双曲线的“形”与“数”——1.2 反比例函数的图像与性质 导学案 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦反比例函数的图像与性质，通过小明家蓄电池电流与电阻的实例导入，类比一次函数“列表、描点、连线”的画法，引导学生探究双曲线的绘制方法及与一次函数图像的差异，构建前后知识的衔接支架。 资料设置分层例题与变式训练，从基础的图像象限判断到提优的k几何意义综合应用，精准突破增减性“在每个象限内”的理解难点。通过对比推理培养学生的抽象能力和推理意识，结合实例与综合问题发展模型意识，助力学生系统掌握知识并提升应用能力。

参考答案与解析 分层例题与变式训练答案 基础过关 例题1：A 变式1：y=-1 (答案不唯一，只要k<0的反比例函数即可) 变式2：A 变式3：一 中等提升 例题2：a>c>b 变式1：> 变式2：（-3，-2) 变式3：k=6,m=2 提优拓展 例题3：(0k=2,m=1;2)(1,2)或(4， 变式1：B 变式2：b=2,k=6 巩固练习答案 1.B 2.3 3.D 4.C 5.k>0 6.增大 7.y=-x+5(答案不唯一，符合条件即可) 8.k=2 9.3(答案不唯一，3≤k≤9即可) 10.3 11.D 12.B 14.A 15.C 16.C 反比例正数y ,一次函数：y=-x+5 19.(0,3)或(0，-1) 20.a=1,k=6 双曲线的“形”与“数”——1.2反比例函数的图像与性质导学案 适用版本：苏科版九年级数学上册（新教材） 对应章节：第 1 章 第二节 一、学习目标 1. 掌握反比例函数的图像画法，能类比一次函数的画法完成反比例函数的图像绘制 2. 掌握反比例函数的图像特征，能准确根据 k 的符号判断图像所在象限 3. 理解反比例函数的增减性规律，能正确比较不同点的函数值大小 4. 掌握反比例函数中比例系数 k 的几何意义，能解决相关的面积问题 5. 能综合运用反比例函数的图像与性质解决一次函数与反比例函数的综合问题 二、学习重难点 学习重点 1. 反比例函数的图像画法与基本特征 2. 反比例函数的基本性质与 k 的几何意义 学习难点 1. 反比例函数增减性的准确理解，尤其是 “在每个象限内” 的限制条件 2. 反比例函数与一次函数的综合应用问题 三、新课引入 我们之前学习了反比例函数的概念，知道当两个变量的乘积为定值时，它们就成反比例关系。比如： 小明家的蓄电池电压为定值，他测量了不同电阻下的电流大小，得到了如下数据： 电阻 R (Ω) 2 3 4 6 电流 I (A) 6 4 3 2 通过计算我们可以发现，，也就是，这就是一个典型的反比例函数。 那这个函数的图像是什么样的？我们之前学过一次函数的图像是直线，那反比例函数的图像也是直线吗？我们能不能用之前画一次函数的方法来画它的图像？今天我们就一起来探究反比例函数的图像与性质，解开双曲线的 “形” 与 “数” 的秘密。 四、探究：从一次函数到反比例函数的图像画法 我们之前学习一次函数的时候，用了列表、描点、连线的方法来画它的图像，那我们能不能用同样的方法来画反比例函数的图像呢？ 我们以 为例，来试试： 步骤 1：列表 一次函数的 x 可以取任意实数，但是反比例函数中 x 不能取 0，所以我们要在 0 的左右两边分别取点： x ... -3 -2 -1 1 2 3 ... y ... -2 -3 -6 -12 12 6 3 2 ... 步骤 2：描点 把这些点在平面直角坐标系中描出来，我们会发现，这些点分成了两组：一组在第二象限（x 负，y 正），一组在第一象限（x 正，y 正）。 步骤 3：连线 我们把左边的点（x<0 的）用平滑的曲线连起来，再把右边的点（x>0 的）用平滑的曲线连起来，注意：两个分支是独立的，不能连在一起，因为 x 永远不能取 0，所以中间是断开的。 对比一次函数： 一次函数的图像是一条连续的直线，只要 2 个点就能画出 反比例函数的图像是两条独立的曲线（我们称之为双曲线），需要取多个点才能画出完整的两个分支，而且它会无限接近坐标轴，但永远不会和坐标轴相交。 五、知识点梳理 1. 反比例函数的图像特征 反比例函数 （ 为常数，）的图像是双曲线，它有两个独立的分支： 图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交 自变量 的取值范围是 ，函数值 的取值范围是 2. 反比例函数的性质（由 k 的符号决定） k 的符号 图像所在象限 增减性（每个象限内） 第一、三象限 y 随 x 的增大而减小 第二、四象限 y 随 x 的增大而增大 注意：增减性必须强调 “在每个象限内”，因为两个分支是独立的，不能直接说 “当 k>0 时，y 随 x 的增大而减小”，因为跨象限的点不满足这个规律。 3. 反比例函数的对称性 中心对称：反比例函数的图像关于原点中心对称，若点 在图像上，则点 也一定在图像上 轴对称：反比例函数的图像关于直线 和直线 轴对称 4. 比例系数 k 的几何意义 过反比例函数 图像上任意一点 P，分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为 M、N，则矩形 PMON 的面积为 ； 同时，连接 OP，则 和 的面积都为 。 六、分层例题与变式训练 （一）基础过关：图像与象限的判断 例题 1 反比例函数 （ 为常数，）的图像位于（ ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 解析：本题考查反比例函数的图像分布规律。对于反比例函数 ，当 时，图像位于第一、三象限；当 时，图像位于第二、四象限。本题中 ，因此图像位于第一、三象限，答案选 A。 变式训练 1 请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称： 。 变式训练 2 函数 的大致图像是 ( ) A. 过一、三象限的双曲线 B. 过二、四象限的双曲线 C. 开口向上的抛物线 D. 上升的直线 变式训练 3 反比例函数 的图象在第一、三象限，则点 在第 象限。 （二）中等提升：函数值的大小比较 例题 2 若点 、、 都在反比例函数 的图象上，则 的大小关系为 。 解析：本题考查反比例函数的增减性。首先，反比例函数 中，，因此图像位于第二、四象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。 点 A 的横坐标 ，因此点 A 在第二象限，所以 ； 点 B、C 的横坐标 ，因此两点都在第四象限，且 ，所以 ； 因此三者的大小关系为 。 变式训练 1 点 ， 都在反比例函数 的图象上，则 \ （填 “>” 或 “<”）。 变式训练 2 正比例函数 和反比例函数 图象相交于 A、B 两点，若点 A 的坐标是 ，则点 B 的坐标是 。 变式训练 3 一次函数的图像与反比例函数的图像交于点 ，与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C。求 k 与 m 的值。 （三）提优拓展：k 的几何意义与综合应用 例题 3 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，一次函数 的图像与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，与反比例函数 的图像交于点 C。 (1) 求 k 和 m 的值； (2) 已知四边形 OADC 是正方形，连接 OD，点 P 在反比例函数 的图像上。当 的面积与 的面积相等时，直接写出点 P 的坐标。 解析： (1) 一次函数 过点 C，代入得 ，因此 C 点坐标为 。将 C 点代入反比例函数得 。 (2) 由题意可知， 的面积为 。设 P 点坐标为 ，根据面积关系可解得 P 点坐标为 或 。 变式训练 1 如图，点 P 在反比例函数 的图象上，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线 PM、PN，若矩形 PMON 的面积为 6，则 k 的值为（ ） A．12 B．-6 C．6 D．-12 变式训练 2 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，与反比例函数 的图象交于点 C，连接 OC。已知点 A (-4,0)，。求 b、k 的值。 七、巩固练习（共 19题） 基础题（1-10 题） 1、若反比例函数 的图象经过点 ，则 k 的值是（ ） A．2 B．-2 C． D． 2、已知点 在反比例函数 的图象上，则 。 3、反比例函数 的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4、在同一平面直角坐标系中，函数 与 的大致图象为（ ） 5、若反比例函数 图像经过第一、三象限，则 k 的取值范围是 。 6、已知反比例函数 ，当 时，y 随 x 的增大而 （填 “增大” 或 “减小”）。 7、某个函数具有性质：当 时，y 随 x 的增大而增大，那么这个函数的表达式可以是 （只要写出一个符合题意的答案即可）。 8、已知反比例函数 的图象经过点 。求 k 的值。 9、如图，已知点 ，反比例函数 图像的一支与线段 AB 有交点，写出一个符合条件的 k 的数值 。 10、已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系。当 R=4Ω 时，I=6A，则当 R=8Ω 时，I= A。 中等题（11-16 题） 11、对于反比例函数 ，下列结论正确的是（ ） A. 点 在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C. 当 时，y 随 x 的增大而增大 D. 当 时，y 随 x 的增大而减小 12、在反比例函数 中，若 ，则（ ） A. B. C. D. 13、若反比例函数 ，，当 时，函数 的最大值是 a，函数 的最大值是 b，则 。 14、反比例函数 的图象上有 ， 两点。下列正确的选项是（ ） A. 当 时， B. 当 时， C. 当 时， D. 当 时， 15、已知 ， 是某函数图象上的两点，当 时，。该函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 16、若点 都在反比例函数 的图象上，则 的大小关系是（ ） a. b. c. d. 提优题（17-19 题） 17、在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点 、。求一次函数、反比例函数的表达式。 18、在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点 A、B。C 是 y 轴上的一点，连接 AC、BC。若 的面积是 6，求点 C 的坐标。 19、在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，与反比例函数的图象交于点 C，连接 OC。已知点 B (0,4)， 的面积是 2。求 a、k 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $