7.2 认识证明 教案 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该教案聚焦“定义与命题”“定理与证明”核心知识，通过实例引出定义，对比句子判断引出命题，再过渡到定理证明，构建从概念到推理的逻辑学习支架。 特色在于以生活实例和数学概念结合培养抽象能力，通过命题结构分析发展推理意识，规范证明书写提升数学语言表达，例练结合助学生构建逻辑体系，随堂检测让教师及时掌握学情，提升教学效率。

7.2 认识证明 第1课时 定义与命题 教学设计 课题 7.2 第1课时 定义与命题 授课人 教学目标 1. 了解定义、命题的含义，能够准确识别定义和命题. 2. 掌握命题的结构，会区分命题的题设和结论，能将命题改写成“如果……那么……”的形式. 3. 学会判断命题的真假. 4. 通过对定义和命题的学习，培养学生的逻辑思维能力和严谨的数学表达能力. 教学重点 理解定义和命题的概念. 教学难点 区分命题的题设和结论，能将命题改写成“如果……那么……”的形式，会判断命题的真假. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 探究新知 1.定义 为了进行有理有据的证明，必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义. 例如: 1.“具有中华人民共和国国籍的人,叫作中华人民共和国公民” 是“中华人民共和国公民”的定义; 2.“两点之间线段的长度,叫作这两点之间的距离” 是“两点之间的距离”的定义; 3.“无限不循环小数称为无理数”是“无理数”的定义； 4.“有两条边相等的三角形叫作等腰三角形”是“等腰三角形”的定义. 你能发现“定义”的基本形式是怎样的吗? 定义的基本形式都是:“……叫作……”. 2.命题与命题的结构 探究 (1)任何一个三角形一定有一个角是直角;√ (2)对顶角相等;√ (3)无论n为怎样的自然数,式子n2-n+11的值都是质数;√ (4)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;√ (5)你喜欢数学吗? (6)作线段AB=CD. (1)(2)(3)(4)四个句子作出了判断, (5)(6)两个句子没有作出判断. 前四个句子作出了判断.像这样的句子,叫作命题. 你能否给“命题”下个定义呢? 判断一件事情的句子,叫作命题. 命题的概念： 判断一件事情的句子，叫作命题. 注意： 1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题. 如：相等的角是对顶角. 2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题. 如：画线段AB=CD. （链接针对练习） 思考 观察下列命题,这些命题有什么共同的结构特征? (1)如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等; (2)如果a=b,那么a2=b2; (3)如果两个三角形中有两边和一角分别相等,那么这两个三角形全等. 都是用“如果……那么……”的形式叙述的. 每个命题都是由条件和结论两部分组成的. 条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项. “如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. 命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式. 1.“如果”后接的部分是题设, 2.“那么”后接的部分是结论. 如命题：熊猫没有翅膀.改写为： 如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀. 注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套. （链接例1） 3.命题的分类 这几个命题哪些是错误的？哪些是正确的？ 1.如果两个角相等，那么它们是对顶角；× 2.如果a＞b,b＞c,那么a=c；× 3.两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；√ 4.全等三角形的面积相等.√ 我们把正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题． 说明假命题的方法：举反例 使之具有命题的条件，而不具有命题的结论. 通过详细讲解定义的概念和举例，让学生准确理解定义的含义.通过展示不同类型的句子，让学生自主判断哪些是命题，从而引出命题的概念，培养学生的观察和分析能力.详细讲解命题的结构和改写方法，让学生掌握命题的规范表达.通过判断命题的真假，提高学生的逻辑推理能力和对数学知识的理解深度. 典例精析 【针对联系】下列句子都是命题吗？ (1)熊猫没有翅膀. (2)对顶角相等. (3)平行于同一条直线的两条直线平行. 【分析】(1)如果一个动物是熊猫，那么它就没有翅膀. (2)如果两个角是对顶角，那么它们就相等. (3)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【解】都是命题 【例1】 下列命题的条件是什么？结论是什么？ （1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2）如果a＞b,b＞c,那么a=c； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； （4）全等三角形的面积相等. 【解】（1）条件：两个角相等， 结论：它们是对顶角. （2）条件： a＞b,b＞c ， 结论： a=c. （3）条件：两个三角形的两角和其中一角的对边对应相等， 结论：这两个三角形全等. （4）条件：两个三角形全等， 结论：它们的面积相等. 通过例练使学生明确命题的概念和结构，让学生准确理解命题的含义. 随堂检测 1. 下列语句属于定义的是（　C　） A. 直角都相等 B. 作已知角的平分线 C. 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离 D. 两点之间，线段最短 2. 下列各命题的逆命题是真命题的是（　D　） A. 对顶角相等 B. 若x=1，则x2=1 C. 相等的角是同位角 D. 若x=0，则x2=0 3. 下列哪个是假命题（　A　） A. 相等的角是对顶角 B. 在三角形中等角对等边 C. 全等三角形的对应边相等 D. 两点之间，线段最短 4. 下列语句中，不是命题的是（　C　） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 作角A的平分线 D. 内错角相等 5. 下列四个命题中，真命题有（　A　） ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ②三角形的一个外角大于任何一个内角； ③如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2； ④若a2=b2，则a=b. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 命题“如果ab=0，那么a=0”是 假 　命题（填“真”或“假”）. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的. 课堂小结 1. 与学生一起回顾本节课所学的主要内容：定义、命题的概念，命题的结构和分类. 2. 强调定义和命题之间的区别和联系，以及在数学学习中的重要性. 巩固所学知识，加深对本节知识的理解. 作业布置 板书设计 7.2 第1课时 定义与命题 1.定义 定义的基本形式都是:“……叫作……” 2.命题与命题的结构 判断一件事情的句子，叫作命题. 每个命题都是由条件和结论两部分组成的. 命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式. 3.命题的分类 我们把正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题． 教学反思 第2课时 定理与证明 教学设计 课题 7.2 第2课时 定理与证明 授课人 教学目标 1. 理解定理及证明的概念； 2. 知道证明的意义及必要性，了解反例的作用. 教学重点 证明的步骤和格式. 教学难点 掌握综合法证明的逻辑顺序和方法，能够清晰、严谨地进行书面证明表达. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 新课导入 举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？ 通过问答的形式，激发学生的学习兴趣，在回忆旧知识的同时，自然切入本节课所要学习的内容. 探究新知 1.公理与定理的概念 了解《原本》与《几何原本》；了解古希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前300前后)；找出下列各个定义并举例． 1.原名:某些数学名词称为原名. 2.公理:公认的真命题称为公理. 3.证明:除了公理外,其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实.演绎推理的过程称为证明. 4.定理:经过证明的真命题称为定理. ☀归纳总结 本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是： 1.两点确定一条直线. 2.两点之间线段最短. 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行). 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 8.三边分别相等的两个三角形全等. 另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它. 此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质,以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据. 例如，如果a=b，b=c, 那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果a>b，b>c，那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据. 2.证明 证明定理“对顶角相等”（链接例1） 证明的书写格式: 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据. 证明过程的注意事项： 证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”. 这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. （链接针对练习） 通过对课本知识的学习，学生自主归纳出定理的概念，回顾学过的定理，加深对概念的理解.定理不仅揭示了客观事物的本质属性,还可以将它作为进一步判断其他命题真假的依据. 典例精析 【例1】 如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角. 求证：∠AOC =∠BOD. 【证明】∵直线AB与直线CD相交于点O ( 已知 ) ∴ ∠AOB与∠COD都是平角( 平角的定义 ) ∴ ∠AOC＋∠AOD＝180° ∠BOD＋∠AOD＝180°( 补角的定义 ) ∴ ∠AOC =∠BOD ( 同角的补角相等 ) 【针对练习】证明定理 ：同角的补角相等. 已知：∠2是∠1的补角， ∠3是∠1的补角. 求证：∠2=∠3. 【证明】∵∠2是∠1的补角( 已知 ), ∴ ∠2＋∠1=180°( 补角的定义 ). ∴ ∠2＝ 180°－∠1 ( 等式的性质 ). ∵∠3是∠1的补角( 已知 ), ∴ ∠3＋∠1＝180°( 补角的定义 )). ∴ ∠3＝ 180°－∠1 ( 等式的性质 ). ∴ ∠2=∠3( 等量代换 ). 通过例练锻炼学生掌握证明的过程，题设为学生提供了推理的出发点和依据，结论则明确了推理的方向和终点，使学生在进行推理证明时能够有条不紊地组织思路. 随堂检测 1.“两点之间，线段最短”这个语句是（ B ） A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题 2.“同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线”这个语句是（ C ） A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题 3.下列命题中，属于定义的是（ D ） A.两点确定一条直线 B.同角的余角相等 C.互补的两个角是邻补角 D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 4.下列句子中，是定理的是（ B,C ），是公理的是（ A ） A.若a=b，b=c，则a=c； B.对顶角相等 C.全等三角形的对应边相等，对应角相等 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的. 课堂小结 与学生一起回顾本节课所学的主要内容：定理与证明的概念，定理的作用以及如何运用定理进行证明. 巩固所学知识，加深对本节知识的理解. 作业布置 板书设计 7.2 第2课时 定理与证明 1.公理与定理的概念 原名:某些数学名词称为原名. 公理:公认的真命题称为公理. 证明:除了公理外,其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实.演绎推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理. 2.证明 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $