7.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间点、直线、平面的位置关系”核心考点，依据课标要求覆盖基本事实应用、位置关系判断、截面问题及异面直线所成角等考查维度。通过对接高考评价体系，分析近五年真题明确高频考点权重，归纳证明、计算等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题训练+技巧指导+素养培养”，如结合2021年全国乙卷真题，用平移法求异面直线所成角，培养数学思维与空间观念。总结共面问题纳入平面法、截面作图等突破方法，帮助学生掌握答题逻辑，教师可据此精准教学，助力学生高效冲刺高考。

第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系 高考总复习 2027 课标解读　1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理.3.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版必修第二册8.4.2节练习第1(2)题)设直线a,b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则a与b(　　) A.平行 B.相交 C.是异面直线 D.可能相交,也可能是异面直线 D 解析 结合正方体,易知两直线可能相交,也可能异面. 2.(人教A版必修第二册8.4.1节练习第2题)下列命题正确的是(　　) A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面 C.圆心和圆上两点可确定一个平面 D.梯形可确定一个平面 D 解析 对于A,不共线的三点确定一个平面,故A不正确;对于B,一条直线和直线外一个点确定一个平面,若点在直线上它们不能确定平面,故B不正确;对于C,当圆上两点为一直径的两个端点时,它们与圆心三点共线不能确定平面,故C不正确;对于D,梯形的两个底边所在直线平行,可确定一个平面,故D正确.故选D. 3.(人教A版必修第二册8.4.1节练习第3题改编)已知空间四点中,无三点共线,则经过其中三点的平面有(　　) A.一个 B.四个 C.一个或四个 D.无法确定平面的个数 C 解析 若空间中的四点共面,则经过其中的三点的平面只有一个. 若空间中的四点不共面,设这四点为A,B,C,D,由于无三点共线,则可知过A,B,C三点确定一个平面,过B,C,D三点确定一个平面,过A,B,D三点确定一个平面,过A,D,C三点确定一个平面,故经过其中三点的平面有四个. 综上,空间四点中,无三点共线,则经过其中三点的平面有一个或四个.故选C. 4.(人教A版必修第二册8.4节习题第2题)若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是(　　) A.α内的所有直线与a是异面直线 B.α内不存在与a平行的直线 C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内的直线与a都相交 B 解析 由题意知直线a与平面α相交,则直线a与平面α内的直线可能相交,也可能异面,但不可能平行.故选B. 5.(人教A版必修第二册8.4节习题第9题改编)如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,下列说法正确的是(　　) A.AB与HG相交 B.AB与EF平行 C.AB与CD相交 D.EF与CD异面 D 解析 由图可知AB与HG异面,AB与EF异面,AB与CD异面,EF与CD异面.故选D. 知识梳理 1.与平面及平行线有关的基本事实及推论 (1)平面及平行线的基本事实 事实 图形 文字语言 符号语言 基本 事实 1   过　　　　　　　　上的三个点,有且只有一个平面   当三个点共线时,过这三点的平面有无数个 A,B,C三点不共线⇒有且只有一个平面α,使A∈α, B∈α,C∈α 不在一条直线 事实 图形 文字语言 符号语言 基本事实2   如果一条直线上的　　　　　在一个平面内,那么这条直线在这个平面内  A∈l,B∈l,且A∈α, B∈α⇒l⊂α   不能写成“ ⊆ ” 基本事实3   如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们　　　　　　　过该点的公共直线  P∈α,且P∈β ⇒α∩β=l,且P∈l 基本事实4   平行于同一条直线的两条直线平行 若直线a∥b,c∥b,则a∥c 两个点 有且只有一条 (2)基本事实的3个推论 推论 自然语言 图形语言 推论1 经过一条直线和　　　　　　　一点,有且只有一个平面      注意点不在直线上 推论2 经过两条　　　　直线,有且只有一个平面    推论3 经过两条　　　　直线,有且只有一个平面    这条直线外 相交 平行 微点拨 基本事实1及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法;基本事实2的作用是判断直线是否在某个平面内;基本事实3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据;基本事实4是对初中平行线的传递性在空间中的推广. 微思考 “有且只有一个平面”“确定一个平面”“共面”三者之间有何区别与联系? 提示 “确定一个平面”与“有且只有一个平面”是等价的,都包括“存在”和“唯一”两个方面.但“共面”的意思是“在同一个平面内”,只强调了“存在性”,不含“唯一性”.所以“共面”与前两者是不同的. 2.空间中直线与直线的位置关系 这两条直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,又不相交 误区警示 1.异面直线不同在任何一个平面内,不能误解为分别在两个平面内的两条直线为异面直线. 2.异面直线不具有传递性.即若直线a与b异面,b与c异面,则a与c不一定是异面直线. 相交 平行 3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 线面相交、线面平行统称为直线在平面外,记作a⊄α 类型 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交   　　　  　　　个  平行   　　  　　　个  在平面内   　　  　　　个  a∩α=A 1 a∥α 0 a⊂α 无数 类型 图形语言 符号语言 公共点 平面与平面 平行   　　  　　　个  相交   　　　  　　　个  α∥β 0　 α∩β=l　 无数 4.等角定理 如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角　　　　　　　.  微点拨 如果两个角的两边平行且方向都相同或都相反,则两角相等;若一边同向,另一边反向,则互补. 5.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把直线a'与b'所成的　　　叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).  (2)范围:(0,]. 微点拨 当异面直线所成角为时,称两条异面直线互相垂直. 相等或互补 角 研考点•精准突破 考点一　与平面有关的基本事实的应用 例1　已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点, AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q. 求证:(1)D,B,F,E四点共面; (2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线; (3)DE,BF,CC1三线交于一点. 考点一 考点二 考点三 考点四 证明 (1)如图所示,连接B1D1. 因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体中,B1D1∥BD,所以EF∥BD. 所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)在正方体中,设A1,C,C1三点确定的平面为α,平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点.同理,P是平面α与β的公共点,所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β.则R∈PQ,故P,Q,R三点共线. (3)因为EF∥BD,且EF<BD,所以DE与BF相交.设交点为M,则由M∈DE,DE⊂平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1,同理,M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,所以M∈CC1,所以DE,BF,CC1三线交于点M. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　共面、共线、共点问题的证明方法 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练1](1)如图,已知a⊂α,b⊂α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ⊂α. 证明 ∵PQ∥a,∴PQ与a确定一个平面β,∴a⊂β,P∈β. ∵P∈b,b⊂α,∴P∈α. 又a⊂α,∴α与β重合,∴PQ⊂α. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)如图,已知平面α,β,且α∩β=l,设在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β.求证:AB,CD,l共点. 考点一 考点二 考点三 考点四 证明 如图,在梯形ABCD中,AB与CD的延长线必交于一点.设AB交CD于点M,则M∈AB,M∈CD.又因为AB⊂α,CD⊂β,所以M∈α,M∈β.因为α∩β=l,所以M∈l,所以AB,CD,l共点. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点二　空间两条直线的位置关系判断 例2　(1)如图,在三棱锥P-ABC中,E,F,G,H,I,J分别为线段PA,PB,PC, AB,BC,CA的中点,则下列说法正确的是(　　) A.PH∥BG B.IE∥CP C.FH∥GJ D.GI∥JH C 解析 对于C,由题意可得,FH∥PA,GJ∥PA,则FH∥GJ,故C正确;对于A,直线PH,BG是异面直线,故A错误;对于B,直线IE,CP是异面直线,故B错误;对于D,直线GI,JH是异面直线,故D错误.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列说法正确的是(　　) A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 D 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 (方法1　反证法)由于直线l与l1,l2分别共面,故直线l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的一条相交.若l∥l1,l∥l2,则l1∥l2,这与l1,l2是异面直线矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交. (方法2)如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确.故选D. 图1 图2 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　空间两直线位置关系的判定方法 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练2]如图,P是正方体ABCD-A1B1C1D1面对角线A1C1上的动点,下列直线中,始终与直线BP异面的是(　　) A.直线DD1 B.直线B1C C.直线AD1 D.直线AC D 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 当P位于A1C1中点时,易知P∈B1D1,由正方体的特征可知四边形BB1D1D为平行四边形,此时BP,DD1⊂平面BB1D1D,故A错误;当P与C1重合时,此时BP,B1C⊂平面BB1C1C,故B错误;当P与C1重合时,由正方体的特征可知四边形ABC1D1为平行四边形,此时BP∥AD1,故C错误;由正方体的特征可知四边形ACC1A1为平行四边形,而B∉平面ACC1A1,P∈平面ACC1A1, AC∥A1C1,AC,A1C1⊂平面ACC1A1,BP∩A1C1=P,故直线AC与直线BP始终异面,故D正确.故选D. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点三　正方体中的切割(截面)问题 例3　如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E,F分别是AB,BC的中点,过点D1,E,F的平面截该正方体所得的截面多边形记为Ω,则Ω的周长为(　) A.4+4 B.4 C.+2 D.4 C 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 连接EF并延长交DC的延长线于点N,连接D1N交CC1于点Q,连接QF.延长FE交DA的延长线于点M,连接D1M交AA1于点P,连接EP,则五边形D1QFEP即为平面D1EF截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面Ω,如图. 考点一 考点二 考点三 考点四 由题意,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则AE=1,∠AEM=∠BEF=45°,故△AME为等腰直角三角形,则AM=1.由题可得,△AMP∽△A1D1P,则,故A1P=,AP=,D1P=,EP=,同理可得,D1Q=,FQ=,而EF=,则Ω的周长为2×() +=2.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　与正方体有关的截面问题 ①三角形:锐角三角形、等腰三角形、等边三角形. 注:不可能出现直角三角形和钝角三角形截面. ②四边形:菱形、矩形、梯形、平行四边形. 注:不可能出现直角梯形截面. ③五边形:任意五边形. 注:可以用反证法证明,不可能出现正五边形截面. ④六边形:正六边形、任意六边形. 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练3]如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为BC,CC1的中点,则平面AEF截正方体所得的截面面积为(　　) A. B. C.9 D.18 B 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 连接BC1,AD1,D1F,如图所示. 因为E,F分别是BC,CC1的中点,所以EF∥BC1.在正方体中,AD1∥BC1,所以EF∥AD1,所以A,D1,F,E在同一平面内,即平面AEF截该正方体所得的截面为平面EFD1A.因为正方体的棱长为2,所以EF=,AD1=2,D1F=AE=,则E到AD1的距离为等腰梯形EFD1A的高为,所以截面面积为S=×(2) ×.故选B. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点四　两条异面直线所成的角 例4　(1)(2021·全国乙,理5)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(　　) A. B. C. D. D 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 如图,连接BC1,PC1.由正方体的性质可得AD1∥BC1, 故∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体的棱长为1,则BC1=,C1P=A1C1=.而BP=,可得C1P2+BP2=B,故C1P⊥PB.则在Rt△BPC1中,有sin∠PBC1=,于是∠PBC1=,即直线PB与AD1所成的角等于. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=,AA1=1,求异面直线AD1与DB1所成角的余弦值. 考点一 考点二 考点三 考点四 解 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1下方补一个 完全相同的正四棱柱ABCD-A'B'C'D', 连接A'D,A'B1. 由题可知,AD1=A'D==2, B1D=,A'B1=. 因为AA'∥DD1,AA'=DD1,所以四边形AA'DD1为平行四边形, 则A'D∥AD1,所以∠A'DB1或其补角为异面直线AD1与DB1所成的角. 在△A'DB1中,cos∠A'DB1=. 所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　求两条异面直线所成角的方法 方法 解读 平移法 将异面直线中的某一条平移,使其与另一条相交,一般采用图中已有的平行线或者作平行线,形成三角形求解 补形法 在该几何体的某侧补接上同样一个几何体,在这两个几何体中找异面直线相对应的位置,形成三角形求解 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练4]如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,D为棱BC的中点.求异面直线AB与C1D所成角的余弦值. 考点一 考点二 考点三 考点四 解 如图,取AC中点E,连接DE,C1E. ∵D为棱BC的中点,∴DE∥AB,DE=AB=1, ∴∠C1DE是异面直线AB与C1D所成角(或所成角的补角). ∵DC1=EC1=, 则cos∠C1DE=, ∴异面直线AB与C1D所成角的余弦值为. 考点一 考点二 考点三 考点四 $