第10讲 直线与圆的位置关系（暑假预习讲义）新高二数学人教B版

第10讲 直线与圆的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：直线与圆位置关系判定 题型 2：由位置关系求参数 题型 3：圆上点求切线方程 题型 4：圆外点求切线方程 题型 5：圆的切线长计算 题型 6：圆的弦长计算 题型 7：直线与圆实际应用 题型 8：直线与圆距离最值 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 直线与圆的位置关系 几何判定法 代数判定法 圆的切线方程 弦长公式 1. 理解直线与圆相交、相切、相离三种位置关系的几何内涵，掌握几何判定法（圆心到直线的距离与半径比较）与代数判定法（联立方程结合判别式），能准确判断直线与圆的位置关系。 2. 掌握圆的切线的核心性质，能求解过圆上一点、圆外一点的切线方程，理解并运用切线长定理解决相关计算问题。 3. 掌握垂径定理的应用，熟练运用弦长公式计算直线被圆截得的弦长，能结合位置关系求解与弦长相关的参数问题。 4. 能运用直线与圆的位置关系知识解决动点距离最值、参数取值范围等综合问题，强化数形结合思想，提升几何分析与代数运算能力。 学习重点：直线与圆位置关系的两种判定方法，圆的切线方程求解，弦长公式的应用。 学习难点：过圆外一点的切线方程求解，直线与圆的综合最值与参数问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由 消元得到一元二次方程，判别式为 图形 即时即练判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【解析】圆中，圆心坐标为，半径， 直线即， 所以圆心到直线的距离， 故该直线与圆相切． 知识点02 直线与圆相交 1．圆的弦长问题 几何法 （常用） 如图所示，设直线被圆截得的弦为，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则有关系式： 代数法 若斜率为的直线与圆相交于两点，则(其中)． 特别地，当时，；当斜率不存在时， 2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用． 即时即练已知直线与圆有公共点，则该圆面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，圆心到直线的距离， 因为，所以， 因为，等号成立时，所以， 得， 则该圆面积的最小值为. 知识点03 直线与圆相切 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线） 即时即练已知圆与直线相切，则的值为（   ） A．或2 B．6或 C． D．2 【答案】C 【解析】将圆的方程化成标准方程为， 因为圆与直线相切， 则有，解得． 题型 1：直线与圆位置关系判定 【典例1-1】（2026·高二·广东深圳·阶段检测）已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】C 【解析】∵点是圆内不同于原点的一点， ， ∵圆心到直线的距离， 故直线和圆相离. 故选：C 【典例1-2】（2026·高二·安徽六安·期末）已知，直线，则直线与的位置关系（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】A 【解析】将代入直线中有，解得， 所以直线恒过点， 代入方程得， 所以点在内部，所以直线与相交， 故选：A 【变式1-1】（2026·高二·广东湛江·期末）直线：与圆C：的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【解析】圆C的圆心坐标为，半径为2， 直线的方程为，圆心到直线的距离为， 所以直线与圆C的位置关系是相交. 故选:A. 【变式1-2】（2026·高二·浙江杭州·期末）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m，r的取值有关 【答案】C 【解析】由直线，可化为，可得直线恒过定点， 又由圆，可得圆心为， 所以直线过圆心，此时直线与圆一定相交. 故选：C. 【变式1-3】（2026·高二·湖南衡阳·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【解析】由圆可知：圆心为，半径， 圆心到直线的距离为，由，则直线与圆相交. 故选：A. 【变式1-4】（2026·高二·上海·期中）设有一组圆（为正整数），现有命题：存在一条定直线与所有的圆均相交；命题：存在一条定直线与所有的圆均不相交；则以下说法正确的是（    ） A．均为真命题 B．均为假命题 C．仅为真命题 D．仅为真命题 【答案】C 【解析】根据题意得：圆心坐标为，半径为， 设圆心，则，则可得， 即圆心始终在直线上， 所以存在直线与所有的圆均相交，命题为真命题； 设圆心到直线的距离为， 则， 若取无穷大，则圆的半径无穷大，且半径的增长速度比快， 则可以认为所有直线都与圆相交， 命题为假命题，故仅为真命题. 题型 2：由位置关系求参数 【典例2-1】（2026·江苏盐城·模拟预测）已知点，，若直线：（）上存在点，使得，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ 点，，， ∴ 由圆周角定理可知，点的轨迹是以为弦，所对圆周角为的两段圆弧，对应弧的圆心角为. 设轨迹圆的半径为，由弦长公式，代入，得，解得. 两段圆弧的圆心均在的垂直平分线上，由勾股定理可得坐标分别为和，对应圆的方程为、. 直线上存在点满足条件，等价于直线与上述两个轨迹圆中符合的圆弧有公共点. 计算圆心到直线的距离： 对圆，圆心到直线的距离. 令，得，结合解得. 对圆，圆心到直线的距离. 令，结合，解得. 综上，当时，直线上存在满足条件的点，即正实数的取值范围为. 【典例2-2】（2026·高二·广东广州·期中）已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，，半径，直线为， 设圆心到直线的距离为，则由点到直线的距离公式，可得， 若圆与直线有2个交点，则，即，解得，所以. 【变式2-1】（2026·高二·河南南阳·阶段检测）已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设．∵， ∴，化简整理，得， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 由题意可知，直线与圆有公共点， ∴，解得． 【变式2-2】（2026·高二·云南红河·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由知圆心为， 因圆心到直线的距离， 作出其图象如下，由图知，要使圆上有且仅有2个点到直线的距离为， 需使，解得． 【变式2-3】（2026·高二·安徽六安·阶段检测）已知圆与直线相切，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】将圆的方程化成标准方程为， 因为圆与直线相切， 则有，解得. 【变式2-4】（2026·高三·宁夏银川·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，即，则， 化简可得， 而，则，即， 即曲线是以为圆心、为半径的圆的一半， 结合题意可绘出图象，如图所示： 当直线过点时，； 当直线与半圆刚好相切时， 圆心到直线距离等于半径，即，解得或（舍去）， 故实数的取值范围是. 故选：B 题型 3：圆上点求切线方程 【典例3-1】（2026·高二·海南省直辖县级单位·开学考试）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆心为，所以， 而切线与垂直，则切线斜率为， 可得所求切线方程为，即. 【典例3-2】（2026·高二·山东·阶段检测）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心为，则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：C. 【变式3-1】（2026·高二·辽宁抚顺·期末）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心为， 则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直， 即， 所以， 则切线的斜率， 所以直线的方程为， 即. 故选：C. 【变式3-2】（2026·高二·河北石家庄·阶段检测）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，由切线与直线垂直， 得：，得：， 又因为切线经过， 所以切线的方程为：， 即. 故选：A 【变式3-3】（2026·高二·云南楚雄·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，因为点在圆上，且， 所以所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为. 故选：D. 【变式3-4】（2026·高二·山西太原·阶段检测）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，因为点在圆上，且， 易知所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为，即. 故选：D. 题型 4：圆外点求切线方程 【典例4-1】（2026·浙江·二模）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 【典例4-2】（2026·高二·贵州毕节·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心是，半径为. 直线过原点，且斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离是，此时直线和圆不相切，故直线斜率不存在时无法成立； 当斜率存在时，设直线方程为：，即， 圆心到直线的距离为，解得， 即，即. 故选：C 【变式4-1】（2026·山东青岛·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆可化为，则圆心，半径为； 设，切线为、，则， 中，， 所以． 所以， 故选：D 【变式4-2】（2026·高二·安徽·阶段检测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 圆的标准形式为， 圆心，半径， 满足，即，点在直线上， 设点，过点作圆的两条切线，切点分别为，， 在圆外， ， 四点共圆，圆的直径为，方程为， 圆， 联立两圆方程得出圆的切点弦方程， 展开整理得， 代入得， ，解得，即直线恒过． 故选：D． 【变式4-3】（2026·高二·重庆荣昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点与圆相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径， 当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 所以，解得，所以直线方程为， 综上，过点与圆相切的直线方程是或. 故选：D. 【变式4-4】过坐标原点，且与圆相切的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径， 由，即原点在圆外，而圆心到轴距离， 因此过原点与此圆相切的直线斜率存在，设切线方程为， 由，解得或，则或， 所以所求切线方程或. 故选：A 题型 5：圆的切线长计算 【典例5-1】（2026·高二·浙江杭州·期中）过点作圆的两条切线，设切点为，，则线段的长为__________． 【答案】 【解析】 如图示，由已知得，，且， 则，即线段的长为. 【典例5-2】（2026·高二·安徽·期中）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 【答案】1 【解析】根据题意，圆的圆心为，半径， 由直线上一点向圆引两条切线，切点为、， 则，，且， 可得， 设的坐标为， 则， 当时，， 则的最小值为1． 故答案为：1. 【变式5-1】（2026·重庆九龙坡·一模）过点作圆的切线，则切线长为___________． 【答案】3 【解析】圆，即的圆心，半径， 点，， 所以所求切线长为. 故答案为：3 【变式5-2】（2026·高二·陕西安康·阶段检测）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则四边形的面积最小值为________. 【答案】 【解析】由题意有：圆，半径为， 所以四边形的面积为：， 当最小时，四边形的面积最小， 又点到直线的距离为：， 所以， 所以四边形的面积最小值为， 故答案为：. 【变式5-3】（2026·高二·福建·阶段检测）点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为_______. 【答案】 【解析】由题意得圆的圆心为， 将化为一般方程，可得， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接， 如图，作出符合题意的图形， 在中，．要使最小，则应最小． 又当与直线垂直时，最小，其最小值为， 故由勾股定理得的最小值为．   故答案为：. 【变式5-4】（2026·高二·河北沧州·期中）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形的面积的最小值为______，直线过定点______. 【答案】 【解析】如图： 因为， 所以只有最小时，四边形的面积有最小值，由点到直线的距离可得， ，所以此时. 再设，则，因四边形在以为直径的圆上， 得圆的方程：，即， 与相减，得直线的方程为，，再由， 所以直线的方程为，，即， 令，得，所以直线过定点. 故答案为：；. 【变式5-5】（2026·高二·浙江舟山·阶段检测）过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则_________． 【答案】 【解析】结合题意，作图如下： 圆的圆心，半径，， 则，， 由圆的对称性可知， 则，解得. 故答案为：. 题型 6：圆的弦长计算 【典例6-1】（2026·高二·上海·阶段检测）已知直线：和圆：相交于A、B两点，则弦长______． 【答案】 【解析】圆方程可化为，圆心，半径. 弦心距， 所以. 【典例6-2】（2026·广西桂林·一模）轴被圆截得的弦长为_____. 【答案】 【解析】因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到轴的距离为，则轴被圆截得的弦长为. 【变式6-1】（2026·高二·安徽合肥·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，若直线与被圆所截得的弦长均为2，则圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】两平行直线，均与直线垂直， 且交点分别为，， 所以圆心为的中点，所以， 点到直线的距离， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为. 【变式6-2】已知圆的圆心为直线与的交点，半径为，且圆截直线所得弦的长度为4，则实数________． 【答案】 【解析】联立解得 ∴圆的圆心坐标为． 圆心到直线的距离， 且圆的半径，圆截直线所得弦的长度为4． 由，解得． 【变式6-3】（2026·高二·安徽芜湖·阶段检测）已知圆，直线与圆的交点为.若，则__________. 【答案】2 【解析】圆的圆心为， 则圆心到直线的距离， 则，可得. 【变式6-4】（2026·高二·上海·期中）若直线被圆截得的弦长为6，则的值为___ 【答案】 【解析】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离，依题意，， 因此，所以. 题型 7：直线与圆实际应用 【典例7-1】（2026·高二·辽宁大连·期中）树林的边界是直线l（如图所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线上的点A和点B处，（a为正常数），若兔子沿方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段方向以速度μ进行追击（μ为正常数），若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子.则兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积为__________；若兔子要想不被狼吃掉，则的取值范围为_____________ 【答案】 【解析】建立如图所示直角坐标系，设， 由，即，整理得， 所以M在以为圆心，半径为的圆及其内部， 所以； 设，由题意该直线与所在的圆相离， 由，得， 所以，由图知. 故答案为：. 【典例7-2】（2026·高二·广东广州·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期．某拱桥及其示意图如下，桥拱APB是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与OP相距a m的支柱，则a=________． 【答案】15 【解析】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设，则 ，在中，根据勾股定理可得，解得 中，， 根据勾股定理可得：，解得 故答案为： 【变式7-1】（2026·高二·广西·期中）已知某岛屿正西方向处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为.距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿所在地受到影响的持续时间为______小时. 【答案】 【解析】如图，设直角坐标系的原点为台风中心，轴正半轴上存在岛屿， 且台风中心在第一象限沿着直线运动， 以为圆心，以为半径的圆与直线交于两点， 因为点到直线的距离， 则， 则岛屿所在地受到影响的持续时间为小时. 故答案为： 【变式7-2】（2026·高二·江西·阶段检测）某海面有一台风，当前台风中心位于轮船的正南方的处，台风以的速度向正东方向移动，台风侵袭的区域为圆形区域，半径为，轮船以的速度向东南方向航行，若将轮船视为一个质点，则台风侵袭轮船的时长为______小时. 【答案】10 【解析】以为坐标原点，台风移动的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则小时后，台风侵袭的区域对应的圆的方程为，圆心， 此时轮船的位置为， 则台风侵袭轮船等价于， 所以，解得， 所以台风侵袭轮船的时长为小时. 故答案为：10. 【变式7-3】（2026·高三·山东青岛·开学考试）在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为___________小时． 【答案】5 【解析】如图所示，可设台风中心初始位置为，气象台为，， 以A为圆心，为半径作圆A交台风运动轨迹于C、D两点，CD为圆A的弦， 而台风向北偏东移动，可知， 过作BD的垂线，垂足为E， 在直角中，，则， 在直角中，由勾股定理得， 所以， 故持续时间为小时． 故答案为：5． 【变式7-4】（2026·高二·江苏扬州·期末）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为____________m．（精确到0.01m）参考数据：    【答案】0.65 【解析】 以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为 ，              设圆拱所在的圆的方程是， 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得，                         故圆拱所在的圆的方程是，                       将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为0.65m． 故答案为：0.65 题型 8：直线与圆距离最值 【典例8-1】（多选题）（2026·高二·新疆伊犁·期末）已知动点满足，则（   ） A．x的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为1 【答案】ACD 【解析】可整理为， 设，故点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 对于A：点的横坐标最大值为，故A正确； 对于B：的几何意义为动点（即圆上一点）到点的距离. 易知，当点位于点与点的连线与圆的交点时， 此时点到点的距离最短，最短距离， 即的最小值为， 故的最小值为，故B错误； 对于C：的几何意义为动点（即圆上一点）与连线所在直线的斜率. 设，易知，当直线过点且与圆相切于轴上方时， 动点与连线所在直线的斜率最大，即最大， 易知此时，又由相切可知，， 故，故， 因此的最大值为1，故C正确； 对于D：的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离. 易知，动点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离， 再减半径，即， 因此的最小值为，故的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 【典例8-2】（多选题）（2026·高二·浙江杭州·期中）已知点，，点在圆:上运动，则（   ） A．直线与圆相离 B．的最大值为 C．的面积的最小值为 D．圆半径为2 【答案】ACD 【解析】 对于A ，圆的方程为， 圆心的坐标为，半径为， ，， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 直线与圆相离，故A正确； 对于B，，， ，故B错误； 对于C，，， ， 圆心到直线的距离， 点到直线的距离的最小值为， 面积的最小值为，故C正确； 对于D，圆的方程为， 圆心的坐标为，半径为，故D正确. 【变式8-1】（多选题）（2026·高二·福建福州·期末）已知点都在圆上，点，则（    ） A．线段是圆的直径 B．圆的方程为 C．对于任意，圆上都存在点，使得 D．若在圆外，则的取值范围是 【答案】AB 【解析】设圆的方程为，， 由三点，，在圆上， 所以，解得， 所以圆的方程为， 故圆的方程为，圆心为，半径， 对于A，线段的中点为，与圆心重合，所以线段是圆的直径，故A正确； 对于B，由上述计算可知，圆的方程为，故B正确； 对于C，若时，点与点不重合， 对于圆上一点，若，则， ，， 则，化简得，此为过原点的圆， 点P为圆与该圆的交点，两圆方程相减得公共弦所在直线方程为， 当时，，此时或， 即满足的点只有和，故此时不存在满足条件的点， 因此，命题“对于任意，圆上都存在点，使得”为假命题，故C错误； 对于D，点在圆外，则点D到圆心的距离大于半径，即， 解得，即，解得或，故D错误. 故选：AB 【变式8-2】（多选题）（2026·高二·重庆·阶段检测）已知直线 与圆 相交于 、 两点，则（   ） A．直线过定点 B．圆的周长为 C．当 ，则 D．圆心到直线的最大距离为 2 . 【答案】BCD 【解析】 对A，由可得，，所以直线l过定点，A错误； 对B，圆C：的圆心为半径， 所以圆的周长为，B正确； 对C，设圆心到直线的距离为，因为，所以， 所以，解得，C正确； 对D，设l过定点，则，当时，圆心C到直线l的距离最大，最大为，D正确； 故选：BCD. 【变式8-3】（多选题）（2026·高二·广东·阶段检测）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 【答案】ABD 【解析】曲线的方程可化为，它表示圆心为，半径为的圆. 对于A，表示圆上的点到原点的距离的平方， 则它的最小值为， 此时的最小值是 ，故A正确； 对于B，表示圆上的点与点的连线的斜率， 则该直线的方程为，即 由圆心到直线的距离， 解得，故B正确； 对于C，设是曲线上任意一点， 则到直线的距离为， 所以表示曲线上任意一点到直线的距离的倍， 而圆心到直线的距离， 所以其最小值为，故C错误； 对于D，因为点在圆上， 的斜率为，则过点的切线斜率为， 故切线方程为，即，故D正确. 故选：ABD. 【变式8-4】（多选题）（2026·高二·河北邢台·期中）直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆：上，则（   ） A．面积的最大值是 B．面积的最小值是 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【解析】对于AB：因为直线分别与轴、轴交于，两点， 所以，，则． 因为点在圆：上，圆心为，半径为1， 所以圆心到直线的距离， 则点到直线的距离的范围为， 则，所以面积的最大值是， 最小值为，A正确，B错误． 当最大或最小时，与圆相切，连接， 可知，，， 由勾股定理可得，CD均正确． 故选：ACD. 1．（2026·高二·江西九江·阶段检测）已知点是圆上的动点，则直线的倾斜角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由的圆心为，半径为，易知直线斜率不为0， 令直线，若其与圆相切，则，即，所以， 相切情况下直线方程为，如图所示， 由直线倾斜角范围为，则直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B 2．（2026·高二·河南·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 3．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【解析】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【解析】直线过定点， 曲线，即表示以原点为圆心，2为半径的上半圆， 点在半圆内，当且仅当时，线段的长最短， 所以. 5．（2026·高三·云南楚雄·阶段检测）自点发出的光线所在直线与圆相切，则满足条件的的斜率之和为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】由，整理得， 故圆心，半径， 设的方程为，则到该直线的距离. 化简得， 则该方程有两个不同的解，且. 6．（2026·高二·广东广州·期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原方程：，配方整理， 所以圆心为 ，半径 （需满足 ，即 ）, 圆心 到直线的距离是 由弦长公式，得 ，得, 由 ，得. 7．（2026·高二·湖北·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径． 将直线的方程整理为关于的式子：． 令，解得，即直线恒过定点． 由于恒过定点，故当时，直线被圆截得的弦最短． 计算． 最短弦长 8．（2026·高三·江西·阶段检测）已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段MN中点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】圆：，即的圆心，半径， 由点为线段MN的中点，得，且， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而点在直线上， 则圆心到直线的距离，， 所以的最小值为3. 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】直线过定点， 圆的标准方程为，则圆心为，半径为. 定点在圆内，当时，直线与圆相交所得弦长最短. 因为，所以直线的斜率为1，故，解得. 10．（多选题）（2026·高二·陕西商洛·期末）已知直线，圆，点在圆C上，则下列说法正确的是（    ） A．直线l过定点 B．圆心C到直线l距离的最大值是1 C．直线l被圆C截得的最短弦长为 D．的取值范围为 【答案】ACD 【解析】对于A选项，直线的方程可化为，由可得， 所以直线l过定点，A正确； 对于B选项，设圆心到直线的距离为，记点， 当时，此时取最大值，即， 故圆心到直线距离的最大值是，B错误； 对于C选项，设直线被圆截得的弦长为，则， 当取最大值，取最小值，则， 故直线被圆截得的弦长最小值为，C正确； 对于D选项，令，则， 圆心到直线的距离为， 化简可得：，解得：， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 11．（多选题）（2026·高二·四川南充·期中）对于直线，下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率有可能不存在 B．直线恒过定点 C．直线的倾斜角有可能是 D．直线与圆相交 【答案】BCD 【解析】直线方程整理为. 对于选项A：直线方程中的系数恒为，直线斜率始终存在，故A错误. 对于选项B：令，可得，因此，直线恒过定点，故B正确. 对于选项C：若倾斜角为，则斜率，由， 得，存在实数解，故C正确. 对于选项D：圆的圆心为，半径， 定点满足，即定点在圆内， 因此，过圆内定点的直线必与圆相交，故D正确. 12．（多选题）（2026·高二·云南玉溪·期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，，，其“欧拉线”为，圆：，则（ ） A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为 B．若直线被圆截得的弦长为2，则 C．若圆上有且只有两个点到的距离都为1，则 D．存在，使圆上有三个点到的距离都为1 【答案】ABC 【解析】由题意，的三个顶点坐标分别为，，， 在圆中，，半径，. A项，过作圆的切线，切点为，如图所示， 所以，在中，由勾股定理得， 所以当时，取最小值，，故A正确； B项，重心坐标，即， 所在直线：，即. 又线段的中点，所以的垂直平分线为：， 同理可得，的垂直平分线为：， 联立，解得：，所以外心 因为的“欧拉线”为，所以过和， 故直线：，即， 又直线被圆截得的弦长为2，恰好为圆的直径，所以直线过圆心， 所以，即，B正确； C项，因为圆上有且只有两个点到的距离都为1， 所以圆心到直线：即的距离小于直径. 即，解得：，故C正确； D项，结合几何知识得，圆上不可能有三个点到直线的距离均为半径1，故D错误. 13．（多选题）（2026·高二·云南昆明·期中）阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的有（    ） A．曲线的方程为 B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 【答案】AD 【解析】对于A，设，因为，且点满足， 可得，即， 可得， 整理得，即曲线的方程为，所以A正确； 对于B，由曲线的方程为，可得其圆心，半径为， 设过点的直线的斜率为，则其直线方程为，即， 若直线与圆有公共点，则满足圆心到直线的距离小于等于半径，即， 可得，解得，即直线的斜率范围是，所以B错误； 对于C，由圆心到直线的距离为， 则曲线上的点到直线的最小距离为，所以C不正确； 对于D，由圆心到点的距离为， 根据圆的切线长公式，可得切线长为，所以D正确. 14．（2026·高二·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【答案】 【解析】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等， 所以点在圆上， 由圆的标准方程，得圆心的坐标为， ，所以切线斜率为1， 所以过点的切线方程为，即． 15．（2026·高二·上海宝山·期末）已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】因为， 所以，， 所以在圆上，在直线上， 要求的最小值， 即求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值， 又因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最短距离为， 所以的最小值为. 16．（2026·重庆·三模）若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为， 其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图. 当直线与该曲线相切时，点到直线的距离， 解得，设，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则实数， 即实数的取值范围是. 17．（2026·高二·上海浦东新·期末）已知圆经过原点和点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【解析】（1）因为圆心在直线上，设圆心， 由得， 化简得，解得， 故圆心，半径， 圆的标准方程为 （2） 圆心到直线的距离为，由弦长公式 ， 得，解得， 当直线斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为， 整理得， 由点到直线距离公式可得，解得 ， 直线的方程为； 综上直线的方程为或. 18．（2026·高二·福建厦门·期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①与直线垂直；②直线的一个方向向量为；③与直线 平行.已知直线过点，______. (1)求直线的一般方程； (2)若直线与圆相交于P、Q，求弦长|PQ|. 【解析】（1）选①；因为直线的斜率为，且直线与直线垂直，所以直线的斜率为 依题意，直线的方程为.即 选②:因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为， 依题意，直线的方程为，即； 选③:因为直线的斜率为，又因为直线与平行， 所以直线的斜率为 依题意，直线的方程为，即 （2）圆的圆心到直线的距离为 由圆的半径为，可知 19．（2026·高二·上海闵行·期末）如图，正方形区域边长为， 距 、 的距离都为 ， 距 、 的距离都为 ，有一个圆形跑道经过 、 两点． (1)建立适当的坐标系，求圆形跑道圆心所在的直线方程； (2)若直线与该圆形跑道有且只有一个交点，求圆形跑道的周长（结果保留两位小数）． 【解析】（1）如图以 为原点， 为 轴， 为轴建立平面直角坐标系. 则 ， ， ， ， . ∵圆形跑道经过 、 两点， ∴圆心在线段 的垂直平分线上. ∵ ， ∴线段 的垂直平分线的斜率为 . ∵ 中点坐标为 ， ∴线段 的垂直平分线的方程为 ，即 . ∴圆形跑道圆心所在的直线方程为 . （2）∵直线 与该圆形跑道有且只有一个交点， ∴直线 与该圆相切，即圆心到轴距离为半径 . 设圆心为 ，则. ∴，即 . 解得，则. ∴圆形跑道的周长为 或 . 20．（2026·高二·贵州毕节·期中）已知直线（），圆． (1)当时，判断直线与圆的位置关系，若直线与圆相交，求出弦长；若直线与圆相离，求圆上的点到直线距离的最值； (2)圆上恰有两个点到直线的距离为，求b的取值范围． 【解析】（1）将圆的方程配方化为标准形式， 可得圆心，半径. 当时，直线整理为， 圆心到直线的距离， 因为，因此，直线与圆相离. 圆上点到直线距离的最小值为， 最大值为. （2）直线整理为，圆心到直线的距离，由得. 圆上恰有两个点到直线距离为，因此，， 代入得，， 解得，所以的取值范围是. 21．（2026·高一·重庆·期中）已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 【解析】（1）由题意得 ，则点在圆外，故有条切线， 若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为， 即 ，解得， 所以切线的方程为，即. 综上，切线的方程为或. （2）如图，由圆心到直线的距离为 ，可得直线与圆相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值， 由图知，当时，最小，最小值恰为点到直线的距离， 故的最小值为. 22．（2026·高二·湖南岳阳·期末）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 【解析】（1）由直线，整理成， 由，解得，则直线恒过定点 （2）根据题意，圆. 则圆的标准方程，圆心为，半径. 若直线与圆相切，则有，解得， 即当时，直线与圆相切． （3）设圆心到直线的距离为， 依题意，有，即，解得， 又由，解得或. 直线的方程为或. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 直线与圆的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：直线与圆位置关系判定 题型 2：由位置关系求参数 题型 3：圆上点求切线方程 题型 4：圆外点求切线方程 题型 5：圆的切线长计算 题型 6：圆的弦长计算 题型 7：直线与圆实际应用 题型 8：直线与圆距离最值 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 直线与圆的位置关系 几何判定法 代数判定法 圆的切线方程 弦长公式 1. 理解直线与圆相交、相切、相离三种位置关系的几何内涵，掌握几何判定法（圆心到直线的距离与半径比较）与代数判定法（联立方程结合判别式），能准确判断直线与圆的位置关系。 2. 掌握圆的切线的核心性质，能求解过圆上一点、圆外一点的切线方程，理解并运用切线长定理解决相关计算问题。 3. 掌握垂径定理的应用，熟练运用弦长公式计算直线被圆截得的弦长，能结合位置关系求解与弦长相关的参数问题。 4. 能运用直线与圆的位置关系知识解决动点距离最值、参数取值范围等综合问题，强化数形结合思想，提升几何分析与代数运算能力。 学习重点：直线与圆位置关系的两种判定方法，圆的切线方程求解，弦长公式的应用。 学习难点：过圆外一点的切线方程求解，直线与圆的综合最值与参数问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由 消元得到一元二次方程，判别式为 图形 即时即练判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 知识点02 直线与圆相交 1．圆的弦长问题 几何法 （常用） 如图所示，设直线被圆截得的弦为，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则有关系式： 代数法 若斜率为的直线与圆相交于两点，则(其中)． 特别地，当时，；当斜率不存在时， 2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用． 即时即练已知直线与圆有公共点，则该圆面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 知识点03 直线与圆相切 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线） 即时即练已知圆与直线相切，则的值为（   ） A．或2 B．6或 C． D．2 题型 1：直线与圆位置关系判定 【典例1-1】（2026·高二·广东深圳·阶段检测）已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【典例1-2】（2026·高二·安徽六安·期末）已知，直线，则直线与的位置关系（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【变式1-1】（2026·高二·广东湛江·期末）直线：与圆C：的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【变式1-2】（2026·高二·浙江杭州·期末）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m，r的取值有关 【变式1-3】（2026·高二·湖南衡阳·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【变式1-4】（2026·高二·上海·期中）设有一组圆（为正整数），现有命题：存在一条定直线与所有的圆均相交；命题：存在一条定直线与所有的圆均不相交；则以下说法正确的是（    ） A．均为真命题 B．均为假命题 C．仅为真命题 D．仅为真命题 题型 2：由位置关系求参数 【典例2-1】（2026·江苏盐城·模拟预测）已知点，，若直线：（）上存在点，使得，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高二·广东广州·期中）已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高二·河南南阳·阶段检测）已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高二·云南红河·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高二·安徽六安·阶段检测）已知圆与直线相切，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式2-4】（2026·高三·宁夏银川·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型 3：圆上点求切线方程 【典例3-1】（2026·高二·海南省直辖县级单位·开学考试）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高二·山东·阶段检测）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高二·辽宁抚顺·期末）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高二·河北石家庄·阶段检测）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高二·云南楚雄·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2026·高二·山西太原·阶段检测）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 题型 4：圆外点求切线方程 【典例4-1】（2026·浙江·二模）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【典例4-2】（2026·高二·贵州毕节·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·山东青岛·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高二·安徽·阶段检测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高二·重庆荣昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点与圆相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 【变式4-4】过坐标原点，且与圆相切的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型 5：圆的切线长计算 【典例5-1】（2026·高二·浙江杭州·期中）过点作圆的两条切线，设切点为，，则线段的长为__________． 【典例5-2】（2026·高二·安徽·期中）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 【变式5-1】（2026·重庆九龙坡·一模）过点作圆的切线，则切线长为___________． 【变式5-2】（2026·高二·陕西安康·阶段检测）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则四边形的面积最小值为________. 【变式5-3】（2026·高二·福建·阶段检测）点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为_______. 【变式5-4】（2026·高二·河北沧州·期中）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形的面积的最小值为______，直线过定点______. 【变式5-5】（2026·高二·浙江舟山·阶段检测）过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则_________． 题型 6：圆的弦长计算 【典例6-1】（2026·高二·上海·阶段检测）已知直线：和圆：相交于A、B两点，则弦长______． 【典例6-2】（2026·广西桂林·一模）轴被圆截得的弦长为_____. 【变式6-1】（2026·高二·安徽合肥·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，若直线与被圆所截得的弦长均为2，则圆的标准方程为______. 【变式6-2】已知圆的圆心为直线与的交点，半径为，且圆截直线所得弦的长度为4，则实数________． 【变式6-3】（2026·高二·安徽芜湖·阶段检测）已知圆，直线与圆的交点为.若，则__________. 【变式6-4】（2026·高二·上海·期中）若直线被圆截得的弦长为6，则的值为___ 题型 7：直线与圆实际应用 【典例7-1】（2026·高二·辽宁大连·期中）树林的边界是直线l（如图所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线上的点A和点B处，（a为正常数），若兔子沿方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段方向以速度μ进行追击（μ为正常数），若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子.则兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积为__________；若兔子要想不被狼吃掉，则的取值范围为_____________ 【典例7-2】（2026·高二·广东广州·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期．某拱桥及其示意图如下，桥拱APB是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与OP相距a m的支柱，则a=________． 【变式7-1】（2026·高二·广西·期中）已知某岛屿正西方向处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为.距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿所在地受到影响的持续时间为______小时. 【变式7-2】（2026·高二·江西·阶段检测）某海面有一台风，当前台风中心位于轮船的正南方的处，台风以的速度向正东方向移动，台风侵袭的区域为圆形区域，半径为，轮船以的速度向东南方向航行，若将轮船视为一个质点，则台风侵袭轮船的时长为______小时. 【变式7-3】（2026·高三·山东青岛·开学考试）在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为___________小时． 【变式7-4】（2026·高二·江苏扬州·期末）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为____________m．（精确到0.01m）参考数据：    题型 8：直线与圆距离最值 【典例8-1】（多选题）（2026·高二·新疆伊犁·期末）已知动点满足，则（   ） A．x的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为1 【典例8-2】（多选题）（2026·高二·浙江杭州·期中）已知点，，点在圆:上运动，则（   ） A．直线与圆相离 B．的最大值为 C．的面积的最小值为 D．圆半径为2 【变式8-1】（多选题）（2026·高二·福建福州·期末）已知点都在圆上，点，则（    ） A．线段是圆的直径 B．圆的方程为 C．对于任意，圆上都存在点，使得 D．若在圆外，则的取值范围是 【变式8-2】（多选题）（2026·高二·重庆·阶段检测）已知直线 与圆 相交于 、 两点，则（   ） A．直线过定点 B．圆的周长为 C．当 ，则 D．圆心到直线的最大距离为 2 . 【变式8-3】（多选题）（2026·高二·广东·阶段检测）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 【变式8-4】（多选题）（2026·高二·河北邢台·期中）直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆：上，则（   ） A．面积的最大值是 B．面积的最小值是 C．当最小时， D．当最大时， 1．（2026·高二·江西九江·阶段检测）已知点是圆上的动点，则直线的倾斜角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·河南·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 5．（2026·高三·云南楚雄·阶段检测）自点发出的光线所在直线与圆相切，则满足条件的的斜率之和为（    ） A． B． C． D．1 6．（2026·高二·广东广州·期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·湖北·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高三·江西·阶段检测）已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段MN中点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 10．（多选题）（2026·高二·陕西商洛·期末）已知直线，圆，点在圆C上，则下列说法正确的是（    ） A．直线l过定点 B．圆心C到直线l距离的最大值是1 C．直线l被圆C截得的最短弦长为 D．的取值范围为 11．（多选题）（2026·高二·四川南充·期中）对于直线，下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率有可能不存在 B．直线恒过定点 C．直线的倾斜角有可能是 D．直线与圆相交 12．（多选题）（2026·高二·云南玉溪·期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，，，其“欧拉线”为，圆：，则（ ） A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为 B．若直线被圆截得的弦长为2，则 C．若圆上有且只有两个点到的距离都为1，则 D．存在，使圆上有三个点到的距离都为1 13．（多选题）（2026·高二·云南昆明·期中）阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的有（    ） A．曲线的方程为 B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 14．（2026·高二·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 15．（2026·高二·上海宝山·期末）已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 16．（2026·重庆·三模）若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 17．（2026·高二·上海浦东新·期末）已知圆经过原点和点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 18．（2026·高二·福建厦门·期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①与直线垂直；②直线的一个方向向量为；③与直线 平行.已知直线过点，______. (1)求直线的一般方程； (2)若直线与圆相交于P、Q，求弦长|PQ|. 19．（2026·高二·上海闵行·期末）如图，正方形区域边长为， 距 、 的距离都为 ， 距 、 的距离都为 ，有一个圆形跑道经过 、 两点． (1)建立适当的坐标系，求圆形跑道圆心所在的直线方程； (2)若直线与该圆形跑道有且只有一个交点，求圆形跑道的周长（结果保留两位小数）． 20．（2026·高二·贵州毕节·期中）已知直线（），圆． (1)当时，判断直线与圆的位置关系，若直线与圆相交，求出弦长；若直线与圆相离，求圆上的点到直线距离的最值； (2)圆上恰有两个点到直线的距离为，求b的取值范围． 21．（2026·高一·重庆·期中）已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 22．（2026·高二·湖南岳阳·期末）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $