线向上的方向与轴正方向所成的夹角，称为倾斜角，记为.其中要求. （2）斜率：倾斜角的正切值为斜率，记为 倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； 倾斜角时，直线的斜率不存在. （3）两点斜率公式：设直线上有两个点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则； 【结论】（1）从左向右看，直线上升时， ；直线下降时， ； 直线水平时， ；直线竖直时， . （2）直线越陡， 2．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 两点式 过两点 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 所有直线 结论：若一条直线的横截距纵截距相等，则①截距都为0时，直线过原点，②截距不为0时，k=-1。 3. 线段的中点坐标公式：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点为 . 二、两直线的位置关系 1. 两条直线的位置关系 位置关系 斜截式 一般式 平行 相交 垂直 (相交的特殊情况) 【注】两条直线的交点求解方法： 若直线相交， 则它们的交点坐标为方程组（Ⅰ） 的唯一一个实数解. 【题型精讲】 题型一、直线的倾斜角与斜率 角度1：直线的倾斜角与斜率 例1．（25-26高二上·广东·期中）直线的倾斜角为（   ） A． B． C．1 D．不存在 例2．（25-26高二上·山东德州·期中）已知直线l经过点，，则正确的是（   ） A．直线l的斜率为1 B．直线l的倾斜角为 C．直线l的方向向量为 D．直线l的法向量为 例3．（25-26高二上·广东深圳·期中）若直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线经过点和点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东·阶段检测）直线的倾斜角是（   ） A．0 B． C． D． 3．（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 角度2：斜率与倾斜角的变化关系 例4．（25-26高二上·广东深圳·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 角度3：直线与线段的相交关系求斜率范围 例5．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知点，直线与线段相交（不含，两点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知两点，过点的直线l与线段（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知点和，直线与线段AB有公共点，则实数a的取值范围__________. 题型二、两条直线的位置关系 角度1：判断两直线的位置关系 例6．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线与直线一定（   ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 例7．（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【针对训练】 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 2．（24-25高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 角度2：由两直线的位置关系求参数 例8．（25-26高二上·新疆·期中）已知直线与直线垂直，则实数的值为 ． 例9．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线，直线，若，则实数的值为（   ） A．2 B． C．1 D．1或 例10．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）若直线与直线互相平行，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知直线：：，：，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．多选（25-26高二上·山东济南·阶段检测）直线与不相交，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 题型三、直线的方程 角度1：求直线方程 例11．（25-26高二·全国·暑假作业）根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7； (4)经过点，． 例12．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程； (2)求与平行时的直线的方程． 【针对训练】 1．（25-26高二上·山西朔州·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二·全国·暑假作业）经过点，且一个法向量为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 角度2：直线过定点问题 例13．（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．多选（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知直线：，：，则下列说法中正确的有（   ） A． B．存在，使得 C．直线过定点 D．直线过定点 角度3：直线方程的综合应用 例14．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线的方程. (4)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. (5)在解决上述关于直线方程的问题时，我们运用了多种求直线方程的方法，如点斜式、截距式，还涉及到直线垂直时斜率的关系等知识.请结合这些问题，总结一下求直线方程的常见方法以及在不同条件下如何选择合适的方法 例15．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）在平面直角坐标系中有， (1)求直线的一般方程； (2)在三角形中，求边的高线方程； (3)若直线将面积两等分，求的值 【针对训练】 1．（25-26高二上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点、，则线段的垂直平分线方程为________． 2．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 3．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知直线l经过点. (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)若直线l在x轴上的截距是y轴上的截距3倍，求直线l的方程； (3)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点，求当的面积取得最小值时直线l的方程. 【课后作业】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[1,4] 2．（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 3．（25-26高二上·四川成都·期末）下列直线中，倾斜角最大的是（ ） A． B． C． D． 、4．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）若直线的一个方向向量的坐标为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 6．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．直线与直线互相垂直，则 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．直线过点，且与点的距离最远，则直线的方程是: D．直线与直线互相平行，则 7．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线：和直线：，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．6 8．（25-26高二上·河北石家庄·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 10．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 二、多选题 11．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．若三点共线，则m的值为0 B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 13．（25-26高二上·河南·阶段检测）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线与互相垂直，则实数 C．已知直线与平行，则或 D．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为或 14．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 15．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D．在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 三、填空题 16．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，，直线．若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是______． 17．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线的倾斜角的取值范围是__________． 18．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是______． 19．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为______． 20．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是___________． ①直线恒过定点； ②若直线的倾斜角为，则实数的值为； ③已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为或 ④设过原点的直线的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线的倾斜角是或． 四、解答题 21．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知的三个顶点是. (1)求BC边上的高所在直线的方程; (2)若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 22．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知直线，直线过点. (1)若，求直线的方程； (2)若直线与轴和直线围成的三角形的面积为4，求直线的方程. 23．（25-26高二上·天津河北·阶段检测）已知．求： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)边垂直平分线方程； (3)过点且在轴和轴的截距相等的直线方程． 第 21 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $