25.3 第1课时 数字、面积问题-【木牍中考】2026-2027学年九年级上册数学同步教学优质课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦用一元二次方程解决数字与面积问题，通过复习回顾方程解法搭建基础，以连续整数、两位数表示等数字问题和矩形面积、小路面积等实际情境为载体，构建从知识回顾到问题探究的学习支架。 其亮点在于以实际问题为驱动，通过例3多种设元方法对比培养数学思维，例4面积转化渗透几何直观，归纳总结整数表示与面积策略强化模型意识。学生能提升应用能力，教师可获得结构化教学思路与丰富例题资源。

25.3 实际问题与一元二次方程 第一课时 数字、面积问题 ※ 建议使用WPS2019以上版本打开 木牍中考-教学设计中心 制作 数 学 RJ 9年级上册 学习目标及重难点 1.能正确分析实际问题中的数量关系. 2.能根据实际问题中的等量关系，列出一元二次方程解决相关实际问题. 3.感受用一元二次方程解决相关实际问题的必要性以及在实际背景下检验解的合理性，增强应用意识. 前 言 一元二次方程的常用解法有哪些？ 复习回顾 ①直接开平方法 ②配方法 ③公式法 ④因式分解法 同一元一次方程、二元一次方程（组）一样，一元二次方程也是刻画某些问题中等量关系的数学模型，运用一元二次方程可以解决很多问题. 导入新课 例1：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 探索一：数字问题 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 , 其中 为正整数. 由勾股定理，得 解方程，得 (不符合题意，舍去) 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长为 . 讲授新课 例2：有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数. 解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，这个两位数字是 . 根据题意，得 ， 解方程，得 (不合题意，舍去)， 当 时，， 因此，这个两位数是. 讲授新课 整数的常用表示方法： ①三个连续的整数，令最小的数为，则中间的数为，最大的数为. ②两位数=十位上的数字×10 + 个位上的数字； ③三位数=百位上的数字×100 + 十位上的数字×10 + 个位上的数字； 归纳总结 讲授新课 探索二：面积问题 例3：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 分析：假设细绳能围成面积为 的矩形区域, 则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形的一边长为 , 由周长为，可用含 的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 讲授新课 例3：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 解：设矩形的一边长为 ，由矩形的周长为，可得此边的邻边长 为 ；再由矩形的面积为 ，得 解方程，得 因此，用一根为 40m 的细绳可以围成面积为 的矩形区域，这样的矩形唯一. 其两邻边长分别为 ，. 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 讲授新课 例3：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 思考：对于例3中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种，例如： （1）可设一边长为 ，那么其邻边长为 （2）可设一边长为 , 那么其邻边长为 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例3吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. 讲授新课 例3：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ （1）可设一边长为 ，那么其邻边长为 根据题意，得 解方程，得 因此，用一根为 40m 的细绳可以围成面积为 的矩形区域，这样的矩形唯一. 其两邻边长分别为 ，. 从面积出发 讲授新课 例3：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ （2）可设一边长为 , 那么其邻边长为 根据题意，得 解方程，得 当=2 时，=12，=8；当=2 时，=8，=12. 因此，用一根为 40m 的细绳可以围成面积为 的矩形区域，这样的矩形唯一. 其两邻边长分别为 ，. 利用对称性 讲授新课 例3：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 设法 设元思路 方程形式 特点 从周长出发 从面积出发 利用对称性 利用半周长关系设元，面积关系列一元二次方程，思路最直接，最通用 利用面积关系设元，周长关系列方程，方程含有分式，需先转化为整式方程；需强调的隐含条件 利用长宽和为定值设元，面积关系列方程，可直接用平方差公式化简运算，计算最简便，也能直观体现解的对称性 讲授新课 例4: 如图，在一块宽20m、长32m的长方形空地上，修筑三条等宽的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成6块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为570m2，小路的宽应是多少？ 32 20 x 花坛的总面积 长方形空地的面积 三条小路的面积 两条纵向小路与横向小路重叠部分的面积 解：设小路的宽是 m，根据题意，得 讲授新课 例4: 如图，在一块宽20m、长32m的长方形空地上，修筑三条等宽的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成6块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为570m2，小路的宽应是多少？ 32 20 x 解：设小路的宽是 m，根据题意，得 解方程，得 (不符合题意，舍去) 答：小路的宽应为 1 m. 讲授新课 1.淇淇在计算正数 的平方时，误算成 与 的积，求得的答案比正确答案小，则 = ( ) C A．1 B． C． D．1或 习题1 习题解析 2.如图，在宽20 m、长30 m的长方形地面上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分铺上草坪.要使草坪的面积为 551 m2，则道路的宽为 m. 1　 习题2 习题解析 3.一个直角三角形的两条直角边的和是14,面积是24. 求这两条直角边的长. 解：设直角三角形的一边长为 ，那么另一直角边的长为 根据题意，得 解方程，得 因此，这两条直角边的长分别为 ，. 习题3 习题解析 4.如图，现有长为 m的篱笆，利用墙（墙的最大可用长度为 m）围成一块中间隔有一道篱笆的长方形花圃. （1）当的长为多少时，围成的长方形花圃的面积为 m2？ 解：（1）设的长为 m，则的长为m. 根据题意，得，解得 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意. 答：当的长为 m时，围成的长方形 花圃的面积为180 m2. 习题4 习题解析 4.如图，现有长为 m的篱笆，利用墙（墙的最大可用长度为 m）围成一块中间隔有一道篱笆的长方形花圃. （2）能围成总面积为240 m2的长方形花圃吗？请说明理由. 习题4 解：（2）不能.理由如下： 同（1）可得. 整理，得 . ， 此方程没有实数根. 故不能围成总面积为 m2的长方形花圃. 习题解析 5.在学习一元二次方程的课堂上，老师设计了“猜数字”游戏. 规则：由一名同学写出一个两位数，然后告诉大家这个两位数个位与十位上的数字之和，再将之位置交换，告诉大家交换后的新两位数与开始的两位数的乘积，最后大家根据已知信息猜一猜原来的两位数是多少. 下面是小红同学给出的信息，请“猜一猜”小红所写的两位数是多少？ 信息1：个位与十位上的数字之和为3； 信息2：个位与十位上的数字交换位置后组成的新两位数与开始写的两位数的乘积为252； 信息3：原数个位上的数字小于十位上的数字. 习题5 习题解析 信息1：个位与十位上的数字之和为3； 信息2：个位与十位上的数字交换位置后组成的新两位数与开始写的两位数的乘积为252； 信息3：原数个位上的数字小于十位上的数字. 习题5 解：设小红所写的两位数十位上的数字为 ，则个位上的数字为， 交换位置前的两位数为 ， 交换位置后的两位数为 ， 由题意可知，， 解得(不合题意，舍去) ， 这个两位数是. 习题解析 数字、面积问题 面积问题 利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；对于部分不规则图形，可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题. 数字问题 整数的常用表示方法： ①三个连续的整数，令最小的数为，则中间的数为，最大的数为. ②两位数=十位上的数字×10 + 个位上的数字； ③三位数=百位上的数字×100 + 十位上的数字×10 + 个位上的数字； 课堂小结 课时A计划对应章节. 课后作业 $