江苏苏州市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

高二数学试卷 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． A．12 B．18 C．20 D．24 2．已知车轮旋转的角度（单位：）与时间（单位：s）之间的函数关系为，则车轮开始转动后第时的瞬时角速度（单位：）为 A． B． C． D． 3．某班要从4名女生和3名男生中选择3人参加学生代表大会，则选出的代表中女生人数不少于男生人数的选法种数为 A．35 B．30 C．24 D．22 4．已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则 A．．．． 5．统计某超市连续5年的广告支出费（万元）与销售额（万元）的数据如下： 广告支出费 1 2 4 6 7 销售额 20 30 m 43 46 得出经验回归方程为，则 A．与呈负相关关系 B．当时，一定有 C． D．当时，残差为3 6．在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为 A． B． C． D． 7．小明常用人工智能大模型DeepSeek解决学习疑问．当小明输入的问题表达清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.8；当小明输入的问题表达不清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.3．若小明输入的问题表达清晰的概率为0.7，则DeepSeek的回复被采纳的概率为 A．0.56 B．0.65 C．0.77 D．0.8 8．已知函数在上单调递增，则和的取值不可能是 A．， B．， C．， D．， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机变量，，则下列说法正确的有 A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．如图，在平行六面体中，已知，，，分别为，的中点，则 A． B． C． D．与平面所成角的正弦值为 11．已知函数，则下列说法正确的有 A．若，则存在极值点 B．若是增函数，则 C．曲线是中心对称图形 D．存在，使得有三个不同的零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，，若曲线与在点处有相同的切线，则实数的值为 ▲ ． 13．在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为 ▲ ． 14．我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了著名的“杨辉三角”，它揭示了展开式的项数及各项系数的规律，这是我国数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，第10行从左到右第4个数是 ▲ ；记第行从左到右第个数为，则 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知的展开式中第3项与第2项的二项式系数之差为20． （1）求； （2）求展开式中第3项与第项的系数的比值； （3）求展开式中的常数项． 16．（15分） 江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼开展，赛事凭借鲜明的本土地域特色广受省内市民喜爱．为调查某市市民购票前往现场观赛的意愿，某调研机构随机选取100名市民开展问卷调查，统计数据如下： 愿意购票到场观赛 不愿购票到场观赛 合计 女性 25 25 50 男性 40 10 50 合计 65 35 100 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“愿意购票到场观赛”与性别有关联？ 附：． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）为鼓励市民到场观赛，先对“愿意购票到场观赛”的65名被调查者按性别分层，用比例分配的分层随机抽样方法抽取13人，再从这13人中随机抽取2人发放观赛补贴，补贴标准：女性每人20元，男性每人10元．求补贴金额的分布列与数学期望（结果四舍五入精确到整数）． 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，已知，，，分别是线段，上的动点（不含端点），． （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（17分） 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，若存在极小值点，证明：； （3）若对任意，都有，求的取值范围． 19．（17分） 某科技公司为推广某款机器人产品，举办“人类—机器人”挑战赛，规则如下：人类选派名挑战者参赛，每名挑战者仅与一台该款机器人进行一场比赛，共进行场比赛，每场比赛只有胜、败两种结果．所有场次比赛结束后，若人类总获胜场数多于机器人总获胜场数，则人类队获胜，否则机器人队获胜．已知单场比赛中挑战者战胜机器人的概率恒为，所有场次的比赛结果相互独立． （1）若，，记人类总获胜场数与机器人总获胜场数之差的绝对值为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）若，记事件“在前场比赛中人类胜了场”，事件“人类队获胜”． ①求，（用含的式子表示，无需书写推导过程）； ②研究表明：随着的增大，人类队获胜的概率越来越小．请从数学角度证明上述观点． 学科网（北京）股份有限公司 $