第七章 第52课时 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间点、直线、平面之间的位置关系”专题，依据高考评价体系梳理了空间位置关系判定、基本事实应用、异面直线所成角、截面问题四大核心考点，通过近五年考情分析明确异面直线所成角（占比35%）和位置关系判定（占比30%）为高频考点，构建了“知识点梳理-典例解析-变式训练”的复习体系。 课件亮点在于“真题溯源+通性通法+素养落地”，如以2025·深圳期末题为例，通过补形平移法求解异面直线所成角，培养学生的空间观念和推理能力，针对截面问题总结“找截点-连截线-围截面”三步法。特设“易错警示”和“多维变迁题”，帮助学生掌握答题技巧，教师可依托系统框架实现精准复习，助力高考冲刺。

第七章　立体几何与空间向量 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 [考试要求]　1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题． 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 理法先行·题练固本 知识点1　与平面有关的基本事实及推论 (1)与平面有关的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本 事实1 过_______________的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 不在一条直线上 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 3 基本事实 内容 图形 符号 基本 事实2 如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条________________ P∈α，且P∈β ⇒α∩β＝l，且P∈l 两个点 过该点的公共直线 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 (2)三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过________和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的 依据 推论2 经过________直线，有且只有一个平面 推论3 经过________直线，有且只有一个平面 一条直线 两条相交 两条平行 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 知识点2　空间点、直线、平面之间的位置关系   直线与直线 直线与平面 平面与平面 平 行 关 系 图形 语言 符号 语言 a ∥b a ∥α α ∥β 相 交 关 系 图形 语言 符号 语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系   直线与直线 直线与平面 平面与平面 独 有 关 系 图形 语言   符号 语言 a，b是异面直线 a⊂α   理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 知识点3　基本事实4和等角定理 (1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线____． (2)等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__________． 知识点4　异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a' ∥a，b' ∥b，把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：． 平行 相等或互补 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 [常用结论] 1．异面直线判定的一个定理 与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的 直线是异面直线，如图所示． 2．唯一性结论 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 1．(人教A版必修第二册P128练习T2)下列说法正确的是(　　) A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．圆心和圆上两点确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 √ 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 D　[对于A，三个不在同一条直线上的点确定一个平面，故A错误．对于B，直线和直线外一点，确定一个平面，故B错误．对于C，因为圆的一条直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在同一条直径上，则无法确定一个平面，故C错误．对于D，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，故D正确．] 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 2．(苏教版必修第二册P173练习T2改编)如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α ∥β，则a与b(　　) A．共面 B．平行 C．是异面直线　 D．可能平行，也可能是异面直线 √ D　[∵α ∥β，∴a与b无公共点， ∴a与b可能平行，也可能是异面直线．] 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 3．(北师大版必修第二册P225例1改编)如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件______________时，四边形EFGH为菱形；  (2)当AC，BD满足条件____________________时，四边形EFGH为正方形．   AC＝BD AC＝BD且AC⊥BD 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 (1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD [(1)要使四边形EFGH为菱形，应有EF＝EH， ∵EF綉AC，EH綉BD，∴AC＝BD． (2)要使四边形EFGH为正方形， 应有EF＝EH且EF⊥EH， ∵EF綉AC，EH綉BD， ∴AC＝BD且AC⊥BD．] 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 4．(湘教版必修第二册P156例5改编)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是(　　) A．　　　　　 B． C．　　 D． √ 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 D　[连接BD(图略)，由于AA1 ∥DD1，所以∠DD1B即为直线BD1与直线AA1所成的角， 不妨设正方体的棱长为a，则BD＝a，BD1＝a， 所以cos∠DD1B＝．] 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 5．(用结论)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1成异面直线的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 √ C　[与直线BC1成异面直线的有A1B1，AC，AA1，共3条．故选C．] 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 考点深研·题型突破 考点一　基本事实的应用 [典例1]　已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q． 求证：(1)D，B，E，F四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点． 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 18 [证明]　(1)如图所示， 连接B1D1． 因为EF是△D1B1C1的中位线， 所以EF ∥B1D1． 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1 ∥BD， 所以EF ∥BD，所以EF，BD确定一个平面， 即D，B，E，F四点共面． 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C， 设A1，C，C1确定的平面为α，设平面BDEF为β． 因为Q∈A1C1，所以Q∈α． 又Q∈EF，所以Q∈β， 所以Q是α与β的公共点， 同理，P是α与β的公共点． 所以α∩β＝PQ． 又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β． 则R∈PQ，故P，Q，R三点共线． 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 (3)因为EF ∥BD且EF<BD， 所以DE与BF相交， 设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1得M∈平面D1DCC1， 同理，M∈平面B1BCC1． 又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1， 所以M∈CC1． 所以DE，BF，CC1三线交于一点． 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 通性通法：共面、共线、共点问题的证明方法 (1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证明两平面重合． (2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 考点二　空间两直线位置关系的判定 [典例2]　(1)(多选)下列推断中，正确的是(　　) A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l B．若α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则A∈l C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合 √ √ √ 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 (2)(多选)(2025·阜阳月考)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是(　　) A．直线AM与CC1是相交直线 B．直线AM与BN是平行直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线AM与DD1是异面直线 √ √ 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 (1)ABD　(2)CD　[(1)对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A正确； 对于B，若a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则A∈α，A∈β，因为α∩β＝l，所以A∈l，B正确； 对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错误； 对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D正确． 故选ABD． 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 (2)因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，所以AM与BN不平行，故B错误；因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确．故选CD．] 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 通性通法：(1)要判断空间中两条直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来判断；二是利用排除法． (2)异面直线的判定方法：①反证法；②直接法． 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 考点三　异面直线所成的角 [典例3]　(1)(2025·深圳期末)如图，圆锥的轴截面SAB是正三角形，O为底面圆的圆心，D为SO的中点，点C在底面圆的圆周上，且△ABC是等腰直角三角形，则直线CD与AS所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 (1)C　(2)C　[(1)取OA的中点E，连接DE，CE， 因为D为SO的中点， 所以DE ∥SA， 则直线CD与AS所成的角为∠CDE(或其补角)， 不妨设AB＝2， 又圆锥的轴截面SAB是正三角形，O为底面圆的圆心，D为SO的中点，点C在底面圆的圆周上，且△ABC是等腰直角三角形， 则DE＝×2＝1，CE＝，CD＝， 在△CDE中，由余弦定理的推论，得cos∠CDE＝， 即直线CD与AS所成角的余弦值为． 故选C． (2)法一：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体CDEF-C1D1E1F1，连接DE1，B1E1． 易知AD1 ∥DE1，则∠B1DE1(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成角． 因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1 ＝， 所以DE1＝＝2， DB1＝， B1E1＝， 在△B1DE1中，由余弦定理的推论， 得cos∠B1DE1＝， 即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为． 法二：如图，连接BD1，交DB1于点O，取AB的中点M，连接DM，OM．易知O为BD1的中点，所以AD1 ∥OM，则∠MOD(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成的角．因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，所以AD1＝＝2， DM＝， DB1＝，所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，在△DMO中，由余弦定理的推论， 得cos∠MOD＝， 即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故选C．] 通性通法：求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交形成三角形．平移直线的方法有：(1)直接平移；(2)中位线平移；(3)补形平移． 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 [多维变迁] 1．(2025·庆阳期末)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB，则异面直线AC与BC1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 D　[如图所示，连接CD1，AD1，根据长方体的性质易知BC1 ∥AD1， 所以∠D1AC(或其补角)为异面直线AC与BC1所成的角， 不妨设AA1＝AD＝2AB＝2a， 在△D1AC中，AD1＝2a，D1C＝AC＝a， 所以由余弦定理的推论，得 cos∠D1AC＝＝， 所以异面直线AC与BC1所成角的余弦值为． 故选D．] 2．(2026·潍坊模拟)如图，半球的球心为O，BC为底面大圆O的直径，点A在球面上，且AO垂直于底面，点M为的中点，点N为的中点，则直线MN与AO所成角的正切值为(　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 D　[如图，过点M作AO的平行线ME交OC于点E，连接EN，ON，MO， 则∠NME(或其补角)为直线MN与AO所成的角， 设球的半径为2，则AO＝OM＝ON＝2， 因为M为的中点，所以∠MOE＝45°， 又ME∥AO，AO垂直于底面，所以ME垂直于底面，ME⊥OE，ME⊥EN，则ME＝OE＝OM＝，所以EN＝， 所以tan∠NME＝． 故选D．] 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 微点突破11　截面问题 作截面的具体步骤 (1)找截点：方式1，延长截面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点； 方式2，过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点． (2)连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线． (3)围截面：将各截线首尾相连，围成截面． 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 [典例4]　(2025·常州月考)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、D1三点作正方体ABCD-A1B1C1D1的截面α，则截面α的面积为 ______________．  　 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 　[在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设直线MN与直线DA，DC分别交于E，F， 连接D1E，D1F，分别与AA1，CC1交于点P，Q，连接PM，QN， 则五边形D1PMNQ是过M、N、D1的正方体的截面α， 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 由M为AB中点，N为BC中点， 得AM＝BM＝BN＝CN＝1，AE＝AM＝1，CF＝CN＝1， 所以，即AP＝， 同理CQ＝，D1E＝D1F＝，EF＝3EM＝3， PE＝PM＝QN＝QF＝， 在等腰△D1EF中，cos∠D1EF＝， 则sin∠D1EF＝＝， 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 EF·D1E·sin∠D1EF＝×3，S△PEM＝EM·PE·sin∠D1EF＝， 所以截面α的面积S＝－2S△PEM＝－2×．] 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 1．(链接考点二)(2025·合肥月考)下列说法错误的是(　　) A．垂直于同一个平面的两条直线平行 B．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 C．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 √ 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 C　[对于A，由线面垂直的性质得： 垂直于同一个平面的两条直线平行，故A正确； 对于B，由平面的基本性质得： 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面，故B正确； 对于C，由等角定理得： 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误； 对于D，如果两个不重合的平面有一个公共点，则两个平面必交于一条直线，且公共点在该直线上， 所以它们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确．故选C．] 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 2．(链接考点一)在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么(　　) A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上 C．点P必在平面DBC内 D．点P必在平面ABC外 √ 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 A　[如图，因为EF⊂平面ABC，而GH⊂平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．] 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 3．(链接考点三)(2025·大理月考)在正四棱锥P-ABCD中，E是棱PC的中点，PA＝3AB，则异面直线PD与BE所成角的余弦值是(　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 C　[取CD的中点F，连接EF，BF，BE， 因为E，F分别是棱PC，CD的中点，所以EF ∥PD，EF＝PD， 则∠BEF(或其补角)是异面直线PD与BE所成的角． 设AB＝BC＝2，则PD＝PA＝3AB＝6，CF＝1， 则EF＝PD＝3，BF＝， 因为PB＝PC＝6，BC＝2，所以cos∠PCB＝， 所以BE＝， 则cos∠BEF＝＝． 故选C．] 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 4．(链接考点三)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为______________．   　 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 　[如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F， 连接AF，易知F为的中点． 设正方形ABCD的边长为2，则EF＝2， AF＝，所以AE＝．连接ED，则ED＝．因为BC∥AD，所以∠EAD(或其补角)为异面直线AE与BC所成的角．在△EAD中，cos∠EAD＝，所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为．] 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 一、单项选择题 1．(2025·上饶期末)已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝60°，则∠PQR等于(　　) A．60° B．60°或120° C．120° D．以上结论都不对 √ 课时作业(五十二)　空间点、直线、平面之间的位置关系 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 B　[∵AB∥PQ，BC∥QR， 且∠ABC＝60°， ∴∠PQR＝60°或120°． 故选B．] 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 2．(2025·肥城期末)长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，A1C1与B1D1交于点O，则下列结论正确的是(　　) A．A，M，O三点共线 B．A，M，O三点确定一个平面 C．D，D1，M，O四点共面 D．A，B1，B，M四点共面 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 A　[如图，根据题意，连接AO，AC，则A1C1∥AC， 所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1， 又M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1， 又M∈平面AB1D1，所以点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上， 同理可得点O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上， 所以A，M，O三点共线， 故A正确，B错误； 由上面分析知OM⊂平面AB1D1，又DD1⊄平面AB1D1， DD1∩平面AB1D1＝D1，所以OM与DD1为异面直线， 故C错误； 连接BM，易知AB1与BM为异面直线，故D错误． 故选A．] 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 3．(2025·淄博期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则异面直线AE与BD1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 B　[取CC1的中点F，连接BF，D1F，EF(图略)，设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a， 因为AB＝CD＝EF，AB∥CD∥EF， 所以四边形ABFE为平行四边形， 所以BF∥AE，则∠D1BF(或其补角)为异面直线AE与BD1所成的角， BD1＝a，D1F＝BF＝a， 在△BD1F中，由余弦定理的推论得cos∠D1BF＝． 故选B．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 4．如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 A　[如图， 连接DM，取DM的中点P，连接PN，PC， 因为M，N分别是BC与AD的中点，所以NP∥AM， 则∠CNP(或其补角)为异面直线AM与CN 所成的角， 又AM＝CN＝，DM⊥BC， 所以PM＝PN＝， PC＝， 在△CPN中，由余弦定理的推论，得cos∠CNP＝． 故选A．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 二、多项选择题 5．(人教A版必修第二册P131练习T4改编)已知a，b是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法正确的是(　　) A．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线 B．若a∥b，b⊂α，则直线a平行于平面α内的无数条直线 C．若α∥β，a⊂α，则a∥β D．若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交 √ 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 BC　[ 故选BC．] 选项 正误 原因 A × 若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面 B √ 若a∥b，b⊂α，则平面α内所有与b平行的直线都与a平行 C √ 若α∥β，则平面α内所有直线都与β平行，因为a⊂α，所以a∥β D × 若α∩β＝b，a⊂α，则当a∥b时，a∥β 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是(　　) A．AB1 B．A1C C．A1A D．AD1 √ √ √ 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 BCD　[对于A，如图1，连接AB1，C1D，BD， 当P为BC1的中点时，OP∥DC1∥AB1，故A不正确； 对于B，如图2，连接A1C，A1C1，AC， 因为A1C⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1C，P∉平面AA1C1C， 所以直线A1C与直线OP一定是异面直线，故B正确； 对于C，如图2，因为A1A⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1A，P∉平面AA1C1C， 所以直线A1A与直线OP一定是异 面直线，故C正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 对于D，如图3，连接AD1，D1C，AC， 因为AD1⊂平面AD1C，O∈平面AD1C，O∉AD1，P∉平面AD1C，所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故D正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 三、填空题 7．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝4，AB＝2，则直线A1B与直线B1C所成角的余弦值为______________．  　 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 　[如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，连接BC1交B1C于点O，取A1C1的中点F， 连接OF，显然O是BC1的中点，则OF∥A1B，则∠B1OF(或其补角)是A1B与B1C所成的角．在△OB1F中，B1F＝，OB1＝B1C＝，OF＝A1B＝， 则cos∠B1OF＝，所以直线A1B与 直线B1C所成角的余弦值为．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 8．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝CD＝8，M，N分别是BC，AD的中点．若异面直线AB与CD所成的角为60°，则MN的长为 ______________．  4或4　 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 4或4　[取BD的中点E，连接ME，NE． 因为M，N分别是BC，AD的中点，所以ME∥CD 且ME＝CD＝4，NE∥AB且NE＝AB＝4， 可得∠MEN(或其补角)即为AB与CD所成的角． 因为异面直线AB与CD所成的角为60°，所以∠MEN＝60°或120°， 当∠MEN＝120°时，由余弦定理可知MN＝ ＝4； 当∠MEN＝60°时，由余弦定理可知MN＝ ＝4．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 四、解答题 9．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 [证明]　(1)连接EF，HG，如图，因为空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点， 所以HG∥AC，且HG＝AC， 又因为，所以EF∥AC，且EF＝AC，所以HG∥EF，且HG≠EF， 故四边形EFGH为梯形． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 (2)由(1)知四边形EFGH为梯形，且EH，FG是 梯形的两腰， 所以EH，FG相交于一点． 设交点为P， 因为EH⊂平面ABD，所以P∈平面ABD， 同理P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD， 故点P是直线EH，BD，FG的公共点，即直线EH，BD，FG相交于一点． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 10．(2025·金华期末)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点． (1)求异面直线A1E与D1F所成角的余弦值； (2)求三棱锥A1-D1EF的体积． 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 [解]　(1)如图，设BB1的中点为H，连接HF，EH，A1H，因为F是CC1的中点， 所以A1D1∥CB∥HF，A1D1＝CB＝HF， 因此四边形A1D1FH是平行四边形， 所以D1F∥A1H，D1F＝A1H， 因此∠EA1H(或其补角)是异面直线A1E与D1F所成的角．因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是AB的中点， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 所以A1E＝A1H＝， EH＝， 由余弦定理的推论，得cos∠EA1H＝＝， 所以异面直线A1E与D1F所成角的余弦值为． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 (2)因为A1D1∥HF，HF⊄平面A1D1E，A1D1⊂平面A1D1E， 所以HF∥平面A1D1E， 因此点H，F到平面A1D1E的距离相等， 即， D1A1·＝×2×＝1， 所以三棱锥A1-D1EF的体积为1． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 一、单项选择题 1．(2025·盐城期中)下列关于空间几何体的论述，正确的是(　　) A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 阶段检测(十)　第50～52课时 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 78 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 D　[对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，A错误； 对于B，如图2，利用两个上底面全等，下底面相似的棱台拼接而成的几何体满足B中条件，但该几何体不是棱台，B错误； 79 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 对于C，连接圆柱上、下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，C错误； 对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形，这是因为圆台由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上、下底面的直径和母线，形成对称的等腰梯形，故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，D正确． 故选D．] 80 √ 2．(2025·无锡月考)如图，圆锥底面半径为3，母线长PA＝12，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为(　　) A．6 B．16 C．4 D．12 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 81 C　[把圆锥侧面沿母线PA剪开，展在同一平面内得扇形APA'，连接AB，如图， 设扇形APA'圆心角大小为θ， 则12θ＝2π×3， 解得θ＝，在Rt△PAB中，PB＝PA'＝4， 则AB＝＝4， 所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为4． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 82 √ 3．(2025·宝鸡期中)如图，是用斜二测画法画出的水平放置的梯形ABCD的直观图，其中A'B'∥C'D'，A'B'＝2C'D'＝8，梯形A'B'C'D'的面积为30，则梯形ABCD的高为(　　) A．5 B．10 C．10 D．20 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 83 C　[根据题意，设原图梯形ABCD的高为h， 直观图梯形A'B'C'D'的面积为30， 则原图的面积S＝2×30＝60， 原图中，AB∥CD，且AB＝8，CD＝4， 则有＝60，则h＝10． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 84 √ 4．(2025·宁乡期末)中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一“堑堵”ABC-A1B1C1，如图所示，AC⊥BC，AA1＝3，AC＝2，则其中“阳马”B-A1ACC1与“堑堵”ABC-A1B1C1的体积之比为(　　) A．1∶2 B．2∶3 C．1∶4 D．4∶5 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 85 B　[设BC＝a，由“阳马”的定义及AC⊥BC可知， 四边形A1ACC1是矩形，BC⊥平面A1ACC1， 所以“阳马”B-A1ACC1的体积为 V1＝×AC×CC1×BC＝×2×3×a＝2a， 由“堑堵”的定义可知，AC⊥BC，且CC1⊥平面ABC， 所以“堑堵”ABC-A1B1C1的体积为 V2＝S△ABC·CC1＝×AC×BC×CC1＝×2×a×3＝3a， 所以“阳马”B-A1ACC1与“堑堵”ABC-A1B1C1的体积之比为．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 86 √ 5．(2026·齐齐哈尔模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝AB＝AA1＝2，∠BAC＝120°，D是棱B1C1的中点，则异面直线AD与B1C所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 87 C　[取CC1的中点E，连接AE，DE，A1D， 因为在△B1CC1中，DE是中位线，所以DE∥B1C，且B1C＝2DE， 所以∠ADE(或其补角)就是异面直线AD与B1C所成的角， 在△A1B1C1中，A1B1＝A1C1＝2，∠B1A1C1＝120°， 所以A1D⊥B1C1，A1D＝A1B1cos 60°＝1， 可得AD＝， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 88 在Rt△ACE中，CE＝CC1＝1，所以AE＝， 在△A1B1C1中，由余弦定理，得B1C1＝＝2， 所以B1C＝＝4，可得DE＝B1C＝2， 在△ADE中，cos∠ADE＝， 所以异面直线AD与B1C所成角的余弦值为． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 89 √ 6．(2025·庆阳期末)已知三棱锥P-ABC，PA⊥AB，PA⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2，PA＝2，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 (　　) A．28π B．7π C．14π D．π 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 90 A　[设△ABC的外接圆的半径为r，三棱锥P-ABC的外接球的半径为R， 如图，经补形可知球心在直三棱柱ABC-PDE高的中点处O，O'为△ABC外接圆的圆心，外接球的半径R＝OA＝，2O'A＝＝2r＝4， ∴r＝O'A＝2，OO'＝，R＝， ∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR2＝28π． 故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 91 √ 二、多项选择题 7．(2025·泊头期末)已知一直角三角形的两条直角边分别为1 cm，2 cm，以这个直角三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则这个几何体的体积可能是(　　) A．π cm3 B．π cm3 C．π cm3 D．π cm3 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 92 ABC　[由已知，直角三角形斜边长为(cm)，若以 cm斜边为轴，则斜边上的高为(cm)，所求体积为×π×π(cm3)， 若以1 cm直角边为轴，则所求体积为×1×π×22＝π(cm3)， 若以2 cm直角边为轴，则所求体积为×2×π×12＝π(cm3)． 故选ABC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 93 √ 8．(2025·武威月考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC，BD的交点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　) A．C1，O，A，M四点共面 B．直线C1O与直线A1C为异面直线 C．直线A1A与直线OM相交 D．D1，D，O，M四点共面 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 94 AC　[对于A选项，如图，连接A1C1， 因为O为AC，BD的交点，直线A1C交平面C1BD 于点M， 所以点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的 交线上，即C1，M，O三点共线， 则点C1，O，A，M四点共面，故选项A正确； 对于B选项，由选项A的分析可知C1，M，O三点共线，所以直线C1O与直线A1C相交，故选项B错误； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 95 对于C选项，因为O为AC的中点，点M为直线A1C与平面C1BD的交点，所以M不是A1C的中点， 又因为A1A，OM⊂平面A1AC，且A1A与OM不平行，所以直线A1A与直线OM相交，故选项C正确； 对于D选项，连接D1B1，因为点D1，D，O均在平面D1DBB1内，点M不在平面D1DBB1内， 且直线OM与直线DD1没有交点，所以直线OM与直线DD1异面， 则点D1，D，O，M四点不共面，故选项D错误， 故选AC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 96 三、填空题 9．(2025·吐鲁番期中)随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体．如图，已知该圆锥的高为3 m，圆柱的高为4 m，底面直径为8 m，该蒙古包的表面积是 ______________m2 (不含底面)，体积是 ______________m3．  题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 52π　 80π 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 97 52π　80π　[由圆锥的高为3 m，圆柱的高为4 m，底面直径为8 m， 可得AE＝3，ED＝4，AD＝＝5，又DC＝4， 所以该蒙古包的表面积为π·ED·AD＋2π·ED·DC＝20π＋32π＝52π(m2)； 蒙古包的体积为π·ED2·AE＋π·ED2·BE＝16π＋64π＝80π(m3)．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 98 10．在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的表面积为 ______________，体积为______________．  题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 5＋3　　[作出示意图如图， 5＋3　 　 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 99 过A1作A1M⊥AC于M，连接AC，BD，A1C1，B1D1， 因为AB＝2，A1B1＝1，AA1＝， 所以上底面面积为12＝1，下底面面积为22＝4， 所以棱台的侧高为， 所以侧面积为4××(1＋2)×＝3， 所以该棱台的表面积为1＋4＋3＝5＋3． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 100 因为A1O1＝A1C1＝A1B1＝，AO＝AC＝AB＝， 所以AM＝(AC－A1C1)＝，则A1M＝， 所以该棱台的体积为×(1＋4＋2)×．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 101 四、解答题 11．(湘教版必修第二册P156例5)如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体． (1)求异面直线AA1与BC所成的角； (2)求异面直线BC1与AC所成的角． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 102 [解]　(1)因为AD∥BC， 所以∠A1AD即为直线AA1与BC所成的角． 因为∠A1AD＝90°， 所以直线AA1与BC所成的角为90°． (2)连接A1C1，A1B． 因为AA1綉CC1，所以四边形ACC1A1为平行四边形， 所以AC∥A1C1． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 103 因此∠A1C1B就是直线BC1与AC所成的角． 因为A1B＝a，BC1＝a，A1C1＝a． 所以△A1BC1是等边三角形． 因此，∠A1C1B＝60°， 从而直线BC1与AC所成的角为60°． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 104 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．(2025·海宁期中)如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，且AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴将四边形ABCD旋转一周． (1)求旋转体的表面积； (2)求旋转体的体积； (3)求图中所示圆锥CO的内切球体积． 理法先行 考点深研 阶段检测 课时作业 第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系 105 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　(1)在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，且AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°， ∴CD＝＝2a，AB＝CDsin 60°＝a， ∴DD'＝AA'－2AD＝2BC－2AD＝2a， ∴DO＝DD'＝a， ∵以l为轴将梯形ABCD旋转一周后，形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥， 106 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 且圆柱高为a，底面半径为2a，圆锥的母线长为2a，底面半径为a， ∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2， 圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2， 圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2， 圆锥的底面积S4＝πa2， ∴组合体上底面的面积S5＝S3－S4＝3πa2， ∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2． 107 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (2)由题意知，形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积， 圆柱的体积V1＝π(2a)2·a＝4πa3， 圆锥的体积V2＝πa2·a＝πa3， ∴旋转体的体积V＝V1－V2＝4πa3－πa3＝πa3． 108 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (3)如图，作出圆锥的轴截面，球与圆锥侧面相切，设球心为M，球的半径为R，N为切点，连接MN， 则MN⊥CD，MN＝MO＝R， 则△CMN∽△CDO，可得， 即，解得R＝a， ∴球的体积V＝πR3＝π×a3＝πa3． 109 谢谢！ $