湖南衡阳市第一中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

**基本信息** 衡阳市一中高一下数学月考试卷注重基础与能力梯度，通过函数、向量、解三角形等知识，结合“完美坐标系”新定义问题，考查数学抽象、运算能力与创新意识，适配高一下学期学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数定义域、奇偶性，向量坐标运算|基础概念辨析，如第3题偶函数判断| |多选题|3/18|三角函数图像变换、解三角形性质|图像与性质结合，如第10题图像变换多选项| |填空题|3/15|三角求值、函数奇偶性、零点问题|简洁考查关键能力，如第14题零点范围| |解答题|5/77|向量夹角、三角恒等变换、解三角形、新定义应用|综合创新，如第19题“完美坐标系”融合向量与函数，考查数学抽象与探究能力|

绝密★启用前 衡阳市第一中学高一下学期第一次月考试题 数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的) 1.函数)= x-1的定义域为() A.（-∞，4] B.（0,4) c.（∞，1U14] D.（∞，1U(1,4) cos f(x)= s3x,x>O, 2.已知函数 2,x≤0，则f[f(-1)]=（) 3 3 1 1 A.2 B.2 c.2 D.2 3,下列函数为偶函数的是() A.J(x)= B.J(x)=xlx|+1 -- D.f(x)=-xl sina-2cosa_ 尺知ma-引宁则a+哥到 6 A.5 B.5 4 1 D.4 5.将函数y=sin2x的图象经过以下变换后可得函数y=-cos2x的图象，其中不正确的是() 3π A.向左平移4 B.向右平移4 π C.向左平移4，再作关于x轴对称 D.向左平移4，再作关于y轴对称 AD=a,BC= 6.如图，在四边形ABCD中，E,F分别为AB,CD的中点，若 ,则F=（) D A.+0 2 c.a+ 2 D.34-8 7.已知向量a=(4,2),6=(c),且a6,则同=（) A.5 B v5 C v3 D.2 8.在△ABC中，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),则∠C=() π 5π A.6 B D.6 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知sina+cosa=a.sina-cosa=b(b≠0 ,则() A.a2+b2=2 B.cos2a=ab a+b D sina= 4-2ab 10.函数f)=nOor+(AD0:o>0,回<分》的部分图象如图所示，将函数j的图象上所有点的横坐 3π 标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移4个单位长度，得到函数g(x)的图象，则() 12 A.A=1 y=2sin B.g(x)的解析式为 后+引 7,0 C.(2是gx)图象的一个对称中心 D.g(x)的单调递减区间是L 版别 3kπ- 4」，k∈Z 1.在△1BC中，角 所对的边长分别为abc.九，么， A,B,C “分别为边a,6c 上的高。若a=2 acosC+5 asinC=h+c,则下列说法正确的是O A.A= Γ3 B.的最大值为V5 11 1 C.居+居的值可取 D,△ABC内切圆半径的值可取2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.an4+sinζ+cos 3元 6 3 13.若函数f()=2e2+ae2+1 为偶函数，则a= ππ 14.已知函数f()=cos(sinx)-1(@>0)在区间6'4上恰有两个零点，则o的取值范围是 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.已知l=1.同=2.且(2a+)(4a-36)=-6 求a,6和3a-的值： 求5与3a- 的夹角的余弦值。 16,已知sina 72 10 (1)求P； (2)求in(2a-A) 17.已知函数f()=2V5 sinx0sx+2cosx ④少求)的最小正周期及单调递增区间； [π5元 (2)求f(x)在区间6'12上的最大值、最小值及相应的x的值. 18.在△MBC A,B,C a,b,c、 中，角 所对的边分别为 46,c满足V5 BacosB=bsin4 (1)求角B的大小： (2)若a<c,b=2V7,△4B 的面积为33 ①求a,c的值； ②求血(2C+B)的值 19.如图，我们把由平面内夹角为60°的两条数轴r,oy构成的坐标系称为“完美坐标系”，设9，。分别为r, 正方向上的单位向量，若向量-好+%，则把实数对x列叫做向量OP的“完关坐标”. y e (1)若向量0P的“完美坐标”为3,4)，求0丽， (2)已知[5y小，[s]分别为向量a,石的“完美坐标”，证明：6=++(%+x): 片时Ea,香角充生标”分为P,Bo.通数-i5,布在a的色引不得式 m时()2si血2恒成立，求实数m的取值范围 衡阳市第一中学高一下学期第一次月考参考答案 数学 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D D D A B B AD ABD 题号 11 答案 ABD 12.0 13.2 14.(4,6] 15.(1)因为2a+列小(4a-36)=-6, 所y8a-2a-6-36=6 即8-2a-6-36=6, 因为=1，月=2」 所以8-2a6-3×4=6 化简得， a-b=1 3ā-=3a-=9+-6a-6=9+4-6=7. (2)记5与3-6 的夹角为， cos 0 (3a-b)63a.6-623-4万 3a-啊3a-5 2×√714 所以b与3a-b的夹角的余弦值为14， 16为eo》40.层u*(引 又因为in(a+) 5,且 所以m(a+川-专 ina=72 因 10, 以cosa=V2 10, _32472_V2 则simB=sim[（a+B)-a]=sin(a+B)cosu-cos(a+B)sina5×i0-x10=-2, (2)由(1)可得 为sin2a=2 sino=2x7V2x反7 因为 101025, 则cos2a=1-2sina=-24 5 mr-月-m2ao-2a名号(-马} 50 17.(1)2mc+csi2ox2i 6 由-2m2}令42s22ez 62 +km≤x≤亚+km,k∈Z, 则3 6 故函数f()的单调递增区间为3 [-+m,+kak∈Z 6 元5 x∈ 2x+∈「π】 (2)当612时，2x+66. 则2+刮[时 [元5π 即f(x)在区间6'12上的最小值和最大值分别为0,3， 即2x+名名时，即=时，问有员小0， 当2r+π元 +后至，即x=石时，了冈有最大值3. 18.1)在△MBC 牛，合a8-n及花孩E表.有no8s动An 而mM0,则amB=5,又0<B<元， 所以B=π 3 (2)①在△1BC中，b=27 由(1)及余弦定理得a2+c2-2 accosB=b2,即a2+c2-ac=28, 又5c-an8=35,ac=2:而<c 所以a=2,c=6 sC=r+b-c2-4+28-36。-1。V万 ②由余弦定理得 2ab=2×2×2V7=2W7=-14' 而Ce(0,,则sinC=-cosC.3y5_32 Γ2714， sin2C-2CowC2inC 14. _33x1_13x5_45 sin(2C+B)=sin2CcosB+cos2CsinB14*2 142 7. 19.(1)因为0P的“完美坐标”为B,4,则0P=3G+46, 又因为9,6分别为0x,0y正方向上的单位向量，且夹角为60° 所以后HE1.名-5cos6wr- 质o丽-国+可-g+24g6+1@-9+24×+16=5 1 (2)由(1)知96=2 所a6=(9+片9)(s6+5g)】 =69+9g+y96+6 X+4+2+ 即i-6=5+y+2(4+)】 (3)因为向量ā，b的“完美坐标”分别为 [2sin x,1][2cosx,1] 由(2)得f()=a:b=4 sinxcosx+1+号(2sinx+2cosx) 2sin2x+sinx+cosx+1. 令t=sinr+cosx,则 =simr+eosr=V7sin+星） 2=(sinx+cosx)2=sin2x+2sinxcosx+cos?x=1+sin2x 即sin2x=t2-1, 所以f(=2-+1+1=22+1-1.t∈2] 己知财(2s如2恒成立，即m22+1-2-l对1（，5]恒成立 2-1(+10t-1)_1-1 因为]时，2+1-1>0，所以m≥2+1(2-0+2-1对1e]恒成立 令0-号2同，0河磁 2-13-2 当t=2时，少a22-7 ,n的吸9 所以m≥3V5