第12讲 圆与圆的位置关系（8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019选择性必修第一册）

第12讲 圆与圆的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系. 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题. 知识点 1 圆与圆的位置关系 设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、(). (1)两圆相离：无公共点；，方程组无解. (2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解. (5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆. 考点一：判断圆与圆的位置关系 例1.（多选）（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆C：，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C关于直线对称 D．圆：与圆C相交 【变式1-1】（23-24高二上·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【变式1-2】（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【变式1-3】（22-23高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 考点二：由圆与圆的位置关系求参数 例2.（23-24高二下·上海·阶段练习）判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 【变式2-1】（多选）（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知两圆和有公共点则r的值可能是（    ） A． B．1 C．6 D．8 【变式2-2】（22-23高二下·上海闵行·期末）已知圆和圆内切，则实数的取值范围是 . 【变式2-3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知圆，圆，若两圆相交，则正实数的取值范围是 . 考点三：求两圆的交点坐标 例3.（23-24高二上·广东深圳·期中）已知点和以点Q为圆心的圆．以为直径的圆的圆心为点，设圆Q与圆相交于A，B两点，则直线PA或PB的方程为 ．（写出其中之一即可） 【变式3-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知是圆与圆的公共点，则的面积为（    ） A．3 B． C． D． 【变式3-2】（2024高二·全国·专题练习）已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 . 【变式3-3】（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 考点四：由圆的位置关系求圆的方程 例4.（22-23高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为 . 【变式4-1】（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知圆：． (1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程； (2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程． 考点五：相交圆的公共弦方程 例5.（多选）（23-24高二上·广东东莞·期末）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（    ） A．若，则圆和圆相离 B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C．若圆和圆外切，则 D．若圆和圆内切，则 【变式5-1】（23-24高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二上·山东枣庄·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 . 【变式5-3】（23-24高二下·广东·期中）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 考点六：两圆的公共弦长问题 例6.（23-24高二上·四川泸州·期末）已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长． 【变式6-1】（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 【变式6-2】（23-24高二上·河南郑州·期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 【变式6-3】（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知，． (1)求两圆公共弦所在的直线方程； (2)求两圆的公共弦长． 考点七：确定两圆公切线的条数 例7.（23-24高二上·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 .【变式7-1】（23-24高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）两圆与的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式7-3】（23-24高二上·全国·课后作业）两圆，的公切线有且仅有 条． 考点八：求圆的公切线方程 例8.（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆，圆. (1)求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求两圆的公切线方程. 【变式8-1】（23-24高二上·北京昌平·期末）已知圆，则圆的半径为 ；与圆和圆都相切的直线的方程为 .（只需写出一条直线的方程） 【变式8-2】（23-24高二上·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【变式8-3】（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 考点九：根据两圆公切线的条数求参数（范围） 例9.（23-24高二下·上海·阶段练习）已知圆与圆有3条公切线，则的最大值为 . 【变式9-1】（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）若圆与圆有且仅有一条公切线，则 . 【变式9-3】（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是 ． 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川成都·期末）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．（多选）（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知圆与圆，则（    ） A．两圆的圆心距为 B．两圆的公切线有3条 C．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D．两圆相交，且公共弦的长度为 6．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知圆O： ()与圆M：，则下列说法正确的有（ ） A．若，则两圆外切 B．若，直线为两圆的公切线 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则两圆外离 7．（多选）（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江西上饶·期末）以为圆心且与圆外切的圆的方程为 ． 9．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知圆与圆相内切，则实数a的值为 ． 10．（23-24高二下·上海·期中）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 圆与圆的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系. 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题. 知识点 1 圆与圆的位置关系 设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、(). (1)两圆相离：无公共点；，方程组无解. (2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解. (5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆. 考点一：判断圆与圆的位置关系 例1.（多选）（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆C：，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C关于直线对称 D．圆：与圆C相交 【答案】ACD 【分析】把圆的方程化成标准形式，再逐项判断得解. 【详解】圆，圆心，半径， 对于A，圆C的半径，A正确； 对于B，点到点的距离，点在圆C外，B错误； 对于C，点在直线上，圆C关于直线对称，C正确； 对于D，圆的圆心，半径，而，因此圆与圆相交，D正确. 故选：ACD 【变式1-1】（23-24高二上·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【分析】分别考虑上两点和与的位置关系，即可推知两圆的位置关系. 【详解】由于点和都在圆上，而在圆内部， 在圆外部，故两圆一定相交. 故选：A. 【变式1-2】（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【分析】求出两圆的圆心距，则有，即可判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为；， 则圆的圆心为，半径为. 两圆心之间的距离， 且满足，可知两圆相交. 故选：A. 【变式1-3】（22-23高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【答案】B 【分析】求出圆心距，利用圆心距和两圆半径的关系进行判断即可. 【详解】的圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为1， 可知两圆圆心距为2，恰好等于两圆半径之和，所以两圆是外切. 故选：B 考点二：由圆与圆的位置关系求参数 例2.（23-24高二下·上海·阶段练习）判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 【答案】内切，公共点为 【分析】 首先根据圆的方程求圆心，半径，并计算圆心距，结合圆与圆的位置关系，即可判断，求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为， 则两圆内切， 联立，则， 则公共点坐标为. 【变式2-1】（多选）（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知两圆和有公共点则r的值可能是（    ） A． B．1 C．6 D．8 【答案】ACD 【分析】由条件可求两圆的圆心与半径，由圆心距为，可得，求解可判断结论. 【详解】由，可得圆心为，半径分别为， 由，可得，得圆心坐标，半径， 则两圆圆心之间的距离为， 又两圆有公共点则，解得. 故选：ACD． 【变式2-2】（22-23高二下·上海闵行·期末）已知圆和圆内切，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】把两圆化为标准方程，得到圆心坐标和半径，由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，列方程解实数的值. 【详解】圆化为标准方程为，圆心，半径， 圆化为标准方程为，圆心，半径， 由两圆外切，有，即，解得. 故答案为： 【变式2-3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知圆，圆，若两圆相交，则正实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将两个圆的方程化为标准形式，再根据两圆相交得到关于的不等式，解不等式即可. 【详解】圆化为标准方程得， 则圆心，半径， 圆化为标准方程为， 则圆心，半径， 因为两圆相交，所以，即，解得. 故答案为：. 考点三：求两圆的交点坐标 例3.（23-24高二上·广东深圳·期中）已知点和以点Q为圆心的圆．以为直径的圆的圆心为点，设圆Q与圆相交于A，B两点，则直线PA或PB的方程为 ．（写出其中之一即可） 【答案】或 【分析】先求出圆的方程，再求A，B两点的坐标，最后求直线方程即可. 【详解】易知，圆的半径平方为， 故圆的方程为， 两圆方程作差得，与联立得或 不妨令， 所以直线PA或PB的方程为或 故答案为：或 . 【变式3-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知是圆与圆的公共点，则的面积为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减得公共弦所在直线方程，求出圆圆心坐标和半径，求出点到直线的距离，求得弦长，从而可得三角形面积． 【详解】由题意可知，联立，两方程相减可得直线的方程为， 圆标准方程为，得，半径为， 所以到直线的距离为，线段的长度为， 所以的面积为． 故选：B. 【变式3-2】（2024高二·全国·专题练习）已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 . 【答案】 【分析】联立方程组，求得两圆的交点坐标，设所求圆的圆心为，列出方程求得的值，得出圆心坐标和半径，即可求解. 【详解】设圆与圆的交点分别为，联立方程组，解得或，则， 设所求圆的圆心为，因为圆心在直线上，可得， 则，解得， 所以圆心为，半径， 所以，所求圆的方程为. 故答案为：. 【变式3-3】（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【答案】 【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标. 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 考点四：由圆的位置关系求圆的方程 例4.（22-23高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为 . 【答案】（或） 【分析】先求出两圆的交点，利用直接法或者待定系数法可求圆的方程，或者利用圆系方程求解. 【详解】法一：由， 解得或者， 所以圆与圆的交点分别为， 则线段AB的垂直平分线的方程为. 由，解得， 所以所求圆的圆心坐标为，半径为， 所以所求圆的方程为. 法二：同法一求得， 设所求圆的方程为， 由，解得， 所以所求圆的方程为. 法三：设所求圆的方程为，其中， 化简可得，圆心坐标为. 又圆心在直线上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故答案为：（或） 【变式4-1】（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】由题可先设出圆系方程：， 则圆心坐标为； ， 又圆心在直线上，可得，解得， 所以圆的方程为：，故A正确. 故选：A. 【变式4-2】（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知圆C与圆的公共弦是圆的直径，圆C与圆的公共弦是圆的直径，进而设圆C的圆心为，半径为得，再结合距离公式解方程即可得答案. 【详解】圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径． 同理圆C与圆的公共弦是圆的直径 设圆C的圆心为，半径为，则， 所以，即，解得 所以圆C的方程为． 故选：A 【变式4-3】（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知圆：． (1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程； (2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分类讨论直线斜率存在与否，再待定系数法设出切线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求切线的斜率，求出切线； （2）根据圆心在直线上，以及两圆外切的条件列出圆心坐标的方程组，求出圆心坐标即可． 【详解】（1）由圆：得圆心，半径， 当直线斜率存在时，设：，即， 所以，解得， 所以切线为，即， 当直线斜率不存在时，直线为，易知也是圆的切线， 所以直线的方程为：或； （2）设，则， 解得，；或，， 故所求圆的方程为或. 考点五：相交圆的公共弦方程 例5.（多选）（23-24高二上·广东东莞·期末）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（    ） A．若，则圆和圆相离 B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C．若圆和圆外切，则 D．若圆和圆内切，则 【答案】BD 【分析】把圆的方程化成标准方程，明确圆心和半径，借助两圆的位置关系进行判断. 【详解】圆：，圆心，半径； 圆：，圆心，半径. 对A：当时，，因为故两圆相交，故A错误； 对B：当时，两圆相交，公共弦所在直线方程为：，即，故B正确； 对C：由两圆外切，得，故C错误； 对D：由，故D正确. 故选：BD 【变式5-1】（23-24高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆公共弦方程特征进行求解即可. 【详解】两个圆的方程相减，得， 故选：C 【变式5-2】（23-24高二上·山东枣庄·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】将两圆方程作差，消去、项，可得出两圆公共弦所在直线的方程. 【详解】将两圆方程作差可得，即. 因此，圆和圆的公共弦所在直线的方程为. 故答案为：. 【变式5-3】（23-24高二下·广东·期中）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】两圆作差相减，以能求出两圆的公共弦所在的直线方程. 【详解】圆：和圆：， 两圆作差相减，得直线方程为， 经检验，直线方程满足题意. 故答案为：. 考点六：两圆的公共弦长问题 例6.（23-24高二上·四川泸州·期末）已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意首先得圆心在直线上，结合即可求解. （2）两圆相减首先得公共弦方程，由点到直线的距离公式、弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意设圆的圆心为，已知圆过点，且与直线相切于点， 所以圆心在直线即直线上， 所以， 又， 所以解得， 所以圆的标准方程. （2）由（1）得圆的标准方程. 又圆，两圆方程相减得公共弦方程为， 所以圆心到公共弦的距离为， 而圆的半径为， 所以圆与圆的公共弦长为. 【变式6-1】（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 【答案】(1) (2)和圆相交，理由见解析， 【分析】（1）先设出圆的一般方程，把已知点代入，可求解； （2）先确定两个圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和、差的关系，确定两圆的位置关系.再用直线与圆相交求弦长的方法求公共弦长. 【详解】（1）设圆的一般方程为：，把已知点代入得： ， 所以圆的方程为： （2）由（1）得圆的标准方程为：. ∴，，， ∵ 所以圆和圆相交， 设交点为A，B，直线AB方程为即： ， 所以到直线AB的距离所以. 两圆公共弦的长. 【变式6-2】（23-24高二上·河南郑州·期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线的性质，结合勾股定理即可由点到直线的距离公式求解， （2）根据两圆相减可得相交弦所在直线方程，即可根据点到直线的距离公式，结合弦长公式求解. 【详解】（1）设圆的半径为，过向圆所作切线的一个切点为， 由知，当最小时，切线段的长度有最小值，自圆心向直线引垂线段，此时有最小值． 圆心到直线的距离．即． ． 圆的方程为． （2）由圆：和圆：， 由于两圆的圆心距为， 故两圆相交， 两圆方程相减得，公共弦所在直线方程为． 圆心到直线的距离为． 弦长． 【变式6-3】（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知，． (1)求两圆公共弦所在的直线方程； (2)求两圆的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接两圆方程相减即可求解； （2）先求圆心到直线的距离，再结合圆的弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意两圆，方程相减得， ，整理得， 即两圆公共弦所在的直线方程为. （2）由（1）得两圆公共弦所在的直线方程为， 圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 考点七：确定两圆公切线的条数 例7.（23-24高二上·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据两圆的一般方程求出两圆圆心、半径，求出圆心距.根据圆心距与两半径之间的关系可得两圆外离，即可得出答案. 【详解】根据题意： 圆，， 其圆心为，半径； 圆，， 其圆心为，半径； 两圆的圆心距，所以两圆外离， 所以公切线条数有4条. 故选：D. .【变式7-1】（23-24高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先找出两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系求出公切线的数量. 【详解】两圆圆心分别为，半径分别为2和3，而圆心距为5，故两圆外切，所以两圆的公切线共有3条， 故选：C 【变式7-2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）两圆与的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】通过判断两圆位置关系确定公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为4， ∴圆心距． 由，可得两圆相交， ∴两圆公切线有2条． 故选：B. 【变式7-3】（23-24高二上·全国·课后作业）两圆，的公切线有且仅有 条． 【答案】2 【分析】 由两圆的位置关系判断公切线条数. 【详解】 化成标准方程为， 圆心，半径， 化成标准方程为， 圆心，半径， 两圆圆心距离，， 则两圆相交，因而公切线只有两条． 故答案为：2． 考点八：求圆的公切线方程 例8.（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆，圆. (1)求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求两圆的公切线方程. 【答案】(1)； (2)和 【分析】（1）联立两圆方程可得公共弦直线方程，求出点到的距离，利用性质在直角三角形中勾股定理求解半弦长即可； （2）由形可知一条公切线为；求出直线与的交点，设另一条公切线的方程为，利用点到此公切线的距离等于半径，解即可得. 【详解】（1）易知圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 已知圆，圆，即， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为， 所以点到的距离为， 所以公共弦长为， 故两圆公共弦直线方程为，公共弦长为； （2）因为圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为， 由图象可知，有一条公切线为：， 直线与的交点为， 设另一条公切线的方程为，即， 则点到此公切线的距离，解得， 所以另一条公切线的方程为，即 综上，两圆的公切线方程为和． 【变式8-1】（23-24高二上·北京昌平·期末）已知圆，则圆的半径为 ；与圆和圆都相切的直线的方程为 .（只需写出一条直线的方程） 【答案】 （答案不唯一，或亦可） 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可得圆心；设出两圆的公切线方程，注意讨论斜率是否存在，由切线的性质列式计算即可得公切线方程. 【详解】由，即， 故圆的半径为，圆心坐标为， 设直线与圆和圆都相切， 若直线斜率不存在，设直线为， 需有，解得，故符合要求； 若直线斜率存在，设直线为，即， 需有，两式相除得， 故或， 化简得或， 由可得， 故有或， 化简得或， 即或， 则或， 故该直线为或， 即或， 综上所述，与圆和圆都相切的直线的方程有： 、、. 故答案为：；（答案不唯一，或亦可） 【变式8-2】（23-24高二上·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【答案】或（写一条即可） 【分析】结合图形可得其中一条公切线方程，然后利用过两圆心的直线可求出另一条公切线所过点P，设出切线方程，根据圆心到切线距离等于半径即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 化为标准方程得，圆心为，半径， 如图，易知两圆的公切线有两条，其中一条为， 直线的斜率为，直线方程为， 联立解得， 易知另一条公切线的斜率存在，设方程为，即， 则，解得， 则公切线的方程为，即. 故答案为：或（写一条即可） 【变式8-3】（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程. （2）利用公共切线斜率与圆心连线斜率相等，再利用圆心到直线距离等于半径求解即可. 【详解】（1）由题意设圆心为， ，得， 故圆心为，， 圆M的标准方程为：， 圆M的一般方程为：. （2） 由于圆M和圆O的半径均为2， 公切线与OM平行，则，设公切线方程为， 则，得或， 故公切线方程为或. 考点九：根据两圆公切线的条数求参数（范围） 例9.（23-24高二下·上海·阶段练习）已知圆与圆有3条公切线，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】 根据题意，利用圆与圆的位置关系，求得，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由圆，可得圆心，半径为， 圆，可得圆心，半径为， 因为有3条公切线，则两圆外切，则， 即 根据基本不等式可得，解得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为：. 【变式9-1】（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 【变式9-2】（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）若圆与圆有且仅有一条公切线，则 . 【答案】 【分析】由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切，故两圆圆心距离为半径之差，计算即可得. 【详解】由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切， 由可得， 即该圆以为圆心，为半径， 圆，圆心为， 故有且， 解得. 故答案为：. 【变式9-3】（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得两圆相交，再根据两圆的位置关系求参即可. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 因为与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条， 所以两圆相交，则， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】两圆与圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为，再由点到直线的距离公式能求出两圆的公共弦长． 【详解】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交， 圆与圆的公共弦所在的直线方程为： ，即， 圆的圆心到公共弦的距离： ，圆的半径， 公共弦长． 故选：B． 2．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得以PQ为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由弦长公式可得答案. 【详解】由题可得，则以PQ为直径的圆的圆心坐标为，半径为4， 则PQ为直径的圆的方程为： .将两圆方程相减可得公共弦方程为：. 则圆Q圆心到公共弦方程距离为2，又圆Q半径为4，则公共弦长为：. 故选：D 3．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出以为直径的圆的方程，再与已知圆的方程相减即得公共弦所在直线的方程. 【详解】过点向圆作两条切线，切点分别为、，则， 于是点、在以为直径的圆上，而，则的中点为，， 因此以为直径的圆方程为， 圆与圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为， 所以直线AB的方程为. 故选：A 4．（23-24高二上·四川成都·期末）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据给定条件，判断以点为圆心，为半径的圆与已知圆的位置关系即可得解. 【详解】根据题意可知与点的距离为的直线始终与以点为圆心，为半径的圆相切， 而此直线又与圆相切，因此该直线是圆与圆的公切线， 又两圆圆心距离等于两圆半径和， 所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数为3， 故选：C 5．（多选）（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知圆与圆，则（    ） A．两圆的圆心距为 B．两圆的公切线有3条 C．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D．两圆相交，且公共弦的长度为 【答案】AC 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标，求出两圆圆心距，判断A；判断两圆的位置关系，即可判断B；将两圆方程相减，即可得两圆公共弦所在的直线方程，判断C；利用几何法求得公共弦长，判断D. 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为 与圆的圆心为，半径为， 故两圆的圆心距为，A正确； 对于B，由于， 即圆与圆相交，两圆的公切线有2条，B错误； 对于C，由B可知两圆相交， 将圆与圆的方程相减， 得，即公共弦所在的直线方程为，C正确； 对于D，由B可知两圆相交，而， 到直线的距离为， 故两圆公共弦的长度为，D错误， 故选：AC 6．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知圆O： ()与圆M：，则下列说法正确的有（ ） A．若，则两圆外切 B．若，直线为两圆的公切线 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则两圆外离 【答案】ABD 【分析】根据两圆外切的条件可判断A，根据切线定义判断B，根据两圆的公共弦的求法判断C，根据两圆外离条件判断D. 【详解】若r＝1，两圆心间距离为，即两圆心间距离等于两圆半径之和，故A对； 若r＝1，则两圆心到距离分别为，，即两圆心到距离分别为圆的半径，故B对； 若，则，，两式相减得两圆的公共弦所在直线方程为，故C错； 两圆心间距离为，因为两圆外离，所以，即，故D对 故选：ABD 7．（多选）（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 8．（23-24高二上·江西上饶·期末）以为圆心且与圆外切的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】求出两圆圆心距，利用两圆外切求出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】设圆的半径为，圆的圆心为坐标原点，半径为， 两圆圆心距为，故， 因此，以为圆心且与圆外切的圆的方程为. 故答案为：. 9．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知圆与圆相内切，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】求出两圆的圆心和半径，由两圆内切的条件，列方程求实数a的值. 【详解】圆，化成标准方程为， 圆心坐标为半径， 圆，圆心坐标为半径， 由两圆相内切，则圆心距，解得. 故答案为：. 10．（23-24高二下·上海·期中）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案； （2）利用待定系数法和相切可求圆的方程. 【详解】（1）由可得，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得弦长为. （2）设， 则，解得，； 因为圆与圆相切于原点，且圆过点， 所以，， 两边平方整理可得，平方可求， 代入可得，所以圆的方程为. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$