25.3.2传播问题与变化率问题课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“传播问题与变化率问题”，通过传染病传播实例导入，以知识回顾列方程解实际问题步骤为支架，衔接旧知与新知，帮助学生掌握用一元二次方程解决实际问题的方法。 其亮点在于以真实情境（如癌细胞分裂、商品销售）引导学生用数学眼光观察现实，通过表格梳理传播规律、公式总结（a(1±x)^n=b）培养模型意识，结合中考题提升应用能力。既助学生发展抽象与推理能力，又为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 传播问题与变化率问题 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 传播问题 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 增长率问题 8. 对接中考 能从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，解决传播问题和平均变化率问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理. 学习目标 知识回顾 列方程解实际问题的一般步骤 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系. 等量关系往往体现在关键词句中. ②设 设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法（引入辅助未知数，并在解题过程中消去）. 有单位的要带单位. ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程. 方程两边单位要统一. ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值. 一般不必写出解方程的过程. ⑤检 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义. 一般两个根中只有一个符合实际意义. ⑥答 写出实际问题的答案. 遵循 “问什么答什么” 的原则. 新课导入 我们在新闻里经常看到传染病传播的报道，比如流感、诺如病毒，它们的传播速度非常快. 大家有没有想过：为什么一个人得病，很快就会有一群人被传染？ 这里面隐藏着什么数学规律？让我们一起探讨吧！ 新课讲解 知识点1 传播问题 某种传染病的传染速度很快. 如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 探究1 第1轮 第1轮传染后患流感的人数x+1. 第2轮传染后患流感的人数x(x+1)+x+1 第2轮 2 x ••• 1 ••• 2 x ••• 1 2 x ••• 1 2 x ••• 1 2 x 1 设每轮中平均每一个人传染了x人 小红 小红 新课讲解 某种传染病的传染速度很快. 如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 探究1 x1=10，x2= -12 根据示意图，列表如下： 解方程，得 (不合题意，舍去). 答：平均一个人传染了10个人. 解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则 (1+x)2=121. 传染源人数 第1轮后患流感人数 第2轮后患流感人数 1 1+x=(1+x)1 1+x+x(1+x)=(1+x)2 一元二次方程的解一定要检验： (1)检验是否满足所列方程，(2)检验是否符合实际意义. 新课讲解 如果按照这样的传染速度，请用含 x 的代数式表示三轮传染后有多少人患流感? n 轮传染后有多少人患流感？ 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第一轮 1 1∙x=x 1+x 第二轮 1+x (1+x)x 1+x+(1+x)x= 第三轮 第 n 轮 (1+x)2 (1+x)n (1+x)3 (1+x)2 (1+x)2∙x (1+x)2+(1+x)2∙x= (1+x)n-1 (1+x)n-1∙x 思考 类型 等量关系 病毒传播、植物分支生长、转发、分裂等 设a为传染源数，x为每个传染源传播的个数，则传播n轮后感染的总个数为 a(1+x)n=b， 传播问题的解题策略 新课讲解 例 1. 癌症是人类的一个很可怕的敌人，因为癌细胞的繁殖速度惊人．已知一个癌细胞经过两轮分裂后，共有12 100个癌细胞． (1) 求一个癌细胞每轮分裂出多少个癌细胞． (2) 若以相同的分裂速度再经过两轮分裂，则分裂后共有多少个癌细胞？ 解：(1) 设一个癌细胞每轮分裂出x个癌细胞， 由题意，得(x+1)2=12 100. 解得x1=109，x2=-111（不合题意，舍去）. 答：一个癌细胞每轮分裂出109个癌细胞. (2) 以相同的分裂速度再经过两轮分裂，分裂后的癌细胞为： 12 100×（109+1）2=146 410 000（个）. 答：以相同的分裂速度再经过两轮分裂，则分裂后共有146 410 000个癌细胞． 新课讲解 例 2. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700 台？ 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.根据题意，得1+x+(1+x)x=81， 整理得(1+x)2=81，解得x1=8，x2=-10(舍去). 三轮感染后，被感染的电脑台数为(1+x)2+x(1+x)2=(1+x)3=(1+8)3=729>700. 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8 台电脑；三轮感染后，被感染的电脑会超过700 台. 新课讲解 练一练 1. 有一株月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是 73，设每个支干长出 x 个小分支，根据题意可列方程为( ) B A. 1+x+x(1+x)=73 B. 1+x+x2=73 C. 1+x2 =73 D. (1+x)2=73 主干 …… 支干 支干 …… x 小分支 小分支 …… x 小分支 小分支 …… x 新课讲解 练一练 【变式】某种植物的根系特别发达，它的主根长出若干数目的支根，其中，全部支根中的 ，每根又长出与全部支根同样数目的小支根，而其余支根长出全部支根一半数目的小支根.主根、支根、小支根的总数量是109根，则这种植物的主根长出____根支根. 解：设这种植物的主根长出 根支根．由题意，得 ， 整理，得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 这种植物的主根长出12根支根． 12 新课讲解 练一练 2. 甲型流感病毒的传染性极强，某地因 1 人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有 9 人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过 5 天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 解：设每天平均一个人传染了 x 人， 解得 x1=-4 (舍去)，x2=2. 答：每天平均一个人传染了 2 人，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有 2 187 人患甲型流感. 则1+x+x(1+x)=9， 即(1+x)2=9. 9(1+x)5=9(1+2)5=2 187 . (或 (1+x)7= (1+2)7=2 187) 新课讲解 知识点2 增长率问题 两年前生产1t甲种食品的成本是10000元，生产1 t乙种食品的成本是12000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6000元，生产1 t乙种食品的成本是7200元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 探究2 解：设甲种食品成本的年平均下降率为 ，则一年后甲种食品成本为元， 两年后甲种食品成本为  元，于是有 解方程，得 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 设乙种食品成本的年平均下降率为y. 根据题意，得12 000(1-y)2=7 200. 解得y1≈0.225，y2≈1.775（舍去）. 所以乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 新课讲解 甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元) ， 乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)， 显然，乙种药品成本的年平均下降额较大． 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？ 不能 而由上述解答可知甲乙两种药品成本的年平均下降率相等，均约为 22.5％. 思考 新课讲解 增长(或降低)前的量是 a 增长(或降低) n 次后的量是 b 平均增长(或降低)百分率为 x 增长取“+”，降低取“－” 增长率和降低率的数量关系 新课讲解 例 3. 某网络销售公司计划第二季度销售额达到1 200万元，已知4月的销售额为310万元，设5，6月的销售额月平均增长率为x，根据题意所列方程正确的是（　　） A．310(1+x%)2=1 200 B．310(1+x)+310(1+x)2=1 200 C．310(1+x)2=1 200 D．310+310(1+x)+310(1+x)2=1 200 解：设5、6月的销售额月平均增长率为x， 则5月份的销售额为310(1+x)万元，6月份的销售额为310(1+x)2万元， 根据第二季度销售额达到1 200万元， 可得310+310(1+x)+310(1+x)2=1 200． D 新课讲解 例 4. 随着消费观念的转变，中药代茶饮“火爆出圈”，成为众多年轻人的饮品首选．据统计，某购物网站上某品牌的中药茶饮包 7 月份的销量为 4 万盒， 9 月份的销量为 4.84 万盒． (1)求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率. (2)假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则 10 月份的销量能不能达到 5.5 万盒？请通过计算说明． 解：(1) 设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为 x，根据题意， 得 4(1+x)2=4.84，解得 x1=0.1=10%， x2=－2.1(不符合题意，舍去) . 答： 该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为 10%． 增长率一般为正数 (2) 4.84×(1+10%) =5.324(万盒)． 因为 5.324 万盒＜5.5 万盒， 所以10 月份的销量不能达到 5.5 万盒. 新课讲解 练一练 1. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比为 ，根据“两天不练丢一半”，可列方程 ( ) A. B. C. D. A 解：利用学习过的东西两天后未被遗忘的部分即 学习过的东西即每天“遗忘”的百分比， 即可列出方程 . 新课讲解 练一练 2. 某超市购进甲、乙两种商品，2024 年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25 元，乙种商品2026 年每件的进价为80 元. (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2026年该超市用不超过7 800 元的资金一次购进甲、乙两种商品共100 件，求最少购进多少件甲种商品. 解：(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为x. 根据题意，得125(1-x)2=80，解得x1=0.2=20%，x2=1.8(舍去). 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. (2) 设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100-m)件. 根据题意，得(125-25×2)m+80(100-m)≤ 7 800，解得m≥ 40. 所以m的最小值为40. 答：最少购进甲种商品40 件. 课堂小结 实际问题与 一元二次方程 传播问题 增长率问题 a(1+x)n=b， 其中，a 是起始量，x 是增长率，n 是增长的次数，b 是终止量.当出现负增长时，x 小于 0. a(1+x)n=b， 其中，a是感染源数量，x是每轮平均传播人数，n是传播轮数，b是最终感染者总数. 当堂小练 1. 某养鸡场内有一只鸡患了某种传染病，一轮传染为一天时间，两天后发现共有169只鸡患有这种病，每只病鸡传染健康鸡的只数均相同.如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 解：设每只病鸡传染了 只健康鸡， 由题意得 ， 解得， （负值舍去）. （只）. 答：三轮传染后，患病的鸡共有2197只. 当堂小练 A. B. C. D. 2. 某同学自主学习了某个化学实验操作并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验.若设1人每次都能教会 名同学，则可列方程为 ( ) D 当堂小练 3. 某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意列方程为(　　 ) A．25(1＋x)2＝82.75 B．25＋50x＝82.75 C．25＋25(1＋x)2＝82.75 D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75 D 当堂小练 4. 生产厂家采用线下线上两种销售方式销售产品，店长统计了2025年6月份和8月份线上销售量占总销售量的比例，根据比例绘制成如图所示的两幅扇形统计图（阴影部分为线上销售量占比），由统计图可知，线上销售量占比的月平均增长率为______. 解：设线上销售量占比的月平均增长率为 ．根据题意，得 ， 解得， (不合题意，舍去)， 线上销售量占比的月平均增长率为 ． 当堂小练 5. 某公司今年6月份的生产成本是600万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到8月份的生产成本是486万元. (1) 求每个月生产成本下降的百分率. (2) 该公司9月份的生产成本是否会跌破440万元？请说明理由. 解：(1) 设每个月生产成本下降的百分率为 . 由题意，得 ， 解得， （不符合题意，舍去）. 答：每个月生产成本下降的百分率为 . (2) 该公司9月份的生产成本会跌破440万元.理由如下： 由题意，得该公司9月份的生产成本为（万元）， ， 该公司9月份的生产成本会跌破440万元． 对接中考 1. 某景区2022 年接待游客25 万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024 年接待游客达到36 万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为 ( ) A. 10% B. 20% C. 2% D. 44% 解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x. 根据题意，得25(1+x)2=36， 解得x1=0.2，x2=-2.2(不合题意，舍去). 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%. B 对接中考 A A. B. C. D. 2. 东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预计7月产值将增至9 100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为 ，则可列出的方程为 ( ) 拓展与延伸 1. 随着科技的发展，某公司拥有的无人机数量逐年上升，据统计，该公司无人机的数量2023年底为100架，2025年底达到144架. (1) 求2023年底至2025年底该公司无人机数量的年平均增长率； (2) 该公司预算有限，计划到2026年底公司无人机拥有量不超过150架，预计2026年 报废的无人机数量是2025年底无人机拥有量的 ，求2025年底至2026年底该公司无人机数量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求. 解：(1) 设2023年底至2025年底该公司无人机数量的年平均增长率为 ， 根据题意得 ， 解得， （不符合题意，舍去）. 答：2023年底至2025年底该公司无人机数量的年平均增长率为 . (2) 设2025年底至2026年底该公司无人机数量的年增长率为 ， 根据题意得，解得 . 答：2025年底至2026年底该公司无人机数量的年增长率应控制在不超过 的范围才能达到要求. 拓展与延伸 解：设该厂3月份到5月份生产数量的月平均增长率为 ， 根据题意，得 ， 解得， （舍去）. 因此，该厂3月份到5月份生产数量的月平均增长率为 . 2. 阅读材料，解决问题. 材料1：新时代的中国伴随着人工智能、新能源、新材料等不断革新，制造业发展也迎来了大变革，新桥产业园某工厂借助智能化，对某型号零件进行一体化加工，生产效率提升显著，该零件3月份生产100个，5月份生产169个. 材料2：该厂生产的零件成本为40元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨1元，则销售量将减少10个. 【解决问题】(1) 求该厂3月份到5月份生产数量的月平均增长率； 拓展与延伸 2. 阅读材料，解决问题. 材料1：新时代的中国伴随着人工智能、新能源、新材料等不断革新，制造业发展也迎来了大变革，新桥产业园某工厂借助智能化，对某型号零件进行一体化加工，生产效率提升显著，该零件3月份生产100个，5月份生产169个. 材料2：该厂生产的零件成本为40元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨1元，则销售量将减少10个. 【解决问题】(2) 若该厂既想使月销售利润达到12 000元，又想尽快减少库存，以便产品迭代，则该零件的实际售价应定为多少元？ 解：设该零件的实际售价应定为 元，根据题意，得 ，解得， . 想尽快减少库存，则售价应该更低， 该零件的实际售价应定为70元. $