第12讲 曲线与方程（暑假预习讲义）新高二数学人教B版

第12讲 曲线与方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：曲线方程的基本概念 题型 2：判断点与曲线的位置关系 题型 3：根据方程确定曲线图形 题型 4：由方程分析曲线的性质 题型 5：求解两曲线的交点问题 题型 6：求平面内的轨迹方程 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 曲线与方程的定义 方程的曲线 点与曲线的位置关系 曲线的图形识别 曲线的几何性质 两曲线的交点 轨迹方程 1. 理解曲线与方程的概念，明确 “方程的曲线” 与 “曲线的方程” 的对应关系，理解其纯粹性与完备性两层核心含义。 2. 掌握点与曲线位置关系的判定方法，能判断点是否在给定曲线上，能代入方程验证或求解相关参数。 3. 能根据曲线方程识别对应的图形特征，通过方程分析曲线的范围、对称性等基本几何性质。 4. 掌握联立方程求两曲线交点的方法，能求解两曲线的交点坐标，判断交点的个数。 5. 掌握求平面轨迹方程的基本方法，能运用直接法、相关点法等求解简单的轨迹方程，体会数形结合与转化化归的数学思想。 学习重点：曲线与方程的概念内涵、点与曲线的位置关系判定、轨迹方程的求解方法、两曲线交点的计算。 学习难点：对曲线与方程等价关系的深度理解、轨迹方程求解过程中的等价变形与范围限定、复杂轨迹问题的思路构建。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系： 1．曲线上的点的坐标都是方程的解； 2．以方程的解为坐标的点都在曲线上． 则称曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程． 即时即练已知曲线的方程为，则下列各点中，在曲线上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将四个选项中点的坐标分别代入曲线的方程的左边代数式， 对于A，，不是曲线的方程的解，即点不在曲线C上； 对于B，，是曲线的方程的解，即点在曲线C上； 对于C，，不是曲线的方程的解，即点不在曲线C上； 对于D，，不是曲线的方程的解，即点不在曲线C上. 故选：B. 知识点02 两曲线的交点 己知两条曲线和的方程分别为，求两条曲线和的交点坐标，只要联立两个方程得方程组，求方程组的实数解就可以得到． 即时即练曲线与的交点是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】直接联立方程，消去得， 解得或（舍去）， 所以或，即两曲线的交点为和. 故选：D 知识点03 点的轨迹方程 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 即时即练已知，则的圆心的轨迹方程为__________. 【答案】 【解析】圆的方程可化为， 设圆心的坐标为，则满足， 由，得，且， 所以，圆心的轨迹方程为. 故答案为：. 知识点04 求动点M轨迹方程的一般步骤 1．设动点的坐标为（如果没有平面直角坐标系，需先建立）； 2．写出要满足的几何条件，并将该几何条件用的坐标表示出来； 3．化简并检验所得方程是否为的轨迹方程． 求轨迹常见的方法——相关点法： 已知点在已知曲线上，动点随的变化而变化，形成轨迹，把称作主动点，点称作被动点． 求动点轨迹方程的＂相关点法（代入法）＂步骤： （1）设点：的坐标为，点的坐标为； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系，用表示； （3）代入（换）：将代入已知曲线方程，便可得到所求轨迹方程． 即时即练已知过原点的动直线与圆交于不同的两点. (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)求线段的中点的轨迹的方程； (3)若直线与曲线有公共点，直接写出的取值范围. 【解析】（1）圆由得. ∴圆心坐标为，半径为2. （2）设，可知，，即，整理可得：. 联立，消去y得，解得，即两圆交点的横坐标为. 因为是线段的中点，所以点在圆的内部，故可得：横坐标的取值范围为.如图： 所以轨迹方程为 （3）因为直线与曲线有公共点， 所以圆到直线的距离，，，解得. 当时，联立与，消去y得，解得， 当时，同理可得. 即直线与曲线C相切时的切点的横坐标为，如图： 所以直线与曲线有公共点，的取值范围是 题型 1：曲线方程的基本概念 【典例1-1】（2026·安徽安庆·二模）已知曲线，直线，若与有三个交点，且一个交点平分另两个交点连成的线段，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】显然与交于点，由，得，得或，设另外两个点为，则，不妨设，已知一个交点平分另两个交点连成的线段， 当时，，此时，则，不合题意； 当时，，得，解得. 又，所以不成立， 故选：A. 【典例1-2】（2026·高二·上海·期中）下列各组两个方程表示相同曲线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】A：过原点，而不过原点，不是同一曲线； B：，显然与不是同一曲线； C：由，即有，故为同一曲线； D：由，而中，故不是同一曲线. 故选：C 【变式1-1】已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（    ） A．曲线上的点的坐标都满足方程 B．坐标不满足的点都不在曲线上 C．不在曲线上的点的坐标必不满足 D．不在曲线上的点的坐标有些满足，有些不满足 【答案】C 【解析】对ABD，根据题意可以举例方程为， 曲线为单位圆，可知方程表示的曲线为曲线的一部分， 则曲线上的点的坐标不是都满足方程，故A错误； 坐标不满足的点可以在曲线上，故B错误； 不在曲线上的点的坐标都不满足，故D错误； 对C，而不在曲线上的点的坐标必不满足，故C正确． 故选：C. 【变式1-2】（2026·高二·上海·期末）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（    ） A．曲线C上的点的坐标都适合方程 B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程 C．凡坐标不适合方程的点都不在曲线C上 D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程 【答案】B 【解析】由于“坐标满足方程的点都在曲线C上”与“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程”互为逆否命题， 所以“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程”是正确的，故B对，D错； 对于点集而言， 不满足，但它仍然属于在曲线C上（仍然属于点集合），故A、C错误. 故选：B. 【变式1-3】（2026·高二·贵州遵义·期末）设方程表示的曲线是（    ） A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 【答案】D 【解析】由，可得， 则由，可得， 则方程表示的曲线是一条直线. 故选：D 题型 2：判断点与曲线的位置关系 【典例2-1】下列所给点中，在方程表示的曲线上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为曲线方程， 对于选项A：代入，有，即点不在曲线上，故A错误； 对于选项B：代入，有，即点不在曲线上，故B错误； 对于选项C：代入，有，即点在曲线上，故C正确； 对于选项D：代入，有，即点不在曲线上，故D错误； 故选：C. 【典例2-2】（2026·高二·全国·单元测试）已知点在曲线上，则实数（    ） A． B．或2 C．或3 D．或 【答案】C 【解析】因为点在曲线上， 所以， 即，解得或． 故选：C 【变式2-1】（2026·高二·北京·阶段检测）曲线经过的一点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，，， 只有A满足． 故选：A． 【变式2-2】（2026·高二·北京延庆·期末）方程表示的曲线经过的一点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时可得 所以方程表示的曲线经过的一点是， 且其它点都不满足方程， 故选：C 【变式2-3】设曲线和的交点为P，那么曲线必定（ ） A．经过P点 B．经过原点 C．不一定经过P点 D．经过P点和原点 【答案】A 【解析】设曲线和的交点为P的坐标为， 因此有且，因此， 所以曲线必定经过P点， 故选：A 【变式2-4】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知点在曲线上，则在点，，，中，也在该曲线上的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】由在该曲线上，知：， ∴， 故，，，都在曲线上. 故选：D. 题型 3：根据方程确定曲线图形 【典例3-1】（2026·高二·湖北孝感·期末）曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出的下列结论中正确的个数为（    ） ①曲线关于坐标轴和直线均对称； ②曲线恰好经过8个整点（即横､纵坐标均为整数的点）； ③曲线围成的图形的面积是； ④曲线上任意两点间的距离的最大值为4； ⑤若是曲线上任意一点，则的最小值是2. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】当时，曲线， 整理化简可得，表示圆心为半径为的半圆， 同理可得当时，，表示圆心为半径为的半圆， 当时，，表示圆心为半径为的半圆， 当时，，表示圆心为半径为的半圆， 作出曲线图形如图所示 ， 对于①，由图象可得，曲线关于坐标轴和直线均对称，故①正确； 对于②，当时，曲线，则过点， 同理曲线还过，共个整数点，故②正确； 对于③，曲线围成的图形的面积为，故③错误； 对于④，曲线上任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和， 即为，故④错误； 对于⑤，因为点到直线的距离， 所以，当最小时，易得点在曲线的第一象限图象上， 且最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 所以， 所以，故⑤正确， 综上所述总共有个正确. 故选： 【典例3-2】（2026·高二·江苏南京·阶段检测）方程表示的图形是（    ） A．直线 B．圆 C．点 D．线段 【答案】C 【解析】方程,则,解得：,所以方程表示的图形是点； 故选：C 【变式3-1】（2026·高二·辽宁大连·阶段检测）方程表示的曲线是（    ） A．轴上方的半圆 B．轴下方的半圆 C．轴左侧的半圆 D．轴右侧的半圆 【答案】B 【解析】， 表示的是以为圆心，为半径的圆， 又 ， 故方程表示的曲线是轴下方的半圆， 故选：B． 【变式3-2】（2026·高二·四川成都·阶段检测）方程 表示的图形为（   ） A．一条直线和一个圆 B．一条线段和一个圆 C．一条线段和半个圆 D．两条线段 【答案】C 【解析】由方程， 得:或且满足， 即或且满足， 所以方程表示半个圆和一条线段， 故选：C 【变式3-3】（2026·高二·陕西·期中）方程的曲线是（    ） A．一个点 B．一个点和一条直线 C．一条直线 D．两条直线 【答案】D 【解析】方程，化为，则或， 所以方程的曲线是直线和直线. 故选：D 【变式3-4】（2026·高二·贵州六盘水·期末）关于的方程对应的曲线不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，方程为：，对应的图象为选项A， 当时，方程为：，对应的图象为选项B， 当时，方程为：， 得，对应的图象为选项C， 选项D图形是四条线段，没有方程与之对应， 故选：D 【变式3-5】在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线是（    ） A．椭圆 B．两条平行线 C．三角形 D．菱形 【答案】D 【解析】当，方程为； 以代替x方程不变，曲线关于y轴对称； 以代替y方程不变，曲线关于x轴对称； 以、代替x、y方程不变，曲线关于原点对称； ∴曲线既是轴对称图形也是中心对称图形； ∴方程的曲线围成的封闭图形是一个 以、、、为顶点的菱形． 故选：D． 题型 4：由方程分析曲线的性质 【典例4-1】（2026·高二·上海宝山·期末）已知，，，连接动点与、形成的直线斜率记为、，且满足．设点的轨迹为曲线．有以下命题： ①曲线关于原点中心对称； ②曲线与直线恒有交点； ③曲线上的点到原点的距离的最小值为； ④存在直线与曲线有且仅有一个交点． 其中正确的命题序号为（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【解析】由题意知直线的斜率均存在，故可设， 由得，去分母后可得， 即点的轨迹（曲线）方程为. 对于①，将分别替换为得，方程不变， 故曲线关于原点中心对称，①正确. 对于②，联立与得， 解得，但需满足，即， 由得， 所以当时，曲线与直线有交点； 当时，曲线与直线没有交点， 故②错误. 对于③，曲线上的点到原点的距离， 由得，所以， 所以， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立，此时，即曲线上的点到原点的距离的最小值不是，所以③错误. 对于④，因为曲线的方程可转化为， 取直线，将代入得， 即存在直线与曲线有且仅有一个交点，故④正确． 【典例4-2】（2026·高二·上海黄浦·期中）若曲线：，则下列描述中正确的是（   ） （1）曲线关于原点中心对称 （2）曲线关于直线对称 （3）x的取值范围为 （4）图像在第一象限的最低点纵坐标为 A．（1）（4） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（2）（3） 【答案】A 【解析】若点在曲线：上，将点代入曲线：成立， 所以曲线关于原点中心对称，故（1）正确； 再将点代入曲线：不能恒成立，所以曲线不关于直线对称，故（2）错误； 由条件可得，易得，即的取值范围不是，故（3）错误； 又因，当时，取得最小值， 所以时，的最小值为，故（4）正确. 【变式4-1】（2026·高二·上海·期中）教材中“平面直角坐标系中的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是：用①的方法研究图形的②性质.则①､②处应分别填写（    ） A．代数；代数 B．代数；几何 C．几何；代数 D．几何；几何 【答案】B 【解析】解析几何的核心本质是用代数的方法，研究图形的几何性质. 【变式4-2】（2026·高二·辽宁·开学考试）已知曲线，则下列结论错误的是（   ） A．曲线关于直线对称 B．曲线关于原点中心对称 C．曲线的长度为 D．曲线有两条对称轴 【答案】C 【解析】由已知，解得， 若，则等式一定不成立， 若，等式两边平方化简得，即， 故曲线如图所示，则曲线关于直线和都对称，即曲线有两条对称轴， 且关于原点中心对称，曲线的长度为， 所以选项ABD正确，选项C错误. 【变式4-3】（2026·高二·上海·期末）在平面直角坐标系xOy中，是边长为1的正方形.从中的任意一点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为M、N．记点的横坐标的最大值与最小值之差为，点的纵坐标的最大值与最小值之差为，给出下列结论：①的最大值为；②的取值范围是；③恒等于零，其中所有正确结论的序号是（   ）． A．① B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】D 【解析】对于①，正方形的边长为，正方形的对角线为，故的最大值为， 故①正确； 对于②，如图，当正方形的对角线在轴上时，此时，， 此时最大为， 当正方形的边长有一边位于坐标轴上时，如图，此时，，， 此时为最小值. 故的取值范围是，故②正确； 对于③，由于将正方形绕其对角线交点逆时针旋转后与原正方形重合， 所以恒成立，故恒成立，故③正确； 故选：D. 【变式4-4】（2026·高二·北京平谷·期末）某文创公司设计了一款纪念徽章，其平面轮廓曲线方程为：（单位：厘米），关于该徽章的轮廓曲线分析正确的是（    ） A．没有对称性 B．徽章轮廓是一个圆 C．最远的两点距离为厘米 D．平面面积是平方厘米 【答案】C 【解析】对于A，若点在曲线上，将换成，换成， 方程变为，方程不变，所以曲线关于原点对称； 若点在曲线上，将换成，换成， 方程变为，方程不变，所以曲线关于直线对称； 若点在曲线上，将换成，换成， 方程变为，方程不变，所以曲线关于直线对称；因此曲线有对称性，A选项错误； 对于B，当时，方程可化为， 即，配方可得； 当时，方程可化为， 即，配方可得， 所以曲线不是一个圆，B错误； 对于C，曲线上最远的两点是两段圆弧的公共端点和， 其距离为，故C正确； 对于D：曲线所围图形的面积为两个相同的弓形面积之和，总面积为，故D错误； 故选：C 题型 5：求解两曲线的交点问题 【典例5-1】曲线与曲线的公共点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】与联立得：， 整理得：，解得或, 由，所以，此时. 故两曲线有1个公共点. 故选：D 【典例5-2】曲线和公共点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得，曲线表示圆的上半圆， 如下图所示： 因为原点到直线的距离为， 所以，曲线与直线相切，且切点在第一象限. 故选：C. 【变式5-1】（2026·高二·北京·阶段检测）曲线与曲线的公共点的个数是______． 【答案】 【解析】曲线与曲线联立得： ，即，解得：或, 当时，，解得：， 点也在曲线上，满足条件； 当时，，此方程无解； 综上曲线与曲线的公共点为，即公共点的个数是； 故答案为： 【变式5-2】直线与曲线交点的坐标为______． 【答案】和. 【解析】将直线方程与曲线方程联立得：， 解得，或， 当时，； 当时，， 因此直线与曲线交点坐标为：和. 故答案为：和 【变式5-3】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知曲线与曲线恰好有三个不同的公共点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】曲线，用代替可得，可得曲线的图像关于轴对称. 曲线用代替可得，从而曲线的图像关于轴对称. 曲线与曲线恰好有三个不同的公共点，则在其中一个交点在轴上，在轴上方恰好有一个交点. 曲线的方程为，所以曲线的图像与曲线的图像必相交于点， 当时，曲线的方程，则，即在上恰好有一个实数根. ,解得 或 所以，解得 故答案为： 题型 6：求平面内的轨迹方程 【典例6-1】（2026·高二·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 【答案】 【解析】设动点，又，，则，， 因为点满足， 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程为. 【典例6-2】（2026·高二·山东青岛·期中）已知，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，则点的轨迹方程是_____. 【答案】 【解析】设点，则，整理得，显然. 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 【变式6-1】（2026·高二·江苏苏州·期中）已知圆，点是直线上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的垂心的轨迹方程为___________. 【答案】（去原点） 【解析】设，则，， 根据圆的性质可知，设与交于， 由，，且为中点，同时在上，因为在直线上，即， 根据，设，，，则， 又因为，，且， 由可得，，代入，得到，整理得（去原点），所以点轨迹方程为（去原点）； 因为，，所以四边形是平行四边形， 又因为，所以四边形是菱形，故与关于点中心对称， 设，，则； 因为在（去原点）上，将，代入点轨迹方程得； 整理可得（去原点）. 故答案为：（去原点）. 【变式6-2】（2026·高二·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，曲线在圆周上，且，中点为，则的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】曲线是以原点O为圆心，3为半径的圆，在圆内， 设中点为，如图所示， 因为，，所以， 所以，化简得. 即的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式6-3】在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】设，，． 因为，所以． 已知，，根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距）， 可得直线的方程为． 已知，，则直线的方程为． 因为是和的交点， 所以的坐标满足和的方程． 对于直线的方程， 用表示出,得． 对于直线的方程， 用表示出,得． 因为，所以，即． 当时的情况不满足动点和分别位于轴正半轴和负半轴上， 因此所求轨迹方程为． 故答案为： 1．（2026·高二·四川资阳·期末）下图中的曲线C经过坐标原点O，曲线C上的任意一点到两定点，的距离之积为定值，当时，曲线C上第一象限内的点P满足的面积为，则（   ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【解析】设是曲线C上的任意一点， 因为点到两定点，的距离之积为定值，所以， 即， 因为曲线C经过坐标原点O，所以，即， 所以 当时，曲线C上第一象限内的点P满足的面积为， 则，因为，所以 则 故选：D. 2．（2026·高二·北京海淀·期末）2021年3月30日我国知名品牌小米公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo（如图），设计师的灵感来源于数学中的曲线C：．给出下列四个结论： ①对任意的且，曲线C总关于原点成中心对称 ②当时，曲线C上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） ③当时，曲线C围成的图形面积可以为 ④当时，曲线C上的点到原点最近距离为 其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】若点在曲线上，则可知点也在曲线上， 故曲线关于原点成中心对称，故①正确； 点在曲线上，故②正确； 当时，因为，所以， 从而，（当或时取等） 所以曲线围成的图形在正方形的内部， 故曲线C围成的图形面积小于正方形的面积2，故③错误； 当时，曲线， 若点在曲线上，则可知点也在曲线上， 故曲线关于轴、轴、原点对称， 故只考虑曲线在第一象限内的即可，此时曲线化为，即， 则， 令， 则， 当且仅当且，即时等号成立， 结合对称性可知，曲线上点到原点距离的最小值为，故④正确. 故选：C 3．（2026·高二·辽宁大连·期末）已知曲线方程为，则曲线关于（   ） A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．直线对称 【答案】A 【解析】在曲线上任取一点， 对于A选项，点关于轴的对称点为， 因为，即点在曲线上， 所以曲线关于轴对称，A对； 对于B选项，点关于轴的对称点为， 当时，因为, 即点不在曲线上，故曲线不关于轴对称，B错； 对于C选项，点关于原点的对称点为， 当时，， 故点不在曲线上，故曲线不关于原点对称，C错； 对于D选项，点关于直线的对称点为， 不妨取，， 因为，即点不在曲线上， 故曲线不关于直线对称，D错. 故选：A. 4．（2026·高二·河北石家庄·阶段检测）已知曲线，则曲线围成的平面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若点在曲线上，则点均在曲线上， 则曲线的图象关于轴、轴、原点对称， 当时，曲线， 设其圆心为，图象与轴、轴的交点分别为，图象如图所示： 易得，，则， 则在中利用余弦定理得， 则， 因，则，故扇形的面积为， 又， 则曲线在第一象限与坐标轴围成的图形面积为， 故曲线围成的平面图形的面积为. 故选：A 5．（2026·高三·辽宁·阶段检测）已知两圆和恰有三条公切线，则点所在的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由两圆的标准方程分别为和，得圆心分别为和，半径分别为1和3， 又两圆恰有三条公切线，所以两圆外切， 所以，则，即， 故选：C 6．（2026·高三·黑龙江·阶段检测）已知中，，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则， 设，由可得，整理得， 其轨迹是以点为圆心，半径为的圆.点到直线距离的最大值为圆的半径长2， 所以的面积的最大值为． 故选：D． 7．（2026·高二·江苏淮安·阶段检测）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点的坐标为，∵，，动点满足， ∴，两边平方化简得， ∴点的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 因此，点的轨迹所包围的图形的面积． 故选：D 8．（2026·高二·安徽·阶段检测）已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，由，得： ，则有， 因为为圆上任意一点， 所以，代入可得： ，整理得：， 即方程就是动点的轨迹方程. 故选：A 9．（2026·高三·江苏南京·开学考试）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】，， ， 令，则， ，即， ， ， ， 解得， 故选：D 10．（多选题）（2026·高二·河南郑州·期末）已知曲线，点在曲线上，则下列结论中，正确的是（    ） A．曲线既是中心对称又是轴对称图形 B．曲线围成的图形的面积为 C．的最小值为 D．点到直线的距离的最大值为 【答案】ABC 【解析】对于A，由曲线， 用代替，可得，即，所以曲线关于轴对称； 用代替，可得，即，所以曲线关于轴对称； 用代替，代替，方程仍为，所以曲线关于原点轴对称， 所以曲线既是中心对称又是轴对称图形，所以A正确； 对于B，当时曲线的方程可化为； 当时曲线的方程可化为； 当时曲线的方程可化为； 当时曲线的方程可化为， 曲线的图像如图所示， 由图像可知，曲线围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积之和， 所以曲线围成图形的面积为，所以B正确. 对于C，由表示点与点的连线的斜率， 由曲线围成图形知，当（其中）与直线相切时， 取得最小值， 设切线方程为，其中，则， 解得或（舍去），所以的最小值为，所以C正确； 对于D，由点到直线的距离为， 结合曲线围成图形知，点到直线的距离的最大值为，所以D错误. 故选：ABC. 11．（多选题）（2026·高二·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，曲线，则下列说法正确的有（   ） A．曲线关于原点对称 B．对于任意的实数，直线与曲线总有公共点 C．曲线上存在四个点，使得四边形是正方形 D．若圆与曲线恰有4个公共点，则的范围是 【答案】AC 【解析】设曲线上任意一点，其关于原点的对称点为， 将其代入曲线方程左边可得， 所以曲线关于原点对称，A选项正确； 对于选项B，联立直线与曲线的方程， 得，即， 进一步变形为，当时，方程变为，方程无解，即直线与曲线无公共点，B选项错误； 对于选项C，曲线的方程可化为，即，也就是， 这两条曲线关于原点对称，如图以原点为圆心作圆，当时， 根据对称性，四边形为正方形．故选项C正确； 对于选项D，当圆与相切时，最小， 由，得； 当圆与曲线相切时，最大， 由，得，即， 令，得，由，得， 结合图象知圆与曲线恰有4个公共点，则. 故选项D错误. 故选：AC 12．（多选题）（2026·高二·浙江宁波·期末）设曲线，则（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上的点到坐标原点的距离的最大值为2 C．曲线上点的纵坐标的取值范围是 D．曲线的内部有9个整点（横纵坐标均为整数） 【答案】ACD 【解析】， 当时，，平方整理得，， 当时，，平方整理得，， 曲线关于轴对称，A正确； 则曲线上点的纵坐标的取值范围是，C正确， ，当时取等号，则曲线上的点到坐标原点的距离的最大值为3，B错误； 由C知，曲线的内部的整点纵坐标可能为， 当时，令，得， 当时，令得， 当时，令得， 结合图像可得曲线内部的整点为：共9个，D正确； 故选：ACD. 13．（多选题）（2026·高三·吉林四平·阶段检测）已知曲线为上一点，为坐标原点，则（    ） A．C关于轴对称 B．关于轴对称 C．的取值范围分别为 D．的最大值为2 【答案】ABC 【解析】用换方程中的，化简后方程不变，故关于轴对称， 同理可得，关于轴对称，故AB均正确； 由，得，解得，同理可得，故C正确； 在曲线上，所以， 所以， 当时，取得最大值，故D错误. 故选：ABC. 14．（2026·高三·上海浦东新·期中）某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米的正方形，高为3米．为营造动态光影效果，在底面一个顶点处安装射灯A，在与该顶点相对的侧棱上、距底面1米处安装射灯I，两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它们的交汇点G始终落在实验室天花板上．则交汇点G形成的轨迹长度为________米． 【答案】 【解析】如图建立空间直角坐标系： 则，设交点， 所以， 因为，所以， 整理得， 所以交点在天花板上的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以交汇点G形成的轨迹长度为. 15．（2026·北京平谷·一模）在平面内，点位于直线的右侧，点到点的距离与到直线的距离之积为4． 给出下列四个结论： ①点过坐标原点； ②； ③若点在第一象限内，的最大值为1； ④点经过3个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】点到点的距离为，到直线的距离为， 则，即点的轨迹方程为， 将点代入点P的轨迹方程得， 所以点过坐标原点，①正确； 因为点位于直线的右侧，所以， 又， 所以，②正确； 对于③：在中， 当时，化简得， 当点在第一象限时，取，则， 所以点在第一象限内，的最大值一定大于，故③不正确； 因为，令， 所以点共经过这3个整点（即横、纵坐标均为整数的点），④正确． 16．在平面直角坐标系xOy中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．若，点为双纽线C上任意一点，则下列结论正确的个数是______． ①C关于x轴不对称        ②C关于y轴对称 ③直线与C只有一个交点    ④C上存在点P，使得 【答案】②③④ 【解析】①设到定点，的距离之积为4， 得，， 整理得，即曲线C的方程为， 所以都在曲线上， 曲线C关于x轴、y轴、原点对称，图象如图所示， 所以①不正确，②正确； ③联立方程组，可得，即，所以， 所以直线与曲线C只有一个交点，所以③正确． ④原点满足曲线C的方程，即原点O在曲线C上，则， 即曲线C上存在点P与原点O重合时，满足，所以④正确． 17．已知平面直角坐标系中定点，，O为坐标原点．动点M满足，记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)求线段AM中点P的轨迹方程． 【解析】（1）设，由，， 可得， 两边同时平方，整理可得， 即， 故曲线C的方程是； （2）设， 因为，所以由中点坐标公式可得， 将点M坐标代入 得到，化简可得， 即点P的轨迹方程为. 18．（2026·高二·河南郑州·期末）已知圆，点，点是圆上一动点，点是的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)若圆与点的轨迹相交于两点，求过三点的圆的方程． 【解析】（1）设点，， 因为点是的中点，所以，所以， 因为点在圆上，所以， 化简得， 所以点的轨迹方程是. （2）由（1）可得点的轨迹为圆，其一般方程为， 圆的一般方程为， 设经过两点的圆的方程为， 化简得， 将点代入得， 所以， 所以经过三点的圆的方程， 化简得，   故过三点的圆的方程为. 19．（2026·高二·广东茂名·期末）已知点和圆C：. (1)若P在直线：上，求直线被圆C截得的弦的长； (2)若点Q在C上运动，M为线段的中点，求点M的轨迹方程. 【解析】（1）由题可知圆心，半径， 因为点在直线：上 所以，即直线：. 设圆心C到直线：的距离为d，则. 所以弦. （2）设，. 由中点坐标公式可知， 则. 又因为点Q在圆C上， 所以， 即. 整理得点M的轨迹方程是. 20．（2026·高二·河南信阳·阶段检测）直线与直线垂直，且经过点. (1)若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； (2)若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程. 【解析】（1）因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又因为经过点，所以方程为，即. 圆化为标准型为， 圆心到直线的距离为， 因为圆截直线所得弦长为4，所以，解得. （2）设线段MN中点的坐标为，， 则，即， 因为点在圆上运动， 所以， 所以， 即， 所以线段MN中点的轨迹方程为. 21．（2026·高二·四川成都·期末）已知圆，点. (1)若为过点的弦且所在直线与直线垂直.求的长； (2)若是圆外的一个动点，连接与圆交于点，且满足点为线段的中点，求动点的轨迹方程. 【解析】（1）由题意设直线的方程为， 代入，则，解得， 即. 因为圆心到直线的距离为 ， 所以. （2）设， 则， 因为点在圆上，则， 则， 化简得， 所以动点的轨迹方程为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 曲线与方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：曲线方程的基本概念 题型 2：判断点与曲线的位置关系 题型 3：根据方程确定曲线图形 题型 4：由方程分析曲线的性质 题型 5：求解两曲线的交点问题 题型 6：求平面内的轨迹方程 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 曲线与方程的定义 方程的曲线 点与曲线的位置关系 曲线的图形识别 曲线的几何性质 两曲线的交点 轨迹方程 1. 理解曲线与方程的概念，明确 “方程的曲线” 与 “曲线的方程” 的对应关系，理解其纯粹性与完备性两层核心含义。 2. 掌握点与曲线位置关系的判定方法，能判断点是否在给定曲线上，能代入方程验证或求解相关参数。 3. 能根据曲线方程识别对应的图形特征，通过方程分析曲线的范围、对称性等基本几何性质。 4. 掌握联立方程求两曲线交点的方法，能求解两曲线的交点坐标，判断交点的个数。 5. 掌握求平面轨迹方程的基本方法，能运用直接法、相关点法等求解简单的轨迹方程，体会数形结合与转化化归的数学思想。 学习重点：曲线与方程的概念内涵、点与曲线的位置关系判定、轨迹方程的求解方法、两曲线交点的计算。 学习难点：对曲线与方程等价关系的深度理解、轨迹方程求解过程中的等价变形与范围限定、复杂轨迹问题的思路构建。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系： 1．曲线上的点的坐标都是方程的解； 2．以方程的解为坐标的点都在曲线上． 则称曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程． 即时即练已知曲线的方程为，则下列各点中，在曲线上的点是（   ） A． B． C． D． 知识点02 两曲线的交点 己知两条曲线和的方程分别为，求两条曲线和的交点坐标，只要联立两个方程得方程组，求方程组的实数解就可以得到． 即时即练曲线与的交点是（    ） A． B． C．或 D．或 知识点03 点的轨迹方程 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 即时即练已知，则的圆心的轨迹方程为__________. 知识点04 求动点M轨迹方程的一般步骤 1．设动点的坐标为（如果没有平面直角坐标系，需先建立）； 2．写出要满足的几何条件，并将该几何条件用的坐标表示出来； 3．化简并检验所得方程是否为的轨迹方程． 求轨迹常见的方法——相关点法： 已知点在已知曲线上，动点随的变化而变化，形成轨迹，把称作主动点，点称作被动点． 求动点轨迹方程的＂相关点法（代入法）＂步骤： （1）设点：的坐标为，点的坐标为； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系，用表示； （3）代入（换）：将代入已知曲线方程，便可得到所求轨迹方程． 即时即练已知过原点的动直线与圆交于不同的两点. (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)求线段的中点的轨迹的方程； (3)若直线与曲线有公共点，直接写出的取值范围. 题型 1：曲线方程的基本概念 【典例1-1】（2026·安徽安庆·二模）已知曲线，直线，若与有三个交点，且一个交点平分另两个交点连成的线段，则（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·高二·上海·期中）下列各组两个方程表示相同曲线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（    ） A．曲线上的点的坐标都满足方程 B．坐标不满足的点都不在曲线上 C．不在曲线上的点的坐标必不满足 D．不在曲线上的点的坐标有些满足，有些不满足 【变式1-2】（2026·高二·上海·期末）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（    ） A．曲线C上的点的坐标都适合方程 B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程 C．凡坐标不适合方程的点都不在曲线C上 D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程 【变式1-3】（2026·高二·贵州遵义·期末）设方程表示的曲线是（    ） A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 题型 2：判断点与曲线的位置关系 【典例2-1】下列所给点中，在方程表示的曲线上的是（ ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高二·全国·单元测试）已知点在曲线上，则实数（    ） A． B．或2 C．或3 D．或 【变式2-1】（2026·高二·北京·阶段检测）曲线经过的一点是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高二·北京延庆·期末）方程表示的曲线经过的一点是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】设曲线和的交点为P，那么曲线必定（ ） A．经过P点 B．经过原点 C．不一定经过P点 D．经过P点和原点 【变式2-4】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知点在曲线上，则在点，，，中，也在该曲线上的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型 3：根据方程确定曲线图形 【典例3-1】（2026·高二·湖北孝感·期末）曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出的下列结论中正确的个数为（    ） ①曲线关于坐标轴和直线均对称； ②曲线恰好经过8个整点（即横､纵坐标均为整数的点）； ③曲线围成的图形的面积是； ④曲线上任意两点间的距离的最大值为4； ⑤若是曲线上任意一点，则的最小值是2. A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3-2】（2026·高二·江苏南京·阶段检测）方程表示的图形是（    ） A．直线 B．圆 C．点 D．线段 【变式3-1】（2026·高二·辽宁大连·阶段检测）方程表示的曲线是（    ） A．轴上方的半圆 B．轴下方的半圆 C．轴左侧的半圆 D．轴右侧的半圆 【变式3-2】（2026·高二·四川成都·阶段检测）方程 表示的图形为（   ） A．一条直线和一个圆 B．一条线段和一个圆 C．一条线段和半个圆 D．两条线段 【变式3-3】（2026·高二·陕西·期中）方程的曲线是（    ） A．一个点 B．一个点和一条直线 C．一条直线 D．两条直线 【变式3-4】（2026·高二·贵州六盘水·期末）关于的方程对应的曲线不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-5】在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线是（    ） A．椭圆 B．两条平行线 C．三角形 D．菱形 题型 4：由方程分析曲线的性质 【典例4-1】（2026·高二·上海宝山·期末）已知，，，连接动点与、形成的直线斜率记为、，且满足．设点的轨迹为曲线．有以下命题： ①曲线关于原点中心对称； ②曲线与直线恒有交点； ③曲线上的点到原点的距离的最小值为； ④存在直线与曲线有且仅有一个交点． 其中正确的命题序号为（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【典例4-2】（2026·高二·上海黄浦·期中）若曲线：，则下列描述中正确的是（   ） （1）曲线关于原点中心对称 （2）曲线关于直线对称 （3）x的取值范围为 （4）图像在第一象限的最低点纵坐标为 A．（1）（4） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（2）（3） 【变式4-1】（2026·高二·上海·期中）教材中“平面直角坐标系中的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是：用①的方法研究图形的②性质.则①､②处应分别填写（    ） A．代数；代数 B．代数；几何 C．几何；代数 D．几何；几何 【变式4-2】（2026·高二·辽宁·开学考试）已知曲线，则下列结论错误的是（   ） A．曲线关于直线对称 B．曲线关于原点中心对称 C．曲线的长度为 D．曲线有两条对称轴 【变式4-3】（2026·高二·上海·期末）在平面直角坐标系xOy中，是边长为1的正方形.从中的任意一点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为M、N．记点的横坐标的最大值与最小值之差为，点的纵坐标的最大值与最小值之差为，给出下列结论：①的最大值为；②的取值范围是；③恒等于零，其中所有正确结论的序号是（   ）． A．① B．②③ C．①② D．①②③ 【变式4-4】（2026·高二·北京平谷·期末）某文创公司设计了一款纪念徽章，其平面轮廓曲线方程为：（单位：厘米），关于该徽章的轮廓曲线分析正确的是（    ） A．没有对称性 B．徽章轮廓是一个圆 C．最远的两点距离为厘米 D．平面面积是平方厘米 题型 5：求解两曲线的交点问题 【典例5-1】曲线与曲线的公共点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【典例5-2】曲线和公共点的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高二·北京·阶段检测）曲线与曲线的公共点的个数是______． 【变式5-2】直线与曲线交点的坐标为______． 【变式5-3】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知曲线与曲线恰好有三个不同的公共点，则实数的取值范围是______. 题型 6：求平面内的轨迹方程 【典例6-1】（2026·高二·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 【典例6-2】（2026·高二·山东青岛·期中）已知，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，则点的轨迹方程是_____. 【变式6-1】（2026·高二·江苏苏州·期中）已知圆，点是直线上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的垂心的轨迹方程为___________. 【变式6-2】（2026·高二·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，曲线在圆周上，且，中点为，则的轨迹方程为______． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为______． 1．（2026·高二·四川资阳·期末）下图中的曲线C经过坐标原点O，曲线C上的任意一点到两定点，的距离之积为定值，当时，曲线C上第一象限内的点P满足的面积为，则（   ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 2．（2026·高二·北京海淀·期末）2021年3月30日我国知名品牌小米公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo（如图），设计师的灵感来源于数学中的曲线C：．给出下列四个结论： ①对任意的且，曲线C总关于原点成中心对称 ②当时，曲线C上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） ③当时，曲线C围成的图形面积可以为 ④当时，曲线C上的点到原点最近距离为 其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·高二·辽宁大连·期末）已知曲线方程为，则曲线关于（   ） A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．直线对称 4．（2026·高二·河北石家庄·阶段检测）已知曲线，则曲线围成的平面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高三·辽宁·阶段检测）已知两圆和恰有三条公切线，则点所在的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高三·黑龙江·阶段检测）已知中，，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·江苏淮安·阶段检测）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·安徽·阶段检测）已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·高三·江苏南京·开学考试）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（　　） A． B． C．2 D． 10．（多选题）（2026·高二·河南郑州·期末）已知曲线，点在曲线上，则下列结论中，正确的是（    ） A．曲线既是中心对称又是轴对称图形 B．曲线围成的图形的面积为 C．的最小值为 D．点到直线的距离的最大值为 11．（多选题）（2026·高二·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，曲线，则下列说法正确的有（   ） A．曲线关于原点对称 B．对于任意的实数，直线与曲线总有公共点 C．曲线上存在四个点，使得四边形是正方形 D．若圆与曲线恰有4个公共点，则的范围是 12．（多选题）（2026·高二·浙江宁波·期末）设曲线，则（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上的点到坐标原点的距离的最大值为2 C．曲线上点的纵坐标的取值范围是 D．曲线的内部有9个整点（横纵坐标均为整数） 13．（多选题）（2026·高三·吉林四平·阶段检测）已知曲线为上一点，为坐标原点，则（    ） A．C关于轴对称 B．关于轴对称 C．的取值范围分别为 D．的最大值为2 14．（2026·高三·上海浦东新·期中）某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米的正方形，高为3米．为营造动态光影效果，在底面一个顶点处安装射灯A，在与该顶点相对的侧棱上、距底面1米处安装射灯I，两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它们的交汇点G始终落在实验室天花板上．则交汇点G形成的轨迹长度为________米． 15．（2026·北京平谷·一模）在平面内，点位于直线的右侧，点到点的距离与到直线的距离之积为4． 给出下列四个结论： ①点过坐标原点； ②； ③若点在第一象限内，的最大值为1； ④点经过3个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中正确结论的序号是______． 16．在平面直角坐标系xOy中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．若，点为双纽线C上任意一点，则下列结论正确的个数是______． ①C关于x轴不对称        ②C关于y轴对称 ③直线与C只有一个交点    ④C上存在点P，使得 17．已知平面直角坐标系中定点，，O为坐标原点．动点M满足，记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)求线段AM中点P的轨迹方程． 18．（2026·高二·河南郑州·期末）已知圆，点，点是圆上一动点，点是的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)若圆与点的轨迹相交于两点，求过三点的圆的方程． 19．（2026·高二·广东茂名·期末）已知点和圆C：. (1)若P在直线：上，求直线被圆C截得的弦的长； (2)若点Q在C上运动，M为线段的中点，求点M的轨迹方程. 20．（2026·高二·河南信阳·阶段检测）直线与直线垂直，且经过点. (1)若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； (2)若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程. 21．（2026·高二·四川成都·期末）已知圆，点. (1)若为过点的弦且所在直线与直线垂直.求的长； (2)若是圆外的一个动点，连接与圆交于点，且满足点为线段的中点，求动点的轨迹方程. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $