广东佛山市南海区石门中学2025-2026学年高一下学期第二次供题训练数学试卷

**基本信息** 高一数学期末供题训练，融入数学文化（布洛卡点）、科技情境（AI数据中心），通过向量、复数、立体几何等知识，考查数学眼光观察现实、逻辑推理与数据分析能力，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量共线、复数象限、函数变换|基础概念辨析，如向量性质判断（题1）| |多选|3/18|复数性质、统计图表、立体几何|高考难度对比图考查数据解读（题10）| |填空|3/15|三角变换、投影向量、轨迹长度|核心概念应用，如向量投影计算（题13）| |解答|5/77|三角函数性质、立体几何证明、统计案例、数学文化|布洛卡点情境融合几何证明与文化传承（题19）；统计题（17）涉及频率分布与方差计算，培养数据观念|

2025～2026学年下学期第二次供题训练 数学 参考答案 【选择题】 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A D A D A A B BC AD ACD 【填空题】 12． 13． 14． 【小题详解】 1．B【详解】对于A，相等向量必须长度相等方向相同，故A错误； 对于B，由共线向量的定义得方向相同或相反的两个向量叫做共线向量，故B正确； 对于C，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故C错误； 对于D，平行向量的方向可以相同，也可以相反，故D错误. 2．A【详解】由题意得复数， 复数z在复平面内对应的点为，该点位于第一象限. 3．D【详解】在频率分布直方图中，中位数左右两边面积相等，平均数受极端值影响，偏向长尾方向. 直方图左偏（左边拖尾长，右边集中）,如D选项→平均数中位数； 直方图右偏（右边拖尾长，左边集中），如B选项→平均数中位数； 直方图对称，如AC选项→平均数≈中位数.故此题选D. 4．A【详解】先将向左平移个单位，可得， 再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得的图象，故A正确. 5．D【详解】，由正弦定理得， 故，又， ，所以，所以， 即，所以或， 由得或（舍去），由得，故这个三角形一定是等腰或直角三角形 6．A【详解】根据平面向量平行性质，，，，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 7．A【详解】因为点是线段的中点，所以向量， 所以，又向量方向相反，且， 所以． 8．B【详解】令，，，当时，；当时，； 则，函数的最大值在处取得；最小值在处取得；已知函数在上有最大值没有最小值，区间必须包含第一个最大值点，且不能包含第一个最小值点，，解得． 9．BC【详解】A.若取，，满足，但，，不能比较大小，故A错误； B. 若，则，故B正确；C.设，，, 则， ， ，所以，故C正确； D. 若取，，满足，但此时，，故D错误. 10．AD【详解】对于A：由题图可知，近三年容易题分值分别为40，55，96，逐年增加，故A项正确； 对于B：由题图可知，近三年难题分值先增后减，故B项错误； 对于C：由题图可知，近三年中档题分值所占比例最高的年份是2022年，故C项错误； 对于D：由题图可知，2024年的容易题与中档题的分值之和为，所占比例为，故D项正确． 11．ACD【详解】对于AD，, 正三棱柱中，棱长均为3,所以, 设，则,, 故,AD正确； 对于B，假设与垂直，则在面的投影也与与垂直，显然不可能成立 对于C，因为平行于平面,所以到平面的距离为的高， ,故, ,故正确. 12．【详解】因为，所以，解得， 所以． 13．【详解】为单位向量，， 向量在向量方向上的投影向量为，. 14. 【详解】因为所以P在以为球心，为半径的球面上。 球面与面,面,面均无交线,与面的交线为以为圆心，为半径的四分之一圆。与面和面的交线为以2为半径，圆心角为的圆弧。 【解答题答案及评分细则】 15. （1），………………………………………………2分 正弦函数的单调递减区间为， 令，则，解得，………………4分 所以的单调递减区间为；…………………………………………………5分 正弦函数的对称轴为， 令，解得，所以的对称轴为．……………8分 （2）令，因为，所以， 所以，即， 所以，即函数的值域为．………………………13分 16. （1）如图，取的中点分别为S,T，连接，则,…………………………2分 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，，………………………4分 所以四边形为平行四边形，所以，…………………………………………………………6分 所以，所以B，D，E，G四点共面.………………………………………………………………7分 （2）    方法一：延长，设它们交于一点S， 因为，且，所以，则，………………………………10分 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又，所以，则，………………………………13分 因此S和Q是同一个点，所以三条直线交于一点.…………………………………………15分 方法二：由（1）知四边形为梯形，延长，设它们交于一点S………………………9分 ……………………………………………………………11分 同理………………………………………………………13分 ，所以三条直线交于一点.……………………………15分 17. （1）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1， 则，解得，…………………………………2分 估计样本中成绩不低于60分的人数为．………………………………4分 （2）前四个小矩形的面积之和为，………………………………5分 前五个小矩形的面积之和为，…………………………………………………………6分 所以成绩的上四分位数落在内，设其为，…………………………………………………………7分 则，解得，即估计样本中成绩的上四分位数为86．…………………9分 （3）样本中成绩在内占成绩在内的比例为，……………………………10分 样本中成绩在内占成绩在内的比例为．…………………………………11分 设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为， 由分层随机抽样的平均数公式可得，………………………………………………13分 由分层随机抽样的方差公式可得， 故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22．…………………………………………………15分 18. （1）在正方形ABCD中,,所以翻折后， ……………………2分 又平面，所以平面，………………………………………………4分 又平面，所以.…………………………………………………………………………5分 （2）在正方形ABCD中，，翻折后，…………………………………………………6分 又，所以两两垂直，…………………………………………………………7分 三棱锥可放入以为边的长方体中，………………………………………………………8分 所以长方体体对角线就是其外接球直径，长度为 ，即外接球半径，……9分 表面积，三棱锥SDEF的外接球的表面积.…………10分 （3）设，设点到平面的距离为， 则， ，，……………………………………11分 则，………………………………………………12分 ， 又由（1）知平面，所以，……………………………………13分 ，解得，………………………………………14分 又直线与平面所成角为， 所以， 又因为，当，即时取等，………………………………15分 所以在单调递减，即，…………………………………16分 则，所以的最大值为.………………………………………………17分 19. （1），…………………………………………………1分 又，…………………………………………………2分 ，……………………………………………………………3分 ,为正三角形, ，所以，.…………………………………………4分 （2） ， 所以，…………………………………………………………………………6分 在，，中，分别由余弦定理得： ，，， 三式相加整理得，………………………………………………7分 即，故；……………………………………………8分 （3）在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得 ， ， ，……………………………………………………11分 三式相加可得：①；……………………………………12分 在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得： ， 在和内，同理， 于是，…………………………………………15分 因为， 由等比性质得②，…………16分 由①②得 即， 因为， 所以.…………………………………………………………17分 数学科答案 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年下学期第二次供题训练 高一数学 注意事项： 1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2.请认真核对答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3.作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列关于平面向量的说法中，正确的是（     ） A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同 2．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（    ） A．   B．   C．   D．   4．将函数的图象经过下列哪种变换可以得到函数的图象（     ） A．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 5．在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．已知向量，，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有两项或三项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知，为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．如图为某省高考数学试卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，下列结论正确的有（   ） A．近三年容易题分值逐年增加 B．近三年难题分值逐年减少 C．近三年中档题分值所占比例最高的年份是2023年 D．2024年的容易题与中档题的分值之和占总分的以上 11．正三棱柱中，棱长均为3，在棱上，且（在上面），则（  ） A．五面体的体积是定值 B．与可能垂直 C． D．当时，称五面体为刍甍，该刍甍体积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知，则________． 13．已知为单位向量，若向量在向量方向上的投影向量为，则________. 14．已知正四棱柱的高为2，底面边长为1，且，则的轨迹总长度为___________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （13分）已知函数． (1)求的单调递减区间及对称轴； (2)当时，求函数的值域． 16. （15分）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且． (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 17. （15分）为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数； (3)若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 18. （17分）如图，正方形ABCD中，边长为a，E为中点，F是边上的动点，将，分别沿着折起，使A，B两点重合于点S. (1)求证：； (2)当F是边BC的中点时，将，，分别沿着折起，使A，B，C三点重合于点S，求三棱锥的外接球的表面积； (3)，若，设直线与平面所成角为，求的最大值. 19. （17分）布洛卡点是三角形内部的一个特殊的点，由法国数学家亨利•布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角．如图，在中，记它的三个内角分别为，，，其对边分别为，，，的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题： (1)若，且，求； (2)若，的面积为，求； (3)若为锐角三角形． 求证：． 语文试卷 第2页，共4页 数学试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $