3.4幂函数的概念与图像性质2026年初升高衔接高一上学期必修一人教A版

3.4幂函数的概念与图像性质 一、学习目标 1. 掌握幂函数严格定义，区分幂函数与指数函数； 2. 熟记5大基础幂函数图像、定义域、单调性； 3. 会利用幂函数单调性比较大小。 二、知识点精讲 1. 定义 形如 y = xα （α为常数，底数为自变量x）的函数叫幂函数。 必备条件：系数必须为1 y=2x²、y=-x² ，y＝xα＋3都不是幂函数。 2. 五大必考幂函数及其图像 y=x 、 y=x² 、 y=x³ 、 y= 、 y= 3. 第一象限统一规律 α>0：过(0,0)(1,1)，在(0,+∞)递增； α<0：过(1,1)，在(0,+∞)递减，无限趋近坐标轴。 4.幂函数的性质 所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； 在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． α为奇数时，幂函数为奇函数。α为偶数时，幂函数为偶函数 三、例题解析 例1.已知幂函数的图象经过点，则(    ) A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 为偶函数 D. 是其定义域上的减函数 解：设， 则，故， 则的定义域为，故A错误； 因为，故的值域为，故B错误； ，则为偶函数，故C正确； 在上单调递减，在上单调递增，故D错误． 故选：． 例2.设，，，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  例3.已知幂函数的图象经过点，则          ． 解：设幂函数的解析式为， 幂函数的图象过点， ， 解得， ． 故答案为： 例4.已知幂函数在上单调递减，则          ． 解：因为幂函数 在   上单调递减， 所以   ，解得． 故答案为： ． 例5.已知幂函数在上是增函数； 求的解析式； 若，求的取值范围． 解：因为是幂函数， 所以，解得或， 又在上是增函数，故， ，则． 由知在上是增函数， 又，的定义域为， ，解得， 的取值范围是．  6.已知函数． 讨论在，上的单调性； 判断的奇偶性； 画出的简图，并直接写出它的单调区间． 解：任取，，且，则，因为，所以，又，，所以，即，此时函数单调递减任取，，且，，因为，所以，又，，所以，即，此时函数单调递增综上，在上单调递减，在上单调递增． 的定义域为，关于原点对称，又，故函数为奇函数． 结合对勾函数的奇偶性和单调性可作出函数的图象，如图所示． 由图知，的单调递增区间为，，单调递减区间为，． 4、 课堂练习 1.已知幂函数，则(    ) A. B. C. D. 解：由题意，，解得， 所以，． 故选：． 2.关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是(    ) A. 幂函数的图象一定经过点和点 B. 幂函数的图象一定关于轴或原点对称 C. 幂函数的图象一定不经过第四象限 D. 两个不同幂函数的图象最多有两个公共点 解：对于，幂函数的图象一定经过点，不一定过点，例如，故A错误 对于，幂函数的图象既不关于轴对称，也不关于原点对称，故B错误 对于，由幂函数的性质可知，幂函数的图象一定不经过第四象限，故C正确 对于，幂函数与的图象的交点为，，，共个，故D错误． 3.已知幂函数在实数集上单调，那么实数(    ) A. 一切实数 B. 或 C. D. 解：由于函数为幂函数，故，解得或， 当时，不是在上单调，不符合题意， 当时，，在上单调递增，符合题意， 故． 故选：． 4.设，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 解：由，且在上单调递增， 所以，即． 故选： 5.设，幂函数，且，则的取值范围为(    ) A. B. C. D.  解： 因为是幂函数，所以， 所以，所以， 则． 由及函数为上的增函数， 得解得． 故选B． 6.已知幂函数的图象过点． 求的解析式 若，求实数的取值范围． 解：因为为幂函数， 所以， 或． 当时，，图象过点 当时，，图象不过点，舍去． 综上，． 函数在上为增函数， 由， 则得． 综上，的取值范围为． 五、易错点总结 1. 系数不为1不是幂函数； 2. 混淆不同幂函数的性质； 3. 定义域记错（根号x不能取负数）。 六、课后作业 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知幂函数，且的图象在第一象限内单调递增，则实数(    ) A. B. C. D. 或 2.下列函数中，在上单调递增且值域为的是(    ) A. B. C. D. 3.函数在单调递增的一个充分不必要条件是(    ) A. B. C. D. 或 4.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有(    ) A. B. C. 是偶函数 D. 若，则 6.已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是(    ) A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 当时， D. 当时， 三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.已知函数是幂函数． 求实数的值，并求出的解析式 证明：在上是增函数． 8.已知幂函数为奇函数． 求的值； 若，求代数式的最小值． 参考答案 1.解：因为幂函数，且的图象在第一象限内单调递增， 所以，解得， 故选：． 2.解：选项A：指数函数在上单调递增，值域为，错误； 选项B：反比例函数 在上单调递增，值域为，错误； 选项C：幂函数在上单调递增，值域为，正确； 选项D：对数函数在上单调递增，值域为，错误． 故选C． 3.解：函数在上递增， ，解得或， 由选项可知，只有是或的充分不必要条件， 故选C． 4.解：函数在上单调递增，则； 函数在上单调递减，， 所以． 故选： 5.解：幂函数的图像经过点， ，解得，故A正确； ，解得， ， ，故B正确； 是奇函数，故C错误； ， ， 是增函数， ，解得，故D正确． 故选：． 6.解：设幂函数，则，解得，所以， 对于，的定义域为在上单调递增，A正确； 对于，因为的定义域不关于原点对称，函数不是偶函数，B错误； 对于，当时，，C正确； 对于，当时，， 又，所以，D正确． 故选： 7.【答案】解  因为函数是幂函数， 所以，因此，所以． 证法  设， 则 因为， 所以．，不全为，不妨设， 则． 因此，即 故在上是增函数． 证法  设， 则 因为，所以． 若，因为，所以． 若，则，即． 综上，即故在上是增函数． 8.【答案】函数为幂函数，所以，解得或因为函数为奇函数，所以，即，故　 易知函数在上单调递增，不等式等价于，解得，则，当且仅当，即时取等号．所以所求代数式的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4幂函数的概念与图像性质 一、学习目标 1. 掌握幂函数严格定义，区分幂函数与指数函数； 2. 熟记5大基础幂函数图像、定义域、单调性； 3. 会利用幂函数单调性比较大小。 二、知识点精讲 1. 定义 形如 y = xα （α为常数，底数为自变量x）的函数叫幂函数。 必备条件：系数必须为1 y=2x²、y=-x² ，y＝xα＋3都不是幂函数。 2. 五大必考幂函数及其图像 y=x 、 y=x² 、 y=x³ 、 y= 、 y= 3. 第一象限统一规律 α>0：过(0,0)(1,1)，在(0,+∞)递增； α<0：过(1,1)，在(0,+∞)递减，无限趋近坐标轴。 4.幂函数的性质 所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； 在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． α为奇数时，幂函数为奇函数。α为偶数时，幂函数为偶函数 三、例题解析 例1.已知幂函数的图象经过点，则(    ) A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 为偶函数 D. 是其定义域上的减函数 例2.设，，，则，，的大小关系是(    ) 例3.已知幂函数的图象经过点，则          ． 例4.已知幂函数在上单调递减，则          ． 例5.已知幂函数在上是增函数； 求的解析式； 若，求的取值范围． 6.已知函数． 讨论在，上的单调性； 判断的奇偶性； 画出的简图，并直接写出它的单调区间． 4、 课堂练习 1.已知幂函数，则(    ) A. B. C. D. 2.关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是(    ) A. 幂函数的图象一定经过点和点 B. 幂函数的图象一定关于轴或原点对称 C. 幂函数的图象一定不经过第四象限 D. 两个不同幂函数的图象最多有两个公共点 3.已知幂函数在实数集上单调，那么实数(    ) A. 一切实数 B. 或 C. D. 4.设，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 5.设，幂函数，且，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 6.已知幂函数的图象过点． 求的解析式 若，求实数的取值范围． 五、易错点总结 1. 系数不为1不是幂函数； 2. 混淆不同幂函数的性质； 3. 定义域记错（根号x不能取负数）。 六、课后作业 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知幂函数，且的图象在第一象限内单调递增，则实数(    ) A. B. C. D. 或 2.下列函数中，在上单调递增且值域为的是(    ) A. B. C. D. 3.函数在单调递增的一个充分不必要条件是(    ) A. B. C. D. 或 4.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有(    ) A. B. C. 是偶函数 D. 若，则 6.已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是(    ) A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 当时， D. 当时， 三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.已知函数是幂函数． 求实数的值，并求出的解析式 证明：在上是增函数． 8.已知幂函数为奇函数． 求的值； 若，求代数式的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $