精品解析：江苏省扬州市2024-2025学年高二下学期期末调研数学试卷

2024—2025学年第二学期期末检测 高二数学 2025.06 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量X的概率分布如下 X 0 P a 则（ ） A. B. C. D. 3. 函数，的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 从4名男生、3名女生中选择3人组成一支志愿者小分队，要求男、女生都有，不同的组队方案共有（ ） A. 30种 B. 34种 C. 48种 D. 60种 5. 函数在处的瞬时变化率是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 6. 已知变量x，y线性相关，其一组样本数据（，2，3，4，5），满足，用最小二乘法得到的线性回归方程是．现增加一个数据，重新计算得到的回归直线斜率是，时，y的估计值是（ ） A. 3 B. C. D. 7. 在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 某所高中高一、高二、高三学生人数占全校总人数的比分别为，和．在某次期中考试中，各年级数学成绩均近似服从正态分布：高一成绩，高二成绩，高三成绩，现从全校学生中随机抽取一名学生，记其成绩为X，则最接近的值是（ ） 参考数据：若，则，． A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中正确的有（ ） A. 若随机变量分布，则X的数学期望 B. 若随机变量，则X的方差 C. 在线性回归分析中，相关系数r满足 D. 在线性回归分析中，若相关系数r的绝对值越大，则两变量相关程度越强 10. 已知，下列选项中正确的有（ ） A. B. ，，，…，中，最大 C. D. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（ ） A. 线段长度的最大值是 B. 点P到平面的距离是定值 C. 直线与BD所成角的最小值是 D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，，，若，则实数______． 13. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______． 14. 类比排列数公式，定义（其中，），将右边展开并用符号表示（，）的系数，得，则： （1）______；（结果用数字表示） （2）若，（，），则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 16. 为了解某小区居民的周末休闲方式是否与性别有关，随机抽取了该小区居民100 人进行了调查，其中女性60人，男性40人，女性中有40人休闲方式是看电视，另外20人休闲方式是运动；男性中有10人休闲方式是看电视，另外30人休闲方式是运动． （1）根据以上数据将如下2×2列联表补充完整； 合计 40 合计 （2）请根据小概率值的独立性检验，判断休闲方式与性别是否有关． 附：， 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱上一点，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 18. 甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y． （1）若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望； （2）规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”． （i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：． 19. 已知函数． （1）若在处取极值，求实数a的值； （2）若，求曲线过原点的切线方程； （3）记，已知存在最小值，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期期末检测 高二数学 2025.06 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合，再由补集的定义即可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. 已知随机变量X的概率分布如下 X 0 P a 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由概率之和为1可求. 【详解】由分布列可知，解得. 故选：C. 3. 函数，的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性及函数在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域关于原点对称， 因为，即函数为奇函数，排除BD选项， 当时，，则，，可得，排除C选项. 故选：A. 4. 从4名男生、3名女生中选择3人组成一支志愿者小分队，要求男、女生都有，不同的组队方案共有（ ） A. 30种 B. 34种 C. 48种 D. 60种 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，按选出的男女人数不同，分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①选出的3人为2男1女，有种选法； ②选出的3人为1男2女，有种选法；所以一共有种选法. 故选：A. 5. 函数在处的瞬时变化率是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导后将代入即可求得结果. 【详解】因为函数，所以， 故在处的瞬时变化率是， 故选：D 6. 已知变量x，y线性相关，其一组样本数据（，2，3，4，5），满足，用最小二乘法得到的线性回归方程是．现增加一个数据，重新计算得到的回归直线斜率是，时，y的估计值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求原数据的样本中心，再确定增加数据后的样本中心，进而得到修正后的回归直线方程，估计的对应值， 【详解】由题设，则， 增加数据后，，且回归直线为， 所以，得，则， 所以时，有 故选：B. 7. 在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用、、表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】如下图所示： 因为，，，， 由空间向量数量积的定义可得，， 同理可得， 由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， 故，则线段的长度为． 故选：C． 8. 某所高中高一、高二、高三学生人数占全校总人数的比分别为，和．在某次期中考试中，各年级数学成绩均近似服从正态分布：高一成绩，高二成绩，高三成绩，现从全校学生中随机抽取一名学生，记其成绩为X，则最接近的值是（ ） 参考数据：若，则，． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的性质结合条件即得. 【详解】由随机变量服从正态分布，，， 所以 同理； 由随机变量服从正态分布，， 所以 . 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中正确的有（ ） A. 若随机变量分布，则X的数学期望 B. 若随机变量，则X的方差 C. 在线性回归分析中，相关系数r满足 D. 在线性回归分析中，若相关系数r的绝对值越大，则两变量相关程度越强 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出可判断A；求出可判断B；根据相关系数的意义可判断CD. 【详解】对于A， ，则，所以，故A正确； 对于B，若随机变量，则X的方差，故B错误； 对于C，在线性回归分析中，相关系数r满足，故C正确； 对于D，在线性回归分析中，若相关系数r的绝对值越大，则两变量相关程度越强，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知，下列选项中正确的有（ ） A. B. ，，，…，中，最大 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项式定理，求出指定项的系数，和系数最大的项的系数，再根据展开式，赋特殊值，求出所有系数之和以及所有系数绝对值的和，判断各选项正误. 【详解】由题意知的展开式为，则当时，，所以，所以A错误. 所有项的系数，可知所有系数正负交替出现，可知在中，最大的是，其中，所以最值为，所以B正确. 令，则，所以C正确. 令，则，所以D错误. 故选：BC. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（ ） A. 线段长度的最大值是 B. 点P到平面的距离是定值 C. 直线与BD所成角的最小值是 D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，且，利用空间两点间的距离通过求函数最大值即可判断A；由∥平面得到点P到平面的距离即为点到平面的距离，并通过等体积法求得距离可判断B；利用空间向量表示线线角、线面角并利用函数单调性求得最值或范围，从而判断CD. 【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 设，且. 对于A，， 当时，.故A正确； 对于B，正方体中，∥，平面，平面， 所以∥平面，因为，所以点P到平面的距离是等于点到平面的距离, 设到平面的距离为，由得，，得，故B不正确； 设，且. 对于C，，， 设直线与BD的所成角为， 则 令，则， 函数，在上单调递减，在上单调递增，所以 ，所以，故C正确； 对于D，设平面的法向量，则 取，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为： 因为在上单调递增 ，故D正确 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，，，若，则实数______． 【答案】6 【解析】 【分析】求出的坐标，再求模长即可. 【详解】因为，，所以， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】对求导并化简，由单调递减得，换元转化不等式，用均值不等式求最值，确定实数的取值范围. 【详解】， ， 因为函数在区间上单调递减， 所以在上恒成立， 令，当时，， 则在上恒成立可转化为： 在上恒成立， 在上恒成立，即， 根据均值不等式，，当且仅当时等号成立， 因此在上的最小值是4，所以. 故答案为：. 14. 类比排列数公式，定义（其中，），将右边展开并用符号表示（，）的系数，得，则： （1）______；（结果用数字表示） （2）若，（，），则______． 【答案】 ①. 24 ②. 【解析】 【分析】根据定义的函数，写出对应的函数，根据函数解析式，求出，再根据定义函数的性质，构造一个新的函数，再根据其展开式，列出其中相等的项，写出方程，化简即可求出结果. 【详解】由题意知，则时一次项系数，则， 即. 由题意得， 展开得， 可得， 因为，，所以， 故答案为：24；. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式求出集合，再求并集即可； （2）根据“”是“”的必要不充分条件得出B是A的真子集，列出关于不等式组，解之可得答案． 【小问1详解】 由不等式得，解得，故． 当时，，所以； 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集， 因为，所以，所以，解得， 所以实数a的取值范围是． 16. 为了解某小区居民的周末休闲方式是否与性别有关，随机抽取了该小区居民100 人进行了调查，其中女性60人，男性40人，女性中有40人休闲方式是看电视，另外20人休闲方式是运动；男性中有10人休闲方式是看电视，另外30人休闲方式是运动． （1）根据以上数据将如下2×2列联表补充完整； 合计 40 合计 （2）请根据小概率值的独立性检验，判断休闲方式与性别是否有关． 附：， 【答案】（1）列联表： 看电视 运动 合计 男性 10 30 40 女性 40 20 60 合计 50 50 100 （2）该小区居民的周末休闲方式和性别有关.【解析】 【分析】（1）根据题意，完善列联表； （2）计算卡方值并与犯错概率0.001对应的临界值比较，即可得出结论. 【小问1详解】 看电视 运动 合计 男性 10 30 40 女性 40 20 60 合计 50 50 100 【小问2详解】提出零假设：该小区居民的周末休闲方式和性别无关， 根据列联表中的数据，可得： ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该小区居民的周末休闲方式和性别有关，此推断犯错误的概率不大于． 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱上一点，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：根据线面平行的判定定理证明即可；方法二：建立空间直角坐标系，由空间向量法证明线面平行； （2）方法一：由线面角向量法计算即可；方法二：作出二面角的平面角，计算即可求解. 【小问1详解】 方法一：如图，连接交与点，连接， 因为，所以， 又，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 方法二：（1）在中，过点作，因为平面， 所以，， 如图，以点为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，． 则，，． 设平面的法向量，则， 令得 此时，又平面，所以平面． 【小问2详解】 方法一：由（1）知平面的法向量 设平面的法向量为，则， 令得 设二面角的大小为，则 所以二面角的正弦值为． 方法二：因为平面，平面，所以平面平面， 所以二面角大小与二面角大小互余， 所以二面角的正弦值就等于二面角的余弦值， 如图，在中，过点作，过点作，连接， 则，所以即为二面角的平面角 ，在中，， 所以，所以， 所以二面角的正弦值为． 18. 甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y． （1）若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望； （2）规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”． （i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：． 【答案】（1）的分布列见解析，， （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布和二项分布，分别求出甲、乙的分布列，计算期望. （2）（i）根据条件概率公式，由（1）中各事件概率，求出条件概率. （ii）根据甲乙通过项目数的分布列，分别求出甲乙两人合格和优秀时的概率，根据其单调性，列出不等式，证明结果. 【小问1详解】 甲可能通过项目数，服从超几何分布， 则X的概率分布： ， ， X的数学期望． 乙通过项目数符合二项分布，即，， 则Y的概率分布： ，， ，， Y的数学期望． 【小问2详解】 （i）因为， 所以运动员甲考核“达标”时，运动员甲考核“优秀”的概率是． （ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为， 则， 可知， 当时，，在上单调递增， 又，所以． 甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为， 则在上单调递增， 又，所以． 综上，． 19. 已知函数． （1）若在处取极值，求实数a的值； （2）若，求曲线过原点的切线方程； （3）记，已知存在最小值，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意，可由求得，再代入检验即得； （2）时，设切点为，求导得到切线方程，依题将原点代入得到，分类讨论该方程的解，即可确定，回代入切线方程化简即得； （3）记，可得，故有；又由（1）可得时，，由条件得到，故得当时，. 【小问1详解】 定义域为，， 因为在处取极值，所以，解得． 而当时，在上单调递增，又， 所以时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以在处取极小值．综上，． 【小问2详解】 时，，， 设切点为，则切线斜率， 所以切线方程为：， 将代入：， 整理得，时，方程成立； 且当时，，而； 当时，，，均不满足； 故方程有唯一解， 所以切线方程：，整理得： 【小问3详解】 记， 一方面，注意到， 所以，① 另一方面，由（1）知，时，， 又，所以， 所以， 结合①可知，时，．② 综合①②，的最大值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $