第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间点、直线、平面的位置关系”核心专题，依据课标要求覆盖四个基本事实及推论、空间位置关系判定、异面直线所成角三大高考考点，通过表格对比梳理线线、线面、面面位置关系，结合题组练透归纳共面共线共点证明、角度计算等常考题型，体现高考备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法归纳+素养提升”的备考策略，如以正方体模型为例，用平移法求异面直线所成角，培养学生的空间观念和逻辑推理素养。特设“练后悟通”总结共面问题证明技巧，结合2026年北京海淀检测题等真题实例，帮助学生掌握答题规范，教师可据此精准指导，提升复习效率。

第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系 课标要求 1.以长方体为依托，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 2.了解四个基本事实与相关定理，了解空间中两条直线位置关系的判定方法，形成对空间几何基本规律的认知. 3.运用基本事实、定理及已学结论，对空间图形位置关系的简单命题进行逻辑推理证明. 目录/ CONTENTS 考点一 四个基本事实 01 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 02 考点三 异面直线所成的角 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 四个基本事实 目 录 1. 四个基本事实 （1）基本事实1：过不在一条直线上的 ，有且只有一个平面； （2）基本事实2：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条 直线在这个平面内； （3）基本事实3：如果两个不重合的平面有 公共点，那么它们有 且只有一条过该点的公共直线； （4）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线 ⁠. 三个点　 两个点　 一个　 平行　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 3. 等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 ⁠. 提醒：三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无 数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面. 相等或互补 高中总复习·数学（创新版） 目 录 题组练透 1. 下列命题正确的是 （　A　） A. 空间不共线的三个点确定一个平面 B. 圆心和圆上两点确定一个平面 C. 两两相交的三条直线确定一个平面 D. 两两平行的三条直线确定三个平面 A 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 如图，P是△ABC所在平面外一点，D，E分别是△PBC和△PAC的重 心，则DE与AB的位置关系是 ，数量关系是DE＝ AB. 平行 ​ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：连接PE并延长交AC于M，连接PD并延长交BC于N，连接MN， 因为D，E分别是△PBC和△PAC的重心，所以M为AC的中点，N为BC 的中点，且PE＝ PM，PD＝ PN，所以DE∥MN，且DE＝ MN，又 MN∥AB，且MN＝ AB，所以DE∥AB，且DE＝ AB. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点， AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证： （1）D，B，F，E四点共面； 解：证明：因为EF是△D1B1C1的中位线，所以 EF∥B1D1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以 EF∥BD. 所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线； 解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面AA1C1C为α，平面BDEF为β. 因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点. 同理，P也是α与β的公共点， 所以α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β，则R∈PQ， 故P，Q，R三点共线. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （3）DE，BF，CC1三线交于一点. 解：因为EF∥BD且｜EF｜＜｜BD｜，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1， 同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1， 所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练后悟通 共面、共线、共点问题的证明方法 高中总复习·数学（创新版） 目 录 02 PART 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 目 录 1. 空间点、直线、平面之间的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与直线 平行 a∥b ⁠个 相交 ⁠ 1个 异面 a，b是异面直线 ⁠个 0　 a∩b＝A 0　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 ⁠ 1个 平行 a∥α 0个 在平面内 ⁠ ⁠个 平面与平面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β＝l ⁠个 a∩α＝A a⊂α 无数　 无数　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过 该点的直线互为异面直线. 提醒：（1）a，b两直线为异面直线的实质是a，b不同在任何一个平面 内，即a，b既不平行也不相交；（2）直线与平面的位置关系在判断时最 易忽视“线在面内”. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （1）〔一题多解〕若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面 β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　D　） A. l与l1，l2都不相交 B. l与l1，l2都相交 C. l至多与l1，l2中的一条相交 D. l至少与l1，l2中的一条相交 D 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：法一（反证法） 由于l与直线l1，l2 分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交， 要么至少与l1，l2中的一条相交.若l∥l1， l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛 盾.故l至少与l1，l2中的一条相交. 法二（模型法） 如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A、B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）〔多选〕下列推断中，正确的是（　ABD　） A. M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈l B. A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C. l⊄α，A∈l⇒A∉α D. A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合 ABD 解析：对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，故A正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，故B正确；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，故C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，α，β重合，故D正确. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 　　判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体（如长 方体、空间四边形等）模型来判断；二是排除法.特别地，对于异面直线 的判定，常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不 经过点B的直线是异面直线.” 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练1 （1）已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则 （　D　） D A. m与n异面 B. m与n相交 C. m与n平行 D. m与n异面、相交、平行均有可能 解析：在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是 m∥n1，所以A、B错误，m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）（2026·北京海淀阶段检测）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是 （　B　） A. DD1 B. AC C. AD1 D. B1C B 解析：对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交 直线；对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线.故选B. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 03 PART 考点三 异面直线所成的角 目 录 1. 定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a， b'∥b，把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）. 2. 范围： ⁠. （0， ］　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （1）如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为 的中点，则异面 直线AE与BC所成角的余弦值为（　D　） A. B. C. D. D 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接AF， 易知F为 的中点，设正方形ABCD的边长为2，则EF＝2， AF＝ ，所以AE＝ ＝ .连接ED，则ED ＝ .因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD（或其补角）.在△EAD中， cos ∠EAD＝ ＝ .所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为 . 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的大小为（　A　） A. 60° B. 45° C. 30° D. 90° A 解析：如图所示，过点A补作一个与正方体ABCD-A1B1C1D1相同的正方体，易知平面α为平面AF1E，则m，n所成的角为∠EAF1.因为△AF1E为正三角形，所以∠EAF1＝60°. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 求异面直线所成角的方法 （1）平移法：将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采 用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解； （2）补形法：在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中 找异面直线相应的位置，形成三角形求解. 提醒　在求异面直线所成的角时，如果求出的角是钝角，则它的补角才 是要求的角. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练2 （1）在空间四边形ABCD中，AD＝2，BC＝2 ，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝ ，则异面直线AD与BC夹角的大小为 ⁠； 解析：设BD的中点为O，连接EO，FO，所以EO∥AD， FO∥BC，则∠EOF（或其补角）就是异面直线AD与BC的 夹角.所以EO＝ AD＝1，FO＝ BC＝ ，EF＝ ，在 △EOF中，根据余弦定理，得 cos ∠EOF＝ ＝ ＝ ＝－ ，所以∠EOF＝150°，从而异面直线AD与BC夹角的大小为30°. 30° 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝ AB，则PB与AC所成的角为 ⁠. 60° 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：因为四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，可将原图还原到正方体ABCD-PQRS中，如图所示，连接SC，AS，则PB∥ SC，则∠ACS（或其补角）是PB与AC所成的角.因为△ACS为正三角形，故∠ACS＝60°，所以PB与AC所成角为60°. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分）　 [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是（　　） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行、异面或相交 解析：如图所示，a，b的位置关系分别是平行、异面、相交.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. 在三棱锥A-BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四 点，如果EF∩HG＝P，则（　　） A. 点P一定在直线BD上 B. 点P一定在直线AC上 C. EH∥FG D. EH与FG必相交 解析：　如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面 ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面 ACD. 又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC，故A错误，B正确；易知直线EH，FG共面，则直线EH，FG平行或相交，故C、D错误. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 4. 〔一题多解〕如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形， 平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（　　） A. BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B. BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C. BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：　法一　取CD的中点O，连接EO，ON. 由△ECD 是正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，知EO⊥平面ABCD. ∴EO⊥CD，EO⊥ON. 又N为正方形ABCD的中心， ∴ON⊥CD. 以CD的中点O为原点， 方向为x轴正方向 建立空间直角坐标系，如图1所示.不妨设AD＝2，则E（0， 0， ），N（0，1，0），M ，B（－1，2，0），∴EN＝ ＝2，BM＝ ＝ ，∴EN≠BM. 连接BD，BE，∵点N是正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且BN＝DN，∴BM，EN是△DBE的中线，∴BM，EN必相交.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 法二　如图2，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF， FN，MG，GB. ∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD. ∵平 面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD. ∴EF⊥FN. 不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝ ，∴EN＝ ＝2.∵EM＝MD，DG＝GF，MG∥EF且MG＝ EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG. ∵MG＝ EF＝ ，BG＝ ＝ ＝ ，∴ BM＝ ＝ .∴ BM≠EN. 连接BD，BE，∵ 点N是正方形ABCD的中心，∴ 点N在BD上，且BN＝DN，∴ BM，EN是△DBE的中线，∴ BM，EN必相交.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 5. 〔多选〕木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块ABCD- A1B1C1D1时，为了经过木料表面CDD1C1内一点P和棱AA1将木料平整锯 开，需要在木料表面CDD1C1过点P画直线l.则下列结论正确的是（　　） A. l∥DD1 B. l∥BB1 C. l与直线AA1相交 D. l与直线CC1相交 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：延长A1A，B1B交于点M，则C1C，D1D的延长线也过点M，如图所示，因为M∈AA1，则M∈平面PAA1，则直线PM即为所求作的直线l，所以直线l与直线AA1、直线BB1、直线CC1、直线DD1都相交.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 6. 〔多选〕如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点， 直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（　　） A. A，M，O三点共线 B. A，M，O，A1共面 C. A，M，C，O共面 D. B，B1，O，M共面 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 7. （2026·安徽合肥期末）如图为正方体表面的一种展开图，则图中的 AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有 对. 解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD， EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面 直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故互为异面直线 的有3对. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 8. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，异面直线A1B与AD1所成 角的余弦值为 ，则AA1＝ ⁠. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：如图，连接BC1，A1C1，易知AD1∥BC1，则∠A1BC1（或其补角）为异面直线A1B与AD1所成的角.设AA1＝t，∵AB＝BC＝1，∴A1C1＝ ，A1B＝BC1＝ .∴ cos ∠A1BC1＝ ＝ ＝ ，解得t＝3，则AA1＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 9. 如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥ CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 ⁠. 4 解析：取CD的中点为G，连接EG，FG（图略），由题意知，平面EFG 与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右 侧面所在的平面平行或EF在平面内.所以直线EF与正方体的前、后侧面 及上、下底面所在的平面相交.故直线EF与正方体的六个面所在的平面相 交的平面个数为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 10. （13分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中： （1）求异面直线AC与A1D所成角的大小； 解：如图，连接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方 体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是异面 直线AC与A1D所成的角或其补角. 在△AB1C中，AB1＝AC＝B1C， 所以∠B1CA＝60°. 故异面直线A1D与AC所成的角为60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）若E，F分别为AB，AD的中点，求异面直线A1C1与EF所成角的 大小. 解：连接BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1， 因为E，F分别为AB，AD的中点， 所以EF∥BD，所以EF⊥AC. 所以EF⊥A1C1. 故异面直线A1C1与EF所成的角为90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 11. （2025·江西新余模拟）空间中有三条两两异面的直线，P为其中一 条直线上一定点，过P引直线l使其与这三条异面直线都相交，则对于任意 的定点P，存在的直线l有（　　） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，不妨设三条两两异面的直线为A1D1，BB1，CD，令P∈A1D1，作平面PP1BB1过BB1，则过P与BB1相交的直线都在平面PP1BB1内，作平面PP2CD过DC，则过P与DC相交的直线都在平面PP2CD内，平面PP1BB1与平面PP2CD不平行且不重合，有且仅有一条公共直线，所以直线l只有1条.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 12. 如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面展开图是边长为4的正方形， 则在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AK和LM所成的角的大小为 （　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：　根据题意还原正四棱柱的直观图，如图所示，取AA1 的中点G，连接KG，则有KG∥LM，所以∠AKG（或其补角）为异面直线AK和LM所成的角.由题知AG＝2，AK＝KG＝ ＝ ，则有AK2＋KG2＝AG2，所以∠AKG＝90°，即异面直线AK和LM所成的角为90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 13. 如图所示，已知空间四边形ABCD中，AC与BD所成角为 ，且AC＝ BD＝2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF＝ ⁠. 1或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：如图，取CD的中点G，连接EG，FG，由题可知， EG∥BD，FG∥AC，EG＝ BD＝1，FG＝ AC＝1.因为 AC与BD所成的角为 ，所以∠FGE＝ 或∠FGE＝π－ ＝ ，当∠FGE＝ 时，△FGE为等边三角形，所以EF＝1；当∠FGE＝ 时，由余弦定理得，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF· cos ∠FGE＝1＋1－2×1×1×（－ ）＝3，所以EF＝ .综上，EF＝1或EF＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 14. （15分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1内接于圆柱，圆柱底面半径为 ，圆柱高为4.若D，E分别为A1B1，A1C1的中点. （1）求证：D，E，B，C四点共面； 解：证明：由于D，E分别为A1B1，A1C1的中点，所以DE∥B1C1， 又BC∥B1C1，所以DE∥BC， 所以D，E，B，C四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）若直线BD与直线CE交于点P，求证：点P在直线AA1上； 解：证明：由P∈BD，BD⊂平面A1ABB1，即P∈平面A1ABB1， 同理，P∈CE，CE⊂平面A1ACC1，即P∈平面 A1ACC1， 又平面A1ABB1∩平面A1ACC1＝AA1，所以P∈AA1，所以点P在直线AA1上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （3）若从圆柱中把该正三棱柱ABC-A1B1C1挖掉，求剩余几何体的表 面积. 解：令AB＝a，则 ＝2 ⇒a＝3， 所以圆柱的侧面积S1＝2π× ×4＝8 π，圆柱的底面积 S2＝2π×（ ）2＝6π， 正三棱柱的侧面积S3＝3×3×4＝36， 正三棱柱的底面积S4＝2× ×32× sin 60°＝ ， 所以剩余几何体的表面积S＝S1＋S2＋S3－S4＝（8 ＋6）π＋36－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $