25.3 课时2 传播问题与平均变化率问题 课件 2026-2027学年人教版 数学 九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”中的传播问题与平均变化率问题，通过观看传染病特征与防护视频导入，衔接一元二次方程解法，借助特值分析法和表格归纳规律搭建学习支架。 其亮点在于情境化问题设计，如传染病传播、植物分支、成本下降率等，培养学生用数学眼光观察现实，通过推理建模形成方程（如(1+x)^2=121），用公式a(1±x)^n=b表达规律。采用探究式教学，表格梳理传播类型与变化率公式，助力学生提升应用意识与建模能力，也为教师提供结构化教学资源。

25.3 实际问题与一元二次方程 课时2 传播问题与平均变化率问题 观看视频，了解传染病的特征和防护措施. 分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源记作A，其传染示意图如下： 问题1：某种传染病的传播速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 探究1 传播问题 第2轮 第1轮 注意：不要忽视病源A的二次传染. 第1轮传染后患病人数_______人; 特值分析法： 如果每轮每人传染2人. 第2轮传染后患病人数______________人. (1+2) 1+2+(1+2)×2 病源A 分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 第1轮传染后患病人数________人; 第2轮传染后患病人数______________人. [1+x+(1+x)x] (1+x) 传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数 1 1+x=(1+x)1 1+x+x(1+x)=(1+x)2 规律发现： 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 1+x+x(1+x)=121 解方程，得x1=10，x2=-12(不合题意，舍去) 答:平均一个人传染了10个人. 问题1：某种传染病的传播速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 通过探究本题，谈谈你对类似的传播问题中数量关系的认识. 弄清每轮传染的人数和这一轮传染后患病总人数 思考：按照这样的传染速度, 经过三轮传染后共有多少个人被传染?由此体会阻断病毒传播的必要性. 第3轮传染后的总人数： (1+x)2 + x(1+x)2 = (1+x)3 第2轮传染后的总人数 第3轮传染的人数 当x = 10时，(1+x)3=(1+10)3=1331，所以经过三轮后共有1331人患流感. 传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数 第3轮传染后的人数 1 1+x=(1+x)1 1+x+x(1+x)=(1+x)2 ? 问题2：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是183，每个支干长出多少个小分支？ 分析：假设每个支干长出2枝 1+2+22=7 假设每个支干长出3枝 1+3+32=13 假设每个支干长出n枝 1+n+n2 解：设每个支干长出x个小分支，则 1+x+x2=183 x2+x-182=0 解方程，得x1=13，x2=-14（不合题意，舍去） 答：每个支干长出13个小分支. 问题2：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是183，每个支干长出多少个小分支？ (1)传播问题中最开始的感染者在第一轮传播给n个人，第二轮会继续传播，所以第二轮有n(n＋1)人被传播，总共有1＋n＋n(n＋1)个人被传播. (2)树干问题中主干长出n个支干，第二轮主干不再分支，n个支干进行分支，第二轮有n2 个支干，主干和支干总共有1＋n＋n2 个. 问题：两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 探究2 平均变化率问题 分析：甲种食品成本的年平均下降额为 (100006000)÷2＝2000 (元)， 乙种食品成本的年平均下降额为 (120007200)÷2＝2400 (元). 年平均下降额等同于年平均下降率（百分数）吗？ 设甲种食品成本的年平均下降率为 ，则一年后甲种食品成本为元, 两年后甲种食品成本为元，于是有 =6000 解方程，得 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为. 问题：两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 思考1：为什么选择22.5%作为答案？ 因为下降率不可为负，且不大于1. 乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较两种药品成本的年平均下降率. 设乙种食品成本的年平均下降率为 ，则一年后乙种食品成本为元, 两年后乙种食品成本为元，于是有 =7200 解方程，得 根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为. 综上所述，甲乙两种食品成本的年平均下降率相同，都是. 思考2：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 年平均下降额 年平均下降率 甲 2000 22.5% 乙 2400 22.5% 成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大.成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况. 若平均增长(或降低)百分率为 x ， 增长(或降低)前的量是 a ， 增长(或降低) n 次后的量是 b ， 则它们的数量关系可表示为: . 其中增长用“+”表示，降低用“－”表示. 小明同学在2024年秋季升入七年级时的身高是140 cm，小林同学在2024年秋季升入七年级时的身高是145 cm；在2026年秋季升入九年级时小明同学的身高是169.4 cm，小林同学的身高是170 cm，小明和小林谁身高的年平均增长率更大呢？ 解：设小明同学身高的年平均增长率为 x ，小林同学身高的年平均增长率为 y ，则可列得方程：140(1 + x)2 = 169.4 ①，145(1 + y)2 = 170 ②. 解方程①，得 x1 = 0.1 = 10%，x2 = - 2.1 (不符合题意，舍去). 解方程②，得 y1 ≈ 0.08 = 8%，y2 ≈ - 2.08 (不符合题意，舍去). 因为10% ＞ 8%，所以小明同学身高的年平均增长率更大. 传播问题、平均变化率问题 平均变化率问题 常用公式：a(1+x)2=b ； a(1-x)2=b x为平均增长(或下降)率；其中增长取“+”,下降取“－”；a是增长(或下降)前的量；b是增长(或下降)2次后的量. 传播问题 传染传播问题：如果最初有个人感染，每轮传染中平均一个人了 个人，那么 轮传染后有 被传染 树干分支问题：如果主干长出 个支干，每个支干又长出个小分支，那么主干、支干和小分支总共有个. 1.为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请 n 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请 n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程可列为( ) A．(n+1)2＝1641 B．(n﹣1)2＝164 C．n(n+1)＝1641 D．1+n+n2＝1641 D 2.两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是(　　) A. 80(1﹣x2)＝60 B. 80(1﹣x)2＝60 C. 80(1﹣x)＝60 D. 80(1﹣2x)＝60 B 3.某生物实验室需培育一群有益菌. 现有60个活体样本，经过两轮培育后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂成若干个固定数目的有益菌. （1）每轮分裂中一个有益菌可分裂成多少个有益菌？ （2）按照这样的分裂速度，经过三轮培育后共有多少个有益菌？ 解：（1）设每轮分裂中一个有益菌可分裂成x个有益菌. 由题意，得 60x2 =24 000. 解得x1= 20，x2=-20（不合题意，舍去）. 答：每轮分裂中一个有益菌可分裂成20个有益菌. （2）24000×20=480000(个). 答：经过三轮培育后共有480000个有益菌. 4.某市按照《关于切实做好2025年初中毕业升学体育考试工作的通知》的要求，跳绳项目为必选项目，某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售300条，6月份销售432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该跳绳销售量的月增长率； 解：设该跳绳销售量的月增长率为x， 由题意得：300(1+x)2＝432， 整理得，300x2+600x﹣132＝0， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2(不符合题意，舍去)， 答：该跳绳销售量的月增长率为20%； (2)若此种跳绳的进价为30元/条．经过市场调研，当售价为40元/条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，那么该跳绳的实际售价应定为多少元/条？ 解：设该跳绳的售价应定为a元/条，则每条跳绳的销售利润为(a﹣30)元， 月销售量为600﹣(a﹣40)×10＝(1000﹣10a) 条， 由题意得：(a﹣30)(1 000﹣10a)＝10000， 整理得：a2﹣130a+4000＝0，解得：a1＝50，a2＝80， 又∵要尽可能让顾客得到实惠，∴a＝50， 所以该跳绳的售价应定为50元/条， EV录屏3.9.3软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $