5.3 二元一次方程组的应用 教案 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该教案聚焦二元一次方程组的应用，通过古代数学问题、表格分析、线段图三种方法构建解决实际问题的路径。导入结合“雉兔同笼”历史故事、旧知复习和图形问题，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接方程解法与实际应用。 特色在于融合数学文化与多元分析工具，如“雉兔同笼”多解法对比培养抽象能力和创新意识，表格与线段图助力模型思想形成。通过历史问题和生活实例，提升学生应用意识和推理能力，为教师提供结构化教学流程和直观分析策略。

5.3 二元一次方程组的应用 第1课时 二元一次方程组的应用(1) 教学设计 课题 第1课时 二元一次方程组的应用(1) 授课人 教学目标 1.在具体问题的解决过程中提高学生解二元一次方程组的技能。 2．使学生掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤。 3.在列二元一次方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程解决现实问题的意识和应用能力。 4.在用二元一次方程组解决实际问题的过程中，培养应用数学的意识，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣。 教学重点 用二元一次方程组解决实际问题。 教学难点 用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题的过程。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 新课导入 《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何? (1)这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (2)你能列方程解决这个有趣的问题吗? 以数学历史故事为背景引出本节课学习的内容，增强课堂趣味性，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣。 探究新知 1.直接分析数量关系列等量关系 解：(1)①涉及的量：鸡的数量、兔的数量、头的总数、脚的总数。 ②等量关系：鸡头数＋兔头数量＝35， 鸡脚数量 ＋ 兔脚数量 ＝ 94。 （2）设兔有 x 只，鸡有 y 只， 解：设鸡为 x 只,兔为 y 只。则 ①×2 得： 2x＋2y＝70，③ ②-③ 得： 2y＝24， 加减消元法 把 y＝12 代入①，得：x＝23。 原方程组的解是 答：有鸡23只，兔12只。 方法2： 《孙子算经》中记载的算法：金鸡独立，兔子站起。 脚数：94÷2 = 47（只） 头数： 兔：47－35 = 12（只） 鸡：35－12 = 23（只） 方法3： 设免有 x 只，则鸡有(35－x)只， 4x＋2(35－x)＝94 解得 x＝23 即 35－x＝12 答：鸡有 23 只，兔有 12 只。 教师归纳 解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤： (1) 审题：弄清题意和题目中的__数量关系_； (2) 设元：用__字母__表示题目中的未知数； (3) 列方程组：根据__2_个等量关系列出方程组； (4) 解方程组：利用__代入消元__法或__加减消元法__解出未知数的值； (5) 检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答。 2.直接分析数量关系求解简单古代数学题 思考 列方程组求解下面的问题： 若甲从乙处得到 7 第纳尔，则甲拥有的钱数是乙的 5 倍；若乙从甲处得到 5 第纳尔，则乙拥有的钱数是甲的 7 倍。甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔?(选自意大利数学家斐波那契的《计算之书》) 等量关系：甲的钱数＋7＝(乙的钱数－7)×5 乙的钱数＋5＝(甲的钱数－5)×7 （链接例题） 探究 列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系? 体验解决“鸡兔同笼”问题的不同思维过程，通过比较算术方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程组三种方法的优缺点，从而感受方程模型思想的必要性和优越性，并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中，领会列二元一次方程组，思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性。 典例精析 【例（教材P120例1）】今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。问甲、乙怀钱各几何?(选自《张丘建算经》) 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的 10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多 5 倍；如果乙得到甲的 10钱，那么两人钱数相等。甲、乙两人各带了多少钱? 【解析】题目涉及哪些数量关系?你能用含未知量的式子表示这些数量关系吗? 甲的钱币数＋10＝(乙的钱币数－10)×5； 甲的钱币数-10＝乙的钱币数＋10。 【解】设甲带的钱数为 x,乙带的钱数为 y, 根据题意，得 解这个方程组，得 所以，甲带了 38 钱，乙带了 18 钱。 进一步巩固用列二元一次方程组解应用题的思想，以及掌握列二元一次方程组解应用题的方法和步骤。 随堂检测 1.《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重 24 千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重。问：每只鸡、鸭平均各重多少千克?设每只鸡平均重 x 千克，每只鸭平均重 y 千克，根据题意可列出方程组为( A ) 2.《九章算术》中有这样一道题：今有米在十斗桶中，不知其数。满中添粟而舂之，得粟七斗，问故米几何?(粟米之法：粟率五十，粝米三十。)大意为：今有米在容量为 10 斗的桶中，但不知道数量是多少；再向桶加满粟，再舂成米，共得米 7 斗。问原来有米多少斗?(出米率为)请解答上面问题。 解：设原来有米 x 斗，再向桶加粟 y 斗， 由题意得： 解得： 答：原来有米 2.5 斗。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的。 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第1课时 二元一次方程组的应用(1) 习题解析 教学反思 第2课时 二元一次方程组的应用(2) 教学设计 课题 第2课时 二元一次方程组的应用(2) 授课人 教学目标 1.能用表格分析较为复杂问题中的数量关系，建立方程组解决问题。 2.通过列表格来刻画现实数量关系的数学模型，发展模型思想和应用意识。 教学重点 能获取文字信息，利用表格解决较复杂的数量问题，建立等量关系。 教学难点 获取文字信息，建立适当的表格。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 新课导入 1.一种商品进价为 150 元，售价为 165 元，则该商品的利润为__15___元； 2.一种商品进价为 150 元，售价为 165 元，则该商品的利润率为__10%__； 3.一种商品标价为 150 元，打八折后的售价为_120___元； 4.一种商品标价为 200 元，当打__8.5__折后的售价为170 元。 5.某工厂去年的总收入是 x 万元，今年的总产值比去年增加了 20%，则今年的总收入是_(1＋20%)x___万元； 6.若该厂去年的总支出为 y 万元，今年的总支出比去年减少了 10%，则今年的总支出是__(1－10%)y__万元； 7.若该厂今年的利润为 780 万元，那么由 5，6 可得方程___(1＋20%)x－(1－10%)y＝780___。 问题1 增长 (亏损) 率问题的公式？ 原量×(1＋增长率)＝新量 原量×(1－亏损率)＝新量 问题2 银行利率问题中的公式？(利息、本金、利率) 利息＝本金×利率×期数(时间) 本息和＝本金＋利息 利润：总产值－总支出 利润率：(总产值－总支出)/总产值×100% 根据上述公式，我们可以列出二元一次方程组，解决实际问题。 回顾旧知，为本节课的学习做铺垫。 探究新知 1.借助表格分析数量关系列等量关系 某工厂去年的利润（总收入－总支出）为 200 万元.今年总收入比去年增加了 20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润为 780 万元。去年的总收入、总支出各是多少万元? (1)这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (2)你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗?与同伴进行交流。 分析:设去年的总收入为 x 万元，总支出为 y 万元，则有 根据上表,可列方程组: 。 解这个方程组，得 。 因此，去年的总收入是 2 000万元 ，总支出是 1 800万元 。 2.借助表格分析数量关系求解实际问题 （链接例题） 教师归纳 沿用书中的引例，紧扣课题，这道题能够凸显利用表格分析问题的优点，并借助问题串指导学生独立思考、尝试分析。 典例精析 【例(教材P122例2)】 例 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质,每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质, 若病人每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质, 那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要? 【解析】设每餐用甲原料 x g、乙原料各 y g。 则有： 【解】设每餐用甲原料 x g、乙原料各 y g。 根据题意,得 解这个方程组，得 所以，每餐用甲原料 28 g,乙原料 30 g 可以恰好满足患者的需要。 通过例题想让学生由感知表格到认知表格的过程，再次体验用表格分析问题的方法及一般步骤。 随堂检测 1.某中学现有学生 500 人，计划一年后女生在校生增加 3%，男生在校生增加 4%，这样在校学生将增加 3.4%，那么该校现有女生和男生分别是( A ) A．300 人和 200 人 B．200 人和 300 人 C．180 人和 320 人 D．320 人和 180 人 2．用含药 30% 和 75% 的两种防腐药水，配置含药 50% 的防腐药水 18 kg，两种药水各需要 10 kg 和 8 kg。 3．某公司去年的利润(总收入－总支出)为 300 万元。今年总收入比去年增加了 20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润为 1170 万元。则去年的总收入是 3000 万元，去年的总支出是2700 万元。 4．甲、乙两种商品原来的单价和为 100 元。因市场变化，甲商品降价 10%，乙商品提价 40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了 20%。问甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？ 解：设甲种商品原来的单价是 x 元，乙种商品原来的单价是 y 元， 依题意得， 解得 。 答：甲种商品原来的单价是 40 元，乙种商品原来的单价是 60 元。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的。 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第2课时 二元一次方程组的应用(2) 习题解析 教学反思 第3课时 二元一次方程组的应用(3) 教学设计 课题 第3课时 二元一次方程组的应用(3) 授课人 教学目标 1.能用线段图分析较为复杂问题中的数量关系，建立方程组解决问题。 2.通过画线段图刻画现实数量关系的数学模型，发展模型思想和应用意识。 教学重点 能获取文字信息，利用线段图解决较复杂的数量问题，建立等量关系。 教学难点 获取文字信息，画出适当的线段图。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 探究新知 1.画线段图分析数量列等量关系 如图(单位：cm),8 块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少? (1)这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (2)你能列方程组解决这个问题吗? 解：(1)小长方形的宽×3＝小长方形的长； 小长方形的宽×4＝大长方形的宽。 (2)设小长方形的宽为 x cm， 小长方形的长为 y cm, 根据题意，得 ， 解得 , 所以，每块小长方形墙砖的长是 30 cm，宽是 10 cm。 2.画线段图分析数量关系求解实际问题 (链接例题) 探究 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的? 沿用书中的引例，紧扣课题，并借助问题串指导学生独立思考、尝试分析。 典例精析 【例（教材P124例3）】火车以 40 m/s 的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时 30 s ,其中火车全身都在隧道里的时间是 20 s ,求隧道和火车的长度。 【解析】①“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程如图所示： 实际行驶路程为：隧道的长度＋火车的长度 ②“火车全身都在隧道里”的过程如图所示： 实际行驶路程为：隧道的长度－火车的长度 【解】设隧道的长度为 x m,火车的长度为 y m, 根据题意，得 解这个方程组，得 所以，隧道和火车的长度分别是 1 000 m 和 200 m。 【方法总结】利用线段图梳理方法。题目的关键信息，也是一种常用的方法。 通过例题想让学生由感知线段图到认知线段图的过程，再次体验用线段图分析问题的方法及一般步骤。 随堂检测 1.小明从家骑车到学校有一段平路和一段上坡路。在平路、上坡路和下坡路上，他骑车的速度分别为 12 km/h、10 km/h、15 km/h。他骑车从家到学校需要 40 分钟；骑车从学校回家需要 30 分钟。设小明从家到学校的平路有 x km,上坡路有 y km,则依题意所列的方程组是( ) 2.小明骑自行车去某景区，出发时，他先以 8 km/h 的速度走平路，而后又以 4 km/h 的速度上坡到达景区，共用了 1.5 h；返回时，他先以 12 km/h 的速度下坡，而后以 9 km/h 的速度走过平路，回到原出发点，共用了 55 min,求从出发点到景区的路程。 解：设平路为 x km，坡路为 y km， 根据题意，得 ， 解得 , 则 x＋y＝6＋3＝9(km), 答：从出发点到景区的路程是 9 km。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的。 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第3课时 二元一次方程组的应用(3) 习题解析 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $