14.3 角的平分线（第2课时）课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角平分线判定定理，通过“紧急救援任务”情景导入，复习角平分线性质定理（由线推距离），引出判定定理（由距离推线），构建性质与判定的互逆知识支架。 其亮点在于情景化探究（救援场景激发兴趣）、合作证明判定定理（培养逻辑推理）、生活实例应用（直尺宽度转化为距离，体现数学眼光），通过典例分析和中考真题巩固，小结对比性质与判定，帮助学生发展逻辑推理和几何直观，教师可提升教学效率。

14.3 角的平分线 (第2课时) 第十四章 全等三角形 人教版八年级上册 1.7.2013 同学们好！欢迎来到今天的数学课堂。今天我们将继续探索第十四章《全等三角形》中的一个重要知识点——角的平分线。上节课我们学习了角平分线的性质，知道了角平分线上的点到角两边的距离相等。那么反过来，如果一个点到角两边的距离相等，它和角平分线又有什么关系呢？这就是我们这节课要揭开的秘密。让我们一起进入今天的学习吧！ ‹#› 学习目标 探索并证明角平分线性质定理的逆定理，学会运用这个新定理来解决相关的数学问题。 一 经历角平分线判定定理的探究过程，在分析与推导中培养逻辑推理能力，着重锻炼逆向思维的方式与技巧。 二 三 在定理探究与证明的过程中，发展直观想象和数学抽象的核心素养，逐步提高有条理地思考、严谨地表达数学结论的能力。 1.7.2013 在开始今天的探索之前，我们先明确一下本节课的学习目标。首先，我们要一起探索并证明一个新的定理，它是角平分线性质定理的逆定理，也就是我们今天的主角——角平分线的判定定理。其次，在探究过程中，大家要积极思考，锻炼自己的逻辑推理能力，特别是要学会从相反的方向思考问题，也就是逆向思维。最后，通过这节课的学习，希望大家能提升数学素养，学会更清晰地思考和表达。 ‹#› 目录 1 情景引入 紧急救援任务 开启课程探索 2 合作探究 探索发现规律 完成定理证明 3 典例分析 剖析典型例题 掌握定理应用 4 巩固练习 尝试挑战自我 深化知识理解 5 归纳总结 梳理核心要点 提炼方法技巧 6 感受中考 体验真题考向 明确学习目标 7 小结梳理 构建知识体系 形成完整认知 8 布置作业 课后学以致用 巩固学习成果 1.7.2013 这是我们今天课程的路线图。我们将从一个紧张的“紧急救援任务”开始，通过合作探究，一步步发现并证明角平分线的判定定理。然后，我们会通过典型例题和巩固练习来加深理解和应用。最后，我们会进行归纳总结，并感受一下这个知识点在中考中的应用。相信通过这八个环节，大家一定能牢牢掌握今天的新知识。 ‹#› 判断：平分线 线索：距两边等距 救援中的数学智慧 情景引入 现场侦察 决策依据 紧急救援现场：火灾现场被困人员处于V形楼道夹角，侦察员发现其位置到两侧墙壁距离相等。指挥员当即判定：沿角平分线方向前进即可定位！ 核心思考：为什么“到角两边距离相等的点”，一定在“角的平分线上”？这正是我们要探索的角平分线判定定理的核心奥秘。 1.7.2013 同学们，请想象一下这个紧张的救援场景。消防员叔叔面临一个难题：如何快速定位被困人员？侦察员传回了一个关键信息：被困人员的位置到两边墙壁的距离相等。指挥员听到后，立刻做出了判断。大家想一想，这背后隐藏着什么数学原理呢？“到角两边距离相等的点”和“在角平分线上的点”之间，到底有什么必然的联系？这个问题，就是我们今天要解决的核心。 ‹#› 逻辑:由线推距 核心:距离相等 角的平分线 复习回顾 定义 画法 性质 判定 互 逆 性质定理：角平分线上的点，到角两边的距离相等。（由线推距离） 判定定理：到角两边的距离相等的点，一定在这个角的平分线上。（由距推线） 1.7.2013 在揭晓答案之前，我们先来回顾一下老朋友——角平分线的性质定理。它告诉我们，只要一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离就一定相等。这是一个“由线推距离”的过程。现在，我们把思路反过来，如果我们知道一个点到角两边的距离相等，我们能断定它就在角平分线上吗？这就像侦探破案，从结果反推原因。今天，我们就来证明这个猜想。 ‹#› 新知探究 ▍ 判定定理核心解读 几何语言理解：∵ 点P在∠AOB内部，且PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE； ∴ 点P在∠AOB的平分线上。 【互逆关系对比】 性质定理是“由线推距离”（角平分线 → 距离相等）；判定定理是“由距离推线”（距离相等 → 角平分线），二者互为逆命题，构建了角平分线完整的逻辑闭环。 角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 💡 关键提醒：“角的内部”是判定定理的前提条件，若点在角的外部，即使到两边距离相等，也不在角的平分线上。该定理是证明某条射线为角平分线的重要依据。 1.7.2013 这就是角平分线的判定定理。请大家跟我一起读一遍：“角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。” 大家注意关键词“角的内部”，这很重要。这个定理和性质定理正好相反，性质是“身份决定待遇”，而判定是“待遇证明身份”。掌握了这个定理，我们就多了一个证明一条射线是角平分线的强大工具。 ‹#› 证明思路：连接OP，将证明点P在角平分线上转化为证明∠AOP=∠BOP。 ∵在Rt△PDO和Rt△PEO中， OP = OP（公共斜边），PD = PE（已知） ∴Rt△PDO ≌ Rt△PEO（HL） ∴∠AOP = ∠BOP（全等三角形对应角相等） ∴OP平分∠AOB，即点P在∠AOB的平分线上。 合作探究 已知： 求证： 点P在∠AOB内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD = PE。 点P在∠AOB的平分线上。 1.7.2013 光说不练假把式，我们来亲手证明这个定理。请看屏幕上的已知条件和图形。我们的目标是证明点P在角平分线上。大家思考一下，怎么证明呢？对，我们可以连接OP，把问题转化为证明∠AOP和∠BOP相等。观察图形，我们发现了两个直角三角形，△PDO和△PEO。它们有一条公共斜边OP，还有一条直角边PD等于PE。根据我们学过的HL定理，这两个三角形全等！既然全等，它们对应的角自然就相等了。这样，我们就证明了OP是角平分线。 ‹#› 判定定理总结 角的平分线的判定： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 核心思想：在角的内部，角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合。 【符号语言】 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ OP平分∠AOB (或点P在∠AOB的平分线上) 1.7.2013 证明完成！现在我们来正式总结一下角平分线的判定定理。请大家记住它的文字描述和符号语言。符号语言非常重要，它是我们以后解题的“官方语言”。理解这个定理，我们可以想象，角平分线就像一条“集合线”，把所有到角两边距离相等的点都聚集在了一起。这为我们理解几何图形提供了新的视角。 ‹#› 典例分析 例题：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。 求证：(1) 点P到三边AB，BC，CA的距离相等。 分析：要证点P到三边距离相等，需用角平分线性质定理。①P在∠ABC平分线BM上，故P到AB、BC距离相等；②P在∠ACB平分线CN上，故P到BC、AC距离相等；③结合①②，通过BC这个中间量，即可推导出P到三边AB、BC、CA的距离都相等。 证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F。 ∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）， ∴ PD = PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 同理可得，PE = PF。 ∴ PD = PE = PF（等量代换）。 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等。 1.7.2013 学会了新定理，我们马上来看一个经典例题。题目告诉我们，三角形的两条角平分线BM和CN相交于点P，要证明点P到三边的距离相等。大家思考一下，这里我们需要用到哪个定理？对，是性质定理！因为点P在BM上，所以它到AB和BC的距离相等；又因为它在CN上，所以它到BC和AC的距离也相等。通过BC这个中间量，我们就能得出点P到三边的距离都相等的结论。 ‹#› 典例分析 例题：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。 求证：(2) △ABC的三条角平分线交于一点。 分析：已证点P到三边AB、BC、CA的距离相等。聚焦点P与∠A的关系，因点P到AB和CA的距离相等（PD=PF），根据角平分线判定定理，可直接推知点P在∠A的平分线上，这是证明三线共点的关键。 证明：由(1)得，点P到边AB、CA的距离相等，即PD = PF。 根据“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可知点P在∠A的平分线上。 即∠A的平分线经过点P，又∵点P在BM、CN上，∴△ABC的三条角平分线交于点P。 1.7.2013 例题还没完，第二问更有趣：证明三角形的三条角平分线交于一点。我们已经知道了点P到三边的距离都相等。现在，请大家把目光聚焦到AB和AC这两条边。点P到它们的距离相等，这正好符合我们今天学的判定定理的条件！所以，我们可以判定，点P一定在∠A的平分线上。既然点P既在BM上，又在CN上，还在∠A的平分线上，那不就说明三条角平分线都经过点P吗？这样，我们就证明了三角形的三条角平分线交于一点，这个点我们称之为“内心”。 ‹#› 巩固练习 1.如图，点P在∠MAN内部，PC⊥AM，PB⊥AN，垂足分别为B，C。若 PB=PC，∠MAN=46°，则∠APC的度数为（ ） A. 23° B. 44° C. 46° D. 67° 【答案】D 【解析】∵ PB⊥AN，PC⊥AM，且 PB=PC，∴ 点P在∠MAN的平分线上（角平分线的判定定理）。 因此∠PAC = 1/2 ∠MAN = 1/2 × 46° = 23°；在Rt△APC中，利用直角三角形两锐角互余，可得∠APC = 90° - ∠PAC = 90° - 23° = 67°。 解题关键：利用“到角两边距离相等的点在角平分线上”判定AP为角平分线，再结合直角三角形性质求解。 1.7.2013 好了，理论学习和例题分析结束，现在是检验大家学习成果的时候了！请看第一题。题目告诉我们PB等于PC，并且PB和PC分别垂直于角的两边。根据我们刚学的判定定理，可以直接得出什么结论？对，AP是∠MAN的平分线！这样我们就能求出∠PAC的度数，再利用直角三角形两锐角互余，就能轻松算出∠APC的度数了。这道题你做对了吗？ ‹#› 巩固练习 2.如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线OB，且与射线OA交于点C，另一把直尺压住射线OA，且与第一把直尺交于点P，作射线OP，已知∠POB=40°，则∠ACP的度数是（ ） A. 40°　　　B. 60° C. 80°　　　D. 100° 【思路解析】 ∵ 直尺宽度相等，∴ 点P到OA、OB的距离相等，根据角平分线判定定理，OP平分∠AOB。 ∴ ∠AOB = 2∠POB = 2×40° = 80°。 利用直尺的对边平行性质或四边形内角和，可推得∠ACP与∠AOB相等，即∠ACP = 80°。 答案：C 核心考点：角平分线的判定（到角两边距离相等的点在角平分线上）、长方形的性质（对边平行、邻边垂直）。 关键技巧：将生活中的直尺宽度转化为“点到直线的距离”，是解决本题的突破口，体现了数学在生活中的实际应用。 1.7.2013 来看第二题，这是一个生活中的例子。两把直尺相交，形成了角。关键信息是“两把完全相同的长方形直尺”，这意味着什么呢？这意味着交点P到OA和OB两边的距离是相等的，因为直尺的宽度是一样的！根据判定定理，OP就是角平分线。这样我们就能求出∠AOB是80度。接下来，利用四边形内角和或者平行线的性质，就能求出∠ACP的度数。这道题巧妙地将生活工具和数学定理结合起来，是不是很有趣？ ‹#› 巩固练习 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上一点，过点D作DE⊥AB于E，若DE=DC，则∠ADE的度数为多少？ 思路解析：由DE⊥AB、DC⊥AC且DE=DC，根据角平分线判定定理，可知AD平分∠BAC。在Rt△ABC中，∠BAC=180°−90°−60°=30°，故∠DAE=15°。在Rt△ADE中，∠ADE=90°−∠DAE=75°。 最终答案：∠ADE = 75° 1.7.2013 第三题，填空题。看到DE=DC，并且DE和DC分别垂直于AB和AC，大家是不是立刻想到了判定定理？没错！这说明AD是∠BAC的平分线。在直角三角形ABC中，我们很容易求出∠BAC是30度，那么∠DAE就是15度。最后在直角三角形ADE中，用90度减去15度，答案就出来了。这道题再次巩固了判定定理的应用。 ‹#› 巩固练习 4.如图，M，N分别是边OA，OB上的点，点P在射线OC上，下列条件不能说明OC平分∠AOB的是（ ） A.PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PNB.PM=PN，OM=ON C.OM=ON，∠OPM=∠OPND.PM⊥OA，PN⊥OB，OM=ON 【答案】C 【解析】A符合角平分线判定定理；B中SSS可证△OPM≌△OPN，得角相等；D中HL可证Rt△OPM≌Rt△OPN，得角相等；C是SSA，无法判定三角形全等，故不能证明OC平分∠AOB。 核心点拨：证明角平分线最可靠的方法是利用判定定理或证明三角形全等，警惕“SSA”陷阱。 1.7.2013 第四题是一道选择题，让我们找出哪个条件不能证明OC是角平分线。我们来逐一分析。A选项，PM和PN是距离且相等，直接就是判定定理。B选项，SSS可以证明三角形全等，从而得到角相等。D选项，HL可以证明直角三角形全等，也能得到角相等。而C选项，是SSA，这是我们反复强调过的，不能用来判定三角形全等。所以，正确答案是C。这道题提醒我们，证明角相等最可靠的方法还是证明三角形全等或者使用判定定理。 ‹#› 巩固练习 5.如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，连接EF交BC于点O。则①△ABE≌△ACF；②△BOF≌△COE；③点O在∠BAC的角平分线上，其中正确的结论有几个？ 选项：A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 （正确答案：A） 解析①：△ABE≌△ACF ∵ BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠AEB=∠AFC=90°。又∠BAE=∠CAF（公共角），AB=AC，根据AAS判定定理，可得△ABE≌△ACF。结论①正确。 解析②：△BOF≌△COE 由①得AE=AF，∵AB=AC，∴AB-AF=AC-AE，即BF=CE。又∠BFO=∠CEO=90°，∠BOF=∠COE（对顶角），AAS证得△BOF≌△COE。结论②正确。 解析③：点O在角平分线上 由②得OF=OE，∵OF⊥AB，OE⊥AC，根据“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可知点O在∠BAC的角平分线上。结论③正确。 1.7.2013 第五题，一道多选题。我们来一步步分析。首先看结论①，△ABE和△ACF，有直角，有公共角，还有AB=AC，用AAS可以轻松证明全等。结论①正确。由①我们可以得到AE=AF，因为AB=AC，所以BF=CE。再看结论②，△BOF和△COE，有对顶角，有直角，还有我们刚推出的BF=CE，用AAS也能证明全等。结论②正确。由②我们可以得到OF=OE，而OF和OE分别是点O到AB和AC的距离，根据判定定理，点O一定在∠BAC的角平分线上。结论③正确。所以三个结论都对，选A。 ‹#› 巩固练习 6.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB与CE相交于点F，连接DF。求证：FD平分∠BFE。 【证明思路】要证FD平分∠BFE，根据角平分线的判定定理，只需证点D到∠BFE两边的距离相等，即证明DB = DE。 【证明过程】 ∵ AB⊥CD，CE⊥AD（已知），∴ ∠ABD = ∠CED = 90°。 在△ABD和△CED中，∠BAD = ∠ECD（同角的余角相等），∠ABD = ∠CED，AB = CE（已知）， ∴ △ABD ≌ △CED（AAS），因此 DB = DE（全等三角形对应边相等）。 又∵ DB⊥FB，DE⊥FE（已证垂直），∴ 点D在∠BFE的平分线上，即 FD平分∠BFE。 1.7.2013 第六题是一道证明题。要证明FD平分∠BFE，我们可以利用今天学的判定定理，只要能证明点D到FB和FE的距离相等就行了，也就是证明DB=DE。那么怎么证明DB=DE呢？我们可以尝试证明包含这两条线段的三角形全等。观察图形，△ABD和△CED都是直角三角形，题目给了AB=CE，我们还能找到一组角相等（同角的余角相等），用AAS就能证明它们全等。全等之后，DB自然就等于DE了。这样，我们就成功地运用判定定理完成了证明。 ‹#› 巩固练习 7.如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF与CG相交于点P，求证： (1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，垂足分别为D、E、F。 ∵ BF是∠CBD的平分线，且PD⊥AB，PE⊥BC， ∴ PD = PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 同理，∵ CG是∠BCE的平分线，且PE⊥BC，PF⊥AC，∴ PE = PF。 ∴ PD = PE = PF，即点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。 1.7.2013 最后一道练习题，难度稍微大一些，涉及到了外角平分线。第一问，证明点P到三边所在直线的距离相等。我们需要分别过点P向三边作垂线。因为P在外角∠CBD的平分线BF上，根据性质定理，它到BD和BC的距离相等，即PD=PE。同理，P又在外角∠BCE的平分线CG上，所以它到BC和CE的距离也相等，即PE=PF。这样，PD=PE=PF，第一问就证明完毕了。 ‹#› 巩固练习 7.如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P，求证：(2) 点P在∠A的平分线上。 证明：由(1)的结论可知，点P到边AB、CA所在直线的距离相等，即点P到∠BAC的两边的距离相等。 ∵ 点P在∠BAC的内部，根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”这一判定定理， ∴ 点P在∠A的平分线上。 1.7.2013 来看第二问，证明点P在∠A的平分线上。这一问就非常简单了，因为第一问我们已经证明了PD=PF，这意味着点P到∠BAC的两边AB和AC的距离相等。根据我们今天学习的判定定理，直接就可以得出结论：点P在∠A的平分线上。这个点P，是三角形两个外角平分线和一个内角平分线的交点，我们称之为“旁心”。 ‹#› 归纳总结 性质定理 vs 判定定理 核心作用对比 性质：由“点在平分线上”推“点到两边距离相等”，用于证明线段相等。 判定：由“点到两边距离相等”推“点在平分线上”，用于证明射线是角平分线。 逻辑与记忆 逻辑关系：性质是“由因导果”（已知平分线→得距离）；判定是“执果索因”（已知距离→得平分线），二者互为逆命题。 通俗记忆：性质是“身份（平分线）决定待遇（距离等）”；判定是“待遇（距离等）证明身份（平分线）”。 关键区分 前提条件是区分核心：性质的前提是“点在平分线上”，结论是距离相等；判定的前提是“距离相等”，结论是点在平分线上。解题时需先明确已知条件类型。 性质：由线推距离 判定：由距离推线 符号语言示例： 性质：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE 判定：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE ∴OP平分∠AOB 1.7.2013 练习做完了，我们来系统地总结一下。这张表格清晰地对比了性质定理和判定定理。大家要牢记它们的区别和联系。性质是“由线推距离”，用来证明线段相等；判定是“由距离推线”，用来证明角平分线。它们的逻辑关系正好相反，一个是由因导果，一个是执果索因。希望通过这个表格，大家能彻底分清这对“好兄弟”。 ‹#› 感受中考 1.（黑龙江）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB等于（ ） A. 30°　　　B. 35°　　　C. 45°　　　D. 60° 【思路解析】 1. 作辅助线：过点M作ME⊥AD于E。由DM平分∠ADC，∠C=90°，利用角平分线性质得MC=ME； 2. 结合中点：M是BC中点，故MC=MB，从而推得ME=MB； 3. 判定角平分线：由∠B=90°，ME⊥AD，根据判定定理知AM平分∠DAB； 【关键计算与结论】由AB∥CD，得∠DAB=180°−∠ADC=70°；又因AM平分∠DAB，故∠MAB=½∠DAB=35°。因此正确答案为选项B。 1.7.2013 学完了新知识，我们来看看它在中考中是如何体现的。这道黑龙江的中考题，巧妙地结合了角平分线的性质和判定。首先，利用DM是角平分线，我们可以得到MC=ME。又因为M是中点，所以MC=MB，从而得到ME=MB。这时候，ME和MB分别是点M到AD和AB的距离，根据判定定理，我们就能得出AM是∠DAB的平分线。最后利用平行线的性质求出∠DAB，问题就解决了。这道题是性质和判定联合应用的典范。 ‹#› 感受中考 2.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，BD、CE交于点F，连接AF。判断下列结论的正确性：①BD=CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE=45°。其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【参考答案】C —————————————————————————————————————— 解析①②：全等与垂直的证明 证△BAD≌△CAE(SAS)得BD=CE（①正确）；由全等得∠ABD=∠ACE，利用“8”字形导角，∠BFC=∠BAC=90°，故BF⊥CF（②正确）。 解析③④：角平分线与角度推导 ③错误，AF不一定平分∠CAD；④过A作AM⊥BD，AN⊥CE，由全等面积相等及BD=CE得AM=AN，故AF平分∠BFE，结合BF⊥CF得∠AFE=45°（④正确）。 1.7.2013 再来看一道湖北的中考题，这道题综合性非常强。结论①通过证明三角形全等可以轻松得出。结论②需要利用全等得到的角相等，再通过“8”字形模型来导角，可以证明垂直。结论④是本题的难点，要证明∠AFE=45°，关键是证明AF平分∠BFE。怎么证明呢？我们可以过点A向BD和CE作垂线，利用全等三角形面积相等和BD=CE，推导出两条垂线段相等。根据判定定理，AF就是角平分线。因为∠BFE是直角，所以它的一半就是45°。这道题再次展示了判定定理在复杂问题中的强大作用。 ‹#› 小结梳理 角的平分线 定义 将角平分的射线 画法 依据SSS作图 性质 由线推距离相等 判定 由距离推角平分线 基础认知：角平分线是将角平分为两个相等角的射线。尺规作图的核心依据是三角形全等的“SSS”判定，确保了作图的严谨性与准确性。 核心互逆：性质是“由线得距”，即平分线上的点到两边距离相等；判定是“由距得线”，即到两边距离相等的点在平分线上。二者互为逆定理，是解题的关键武器。 1.7.2013 课程接近尾声，我们来梳理一下本节课的知识体系。我们围绕“角的平分线”这个核心概念，学习了它的定义、画法、性质和判定。重点是性质和判定这对互逆的定理。性质是“由线推距离”，判定是“由距离推线”。掌握了它们，我们就有了证明线段相等和证明角平分线的双重武器。希望大家能把这张知识结构图牢牢记在心里。 ‹#› 布置作业 1 必做题：请完成习题14.3的第2、3题，巩固角平分线的性质与判定定理的基础应用。 2 探究性作业：完成复习题14的第14题。尝试从图形变换与几何定义的角度分析，拓展对角平分线概念的认知边界。 思 深度思考：在一个角的外部，是否存在到角两边所在直线距离相等的点？若存在，这样的点的轨迹是什么？这对理解“角的内部”条件有何启示？ 1.7.2013 最后，是我们的课后作业。必做题请大家认真完成，巩固今天所学。探究性作业留给学有余力的同学，大家可以思考一下，如果点不在角的内部，我们今天学的判定定理还成立吗？这样的点会在哪里呢？这个问题可以帮助大家更深刻地理解“角的内部”这个条件的重要性。 ‹#› 谢谢观看！ 人教版八年级上册 1.7.2013 今天的课程到此结束，感谢同学们的积极参与和认真思考。数学的魅力就在于这种逻辑推理和发现的乐趣，希望大家能保持这份好奇心，继续探索数学世界的奥秘。下课！ ‹#› $