期末复习专题平面向量的线性运算训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以题型为载体系统覆盖平面向量核心知识点，通过几何直观与推理能力构建从概念到应用的逻辑链条，强化运算能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题|考查零向量、单位向量等基本概念的多维度辨析|向量概念体系的基础构建| |线性表示|5题|结合图形（三角形、平行四边形）考查线性运算|从代数运算到几何意义的转化| |基本定理求参数|3题|利用共线条件及定理解决参数问题|向量分解与参数求解的逻辑关联| |数量积|7题|涵盖定义、模长、夹角计算及综合应用|从数量积定义到性质的延伸应用| |投影|3题|考查投影向量的概念及计算|数量积几何意义的深化理解| |垂直应用|2题|利用垂直条件求参数|数量积性质的特定场景应用| |夹角问题|1题|锐角钝角的条件转化|数量积符号与夹角关系的推理| |四心与面积比|2题|结合三角形四心考查向量表示|向量工具在几何性质中的综合应用| |历年真题|9题|覆盖高频考点的综合应用|知识体系与命题趋势的衔接|

期末复习专题 平面向量的线性运算 题型一 平面向量的概念辨析 1．（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量的方向是任意的 B．零向量就是实数0 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 2．关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（    ） A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 3．（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 题型二 平面向量的线性表示 4．（多选）下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 5．在△中，点为中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 7．已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．9 B．6 C． D． 8．已知、为同一平面中两个向量，满足，，则的范围为（   ） A． B． C． D． 题型四 平面向量的基本定理求参数 9.如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则 ． 10．如图，在中，点在上，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，设，． (1)若是上靠近的三等分点，用和表示； (2)若是中点，设，，求的值． 11.如图，在ABC中，为线段上靠近点的三等分点，若，则 ． 题型五  平面向量的数量积 12.正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 =（    ） A． B．3 C． D．5 13.设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 14．已知都是非零向量，且满足，则的值是___________． 15．已知向量，满足，，则 ． 16．已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 17．已知，且. (1)求向量与的夹角； (2)求. 18.在△ABC中，，，为中点，为上一点且，则与夹角的余弦值为 . 题型六 向量的投影 19．已知向量与的夹角是，且 ，则向量在向量上的投影向量是______ 20．已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 21．已知向量，满足，，，则在 上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 题型七 向量垂直的应用 22．已知，，，且与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 23．不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 题型八 向量夹角为锐角钝角问题 24．已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与 的夹角为锐角，求实数的取值范围. 题型九 平面向量的四心与面积比 25．（多选）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 26．（多选）下列命题正确的是（   ） A．在中，，则的形状一定是直角三角形 B．平行四边形中，若，则四边形是矩形 C．若，，，四点在同一条直线上，且，则 D．在中，若，则点的轨迹经过的内心 【历年真题】 1.已知向量与的夹角为，，，则 （ ） A. 1 B. C. D. 2．若是夹角为的两个单位向量，则（ ） A． B． 2 C． D． 3．如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点，则（    ） A． B． C． D． 4．在梯形中，若，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知 中， ，若 ，且E,M,F 三点共线， 则x=（      ） A． B． C． D． 6．如图所示，在中，D为BC边上的三等分点，若，，E为AD中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆O为的外接圆，,，则的最大值为______________. 8. 已知点为等腰外接圆上的一个动点，，则的取值范围为__________. 9．四边形ABCD中，点E,F分别是AB,CD的中点，，,,点满足，则的最大值为 ． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 向量线性运算【解析】 题型一 平面向量的概念辨析 1．（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量的方向是任意的 B．零向量就是实数0 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【答案】AC 2．关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（    ） A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 【答案】D 【分析】根据单位向量的定义即可判断． 【详解】非零向量方向上的单位向量，且，故ABC错误， 故选：D． 3．（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】对于A，向量的模可以比较大小，而向量无法比较大小，故A错误； 对于B，若，根据向量相等的定义，这意味着它们大小相等且方向相同，所以一定满足，故B正确； 对于C，当时，满足，，不一定满足，故C错误； 对于D，若，则与大小相等且方向相同； 又因为，则与大小相等且方向相同； 所以，与大小相等且方向相同，所以，故D正确. 4．（多选）下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据平面向量的加减法法则，结合具体选项，逐一分析即可. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 5．在△ABC中，点D为AB的中点，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量线性运算的几何表示即得. 【详解】因为点为中点，，， 所以. 故选：C. 6．如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，根据平面向量基本定理用将向量表示出来即可. 【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 故选：B. 7．已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．9 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】若向量与共线， 则存在实数使得，即， 又、是两个不共线的向量，所以，解得. 8．已知、为同一平面中两个向量，满足，，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求，根据，可求的范围. 【详解】, 因为，则， 所以， 所以的范围为. 故选：D 9．如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则________． 【答案】 【分析】首先连接，再利用向量加法的几何意义求解即可. 【详解】连接，如图所示： 所以，则. 故答案为： 10．如图，在中，点在上，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，设，． (1)若是上靠近的三等分点，用和表示； (2)若是中点，设，，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据图形，利用向量的加法法则计算可得； （2）利用向量的四边形法则结合共线的基本定理可得. 【详解】（1）因为是上靠近的三等分点，所以， 则由空间向量的加法法则得， 由空间向量的减法法则得 ，故. （2）若是中点，设，， 则， 因为三点共线，所以. 11．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则________． 【答案】/ 【分析】由题可用表示，后由B，P，N三点共线可得答案. 【详解】． 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 故答案为： 12.正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 =（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 13．设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________． 【答案】11 【详解】 设a与b的夹角为θ.因为a与b的夹角的余弦值为，即cos θ＝，又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a|·|b|·cos θ＝1×3×＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11. 【考查意图】考查两个向量的数量积的定义． 14．已知都是非零向量，且满足，则的值是___________． 【答案】 【详解】由，所以，所以，即. 15．已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【分析】由，两边平方并整理得，由，平方得，展开求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 整理得， 又因为， 所以， 则， 所以． 16．已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单位向量的概念，利用数量积的定义式以及运算律，建立方程求解即可. 【详解】由单位向量，，可知，， 故， 设向量与向量的夹角为，则， 所以，解得， 由，可知， 故选：D. 17．已知，且. (1)求向量与的夹角； (2)求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量数量积运算，结合已知条件，直接计算即可； （2）由（1）中所求数量积，结合数量积运算律，求解即可. 【详解】（1）由，得， 即，解得，又，所以. （2）由（1）得，，故可得：， 则. 18．在中，，，为中点，为上一点且，则与夹角的余弦值为_____. 【答案】 【分析】由，而，求得，再通过平方求得，，即可求解. 【详解】因为为中点，所以，又， 则，而， 所以 9， 又 ， 所以， 又 所以， 所以， 故答案为：. 19．已知向量与的夹角是，且 ，则向量在向量上的投影向量是______ 【答案】 【分析】先求出，再利用投影向量公式求解即可. 【详解】由题意，， 则向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 20．已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简得到，利用投影向量的公式进行求解. 【详解】因为，所以，化简得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 21．已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，向量，满足，，， 所以， 则在上的投影向量为. 22．已知，，，且与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意先解出，由与垂直，解出即可. 【详解】因为，所以，因为与垂直， 所以，得，得， 解得. 故选：A. 23．不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】，两边平方得， 即， 又，为单位向量且不共线，故， 解得，（舍去）； 若，则， 解得. 24.已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由数量积的定义、投影向量的定义即可求解； （2）由题意当且仅当向量与的数量积大于0且不共线，进一步列不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以在方向上的投影向量为； （2）若向量与的夹角为锐角， 则当且仅当向量与的数量积大于0且不共线， 而与的夹角为，即与可以视作平面内的一组基底向量， 所以，且， 解得或， 故所求为. 25.（多选）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 【答案】ABC 【分析】以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求出即可得解. 【详解】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 对于A，若为的重心，则，，即， 所以， 若，则，解得， 此时，A说法正确； 对于B，若为的内心，由点到，的距离相等可知在上， 设内切圆的半径为，则， 即，解得，所以，， 若，则，解得， 此时，B说法正确； 对于C，若为的垂心，由可知在上， 设，则，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，C说法正确； 对于D，若为的外心，由可知在上， 设，则，即，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，D说法错误； 故选：ABC 26．（多选）下列命题正确的是（   ） A．在中，，则的形状一定是直角三角形 B．平行四边形中，若，则四边形是矩形 C．若，，，四点在同一条直线上，且，则 D．在中，若，则点的轨迹经过的内心 【答案】ABD 【分析】对AB，根据向量数量积的运算律即可判断；对C，举出反例即可判断；对D，根据向量加法的几何意义即可判断. 【详解】对于A，由，可得， 所以，所以，所以， 所以，所以是直角三角形，故A正确； 对于B，由可得， 所以，所以， 所以，所以四边形是矩形，故选项B正确； 对于C，依题意如图， 但，故C错误； 对于D，根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，故点的轨迹经过的内心，故D正确. 故选：ABD. 【历年真题】 1．已知向量与的夹角为，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】借助向量模长与数量积的关系与数量积的计算公式计算即可得. 【详解】 . 故选：A. 2．若是夹角为的两个单位向量，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】求出即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 3．如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量基本定理求解. 【详解】解：因为为平行四边形，故，故易知， 又因为为的中点，所以， 故， 4．在梯形中，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的基本定理化简，可得答案. 【详解】由题意，，化简得， 即，则， 故选：A. 5．已知 中， ，若 ，且 三点共线， 则 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用平面向量基本定理，再根据三点共线的性质列式求参即可. 【详解】 因为所以， , 因为三点共线，所以, , 所以 . 故选：C. 6．如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】 故选：A 7．已知圆为的外接圆，，则的最大值为______________. 【答案】3 【分析】先利用正弦定理求出外接圆半径，取的中点，连接，则，变形得到，当三点共线时，取得最大值，求出答案. 【详解】设圆的半径为，则，解得， 因为，所以， 取的中点，连接，则， 故， ， 当三点共线时，取得最大值，最大值为， 故的最大值为. 故答案为：3 8．已知点为等腰外接圆上的一个动点，，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】分析可知，作出图形，设，，利用余弦定理求出的值，对点的位置进行分类讨论，求出的值，利用余弦定理结合基本不等式可求出的取值范围，再利用平面向量数量积的定义可求得的取值范围. 【详解】在等腰中，，则， 若，则，矛盾； 若，则，合乎题意. 由于余弦定理可得， 设，， 当点在优弧（不包括点、）上运动时，，则， 由余弦定理可得， 所以，，当且仅当点与点重合时，等号成立， 又因为，此时，， 此时，； 当点与点或点重合时，； 当点在劣弧（不包括点、）上运动时，， 此时，， 由余弦定理可得， 即，当且仅当点为劣弧的中点时，等号成立， 又因为，则， 此时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 9．四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为______. 【答案】 【分析】利用向量加法运算及数量积定义得，然后利用数量积的运算律得，设出向量夹角，从而，利用余弦函数求解最值即可. 【详解】因为，，又点分别是的中点， 所以，所以， ， 又，所以，又点分别是的中点，所以， 因为，所以， 即，设，，则，所以， 所以， 所以当即时，有最大值1，即有最大值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时注意数量积运算律的应用. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $