1.3　证明 同步练 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学“证明”同步练分2课时，通过基础选择填空、中档推理填空、提升综合证明三层设计，覆盖平行线判定与性质、三角形内外角等知识点，强化推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一判定/性质|选择1-4直接考查平行线判定，夯实概念理解| |中档|推理步骤规范|填空5、解答6要求补全证明依据，培养逻辑表达| |提升|多知识点综合|解答11、13结合动态情境与多步推理，发展创新意识|

1.3　证明 第1课时　证明(1) 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.如图，下列命题中，正确的是(　D　) ①若∠1=∠3，则AD∥BC； ②若AD∥BC，则∠1=∠2=∠3； ③若∠1=∠3，AD∥BC，则∠1=∠2； ④若∠C＋∠3＋∠4=180°，则AD∥BC。 A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 2.如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DF的是(　A　) A.∠1=∠2 B.∠4＋∠2=180° C.∠2=∠3 D.∠A=∠1 3.如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件：①∠1=∠3；②∠2＋∠5=180°；③∠4=∠B；④∠D＋∠BCD=180°。其中能判断AD∥BC的是(　B　) A.①② B.①④ C.①③ D.②④ 4.将一副三角尺按如图所示的方式摆放在直线m，n之间，∠1=25°，∠2=30°。若想证明m∥n，则还需要的条件可以是(　A　) A.∠3=70° B.∠4=40° C.∠5=20° D.∠4=∠5 第4题图 第4题答图 【解析】 如答图所示标注字母。 由题意可得∠CAE=90°，∠ACF=45°。 ∵∠1=25°，∴∠BAC=∠1＋∠CAE=115°。 若∠3=70°，则∠ACD=115°=∠BAC，∴m∥n。 其他3个条件不能得出m∥n，故选A。 5.(5分)如图，已知∠1=∠3，CD∥EF。求证：∠1=∠4。请将过程填写完整。 证明：∵∠1=∠3(已知)， ∠2=∠3(　对顶角相等　)，  ∴∠1=　∠2　。  ∵CD∥EF， ∴　∠2　=　∠4　(　两直线平行，同位角相等　)，  ∴∠1=∠4。 6.(8分)如图，∠ABD=100°，且BC平分∠ABD，∠1=50°。 (1)(4分)求证：AB∥CD。 (2)(4分)求∠2的度数。 解：(1)∵∠ABD=100°，且BC平分∠ABD， ∴∠ABC=∠ABD=50°。 又∵∠1=50°， ∴∠1=∠ABC，∴AB∥CD。 (2)∵∠ABD=100°，AB∥CD， ∴∠BDC=180°－∠ABD=80°， ∴∠2=∠BDC=80°。 7.(8分)如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥AC，交BC于点E，点F在边AC上，∠AFD=∠BED。 (1)(4分)求证：DF∥BC。 (2)(4分)若∠A＋∠B=120°，求∠FDE的度数。 解：(1)∵DE∥AC， ∴∠BED=∠C。 又∵∠AFD=∠BED， ∴∠C=∠AFD， ∴DF∥BC。 (2)∵∠A＋∠B=120°， ∴∠C=180°－∠A－∠B=60°。 又∵AC∥DE， ∴∠DEB=∠C=60°。 ∵DF∥BC， ∴∠FDE=∠DEB， ∴∠FDE=60°。 8.(6分)推理填空，在括号里填写证明依据： 如图，AD∥BC，AE∥DC，点E在线段BC上，点F在射线BA上，若∠B=∠C，则AD平分∠FAE，请说明理由。 证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB(　两直线平行，内错角相等　)。  ∵AE∥DC， ∴∠AEB=∠　C　(　两直线平行，同位角相等　)，  ∴∠DAE=∠　C　(等量代换)。  又∵∠B=∠C，∴∠DAE=∠B。 ∵AD∥BC， ∴∠FAD=∠　B　，  ∴∠FAD=∠　DAE　(等量代换)，  ∴AD平分∠FAE。 9.(8分)如图，AD∥BC，E是BA延长线上一点，∠E=∠DCE。 (1)(4分)求证：∠B=∠D。 (2)(4分)若CE平分∠BCD，∠E=47°，求∠B的度数。 解：(1)∵AD∥BC， ∴∠B=∠EAD。 ∵∠E=∠DCE，∴EB∥CD， ∴∠D=∠EAD，∴∠B=∠D。 (2)∵∠E=47°，∠E=∠DCE， ∴∠DCE=47°。 又∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE=∠DCE=47°， ∴∠B=180°－∠E－∠BCE=86°。 10.(8分)如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠3=∠B，EF∥AB。 (1)(4分)求证：DE∥BC。 (2)(4分)若DE平分∠ADC，∠2=4∠B，求∠1。 解：(1)∵EF∥AB， ∴∠3=∠ADE。 ∵∠3=∠B， ∴∠B=∠ADE， ∴DE∥BC。 (2)∵DE平分∠ADC， ∴∠ADC=2∠ADE。 ∵DE∥BC， ∴∠B=∠ADE。 ∵∠2=4∠B， ∴∠2=4∠ADE。 ∵∠2＋∠ADC=180°， ∴4∠ADE＋2∠ADE=180°， ∴∠ADE=30°， ∴∠ADC=60°。 ∵EF∥AB， ∴∠1=∠ADC=60°。 11.(8分)[推理能力]已知：AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，P是线段EF上一点，M，N分别在射线EB，FD上，连结PM，PN。 (1)(4分)如图1，求证：∠MPN=∠EMP＋∠FNP。 (2)(4分)如图2，当MP⊥NP时，MQ平分∠EMP，NQ平分∠DNP，求∠MQN的度数。 解：(1)过点P作PH∥AB，如答图。 第11题答图 ∵AB∥CD， ∴AB∥PH∥CD， ∴∠MPH=∠EMP，∠NPH=∠FNP， ∴∠MPH＋∠NPH=∠EMP＋∠FNP， 即∠MPN=∠EMP＋∠FNP。 (2)∵MQ平分∠EMP，NQ平分∠DNP， ∴设∠EMQ=∠PMQ=α，∠DNQ=∠PNQ=β， ∴∠EMP=2α，∠DNP=2β， ∴∠FNP=180°－∠DNP=180°－2β， ∴∠FNQ=∠FNP＋∠PNQ=180°－2β＋β=180°－β。 ∵MP⊥NP， ∴∠MPN=90°， 由(1)得，∠MPN=∠EMP＋∠FNP，∠NQM=∠EMQ＋∠FNQ， ∴90°=2α＋180°－2β， ∴β－α=45°， ∴∠NQM=∠EMQ＋∠FNQ=α＋180°－β=180°－(β－α)=135°。 第2课时　证明(2) 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.如图，AE∥CD，CA平分∠BCD，∠2=35°，∠D=60°，则∠B的度数为(　B　) A.52° B.50° C.45° D.25° 2.在如图所示的图形中，x等于(　B　) A.50° B.60° C.70° D.80° 3.在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则(　D　) A.必有一个内角等于30° B.必有一个内角等于45° C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90° 4.如图，点C在AB的延长线上，过点C作CE⊥AF于点E，交FB于点D。若∠F=40°，∠C=20°，则∠FBA的度数为(　C　) A.50° B.60° C.70° D.80° 【解析】 ∵CE⊥AF， ∴∠AEC=90°， ∴∠BDC=∠FDE=∠AEC－∠F=50°， ∴∠FBA=∠BDC＋∠C=70°。 5.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，BC∥EF，则∠ADE的大小为(　C　) A.60° B.65° C.75° D.85° 【解析】 令DE交BC于点M，如答图。 第5题答图 ∵BC∥EF，∠E=45°， ∴∠DMC=∠E=45°。 ∵∠C=30°， ∴∠ADE=∠C＋∠DMC=75°。 6.(3分)如图，已知AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为　35　°。  【解析】 如答图所示标注字母， 第6题答图 延长EF交CD于点G，则易知∠4=∠1=45°。 又∵∠3=80°， ∴∠2=∠3－∠4=35°。 7.(8分)如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，AD是△ABC的角平分线，点E在BD上，点F在CA的延长线上，且EF∥AD。求： (1)(4分)∠BAF的度数。 (2)(4分)∠F的度数。 解：(1)∵∠BAF=∠B＋∠C， ∠B=40°，∠C=70°， ∴∠BAF=110°。 (2)∵∠BAF=110°，∴∠BAC=70°。 ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAC=∠BAC=35°。 又∵EF∥AD，∴∠F=∠DAC=35°。 8.(8分)如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E。 (1)(4分)若∠B=35°，∠E=25°，求∠CAE的度数。 (2)(4分)求证：∠BAC=∠B＋2∠E。 解：(1)∵∠DCE是△BCE的外角，∠B=35°，∠E=25°， ∴∠DCE=∠B＋∠E=60°。 又∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠DCE=60°， ∴∠CAE=180°－∠ACE－∠E=95°。 (2)∵∠DCE是△BCE的外角，∠BAC是△ACE的外角， ∴∠DCE=∠B＋∠E，∠BAC=∠E＋∠ACE。 ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠DCE=∠B＋∠E， ∴∠BAC=∠E＋∠ACE=∠E＋∠B＋∠E=∠B＋2∠E。 9.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内时，∠A与∠1＋∠2之间的数量关系是(　B　) A.∠A=∠1＋∠2 B.2∠A=∠1＋∠2 C.3∠A=∠1＋∠2 D.3∠A=2(∠1＋∠2) 【解析】 根据三角形内角和定理得，∠A＋∠ADE＋∠AED=180°。 又由图得，∠1＋2∠AED=180°，∠2＋2∠ADE=180°， ∴2∠A=∠1＋∠2。 10.(3分)如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B，C都与点A重合，折痕分别为DE，MN。若∠BAC=110°，则∠DAM的度数为　40　°。  【解析】 ∵在△ABC中，∠BAC=110°， ∴∠B＋∠C=180°－110°=70°。 由翻折的性质可知，∠B=∠DAE，∠C=∠MAN， ∴∠DAE＋∠MAN=∠B＋∠C=70°， ∴∠DAM=110°－70°=40°。 11.(3分)如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE相交于点G。若∠BDC=130°，∠BGC=100°，则∠A的度数为　70　°。  【解析】 如答图，连结BC。 第11题答图 ∵∠BDC=130°， ∴∠DBC＋∠DCB=180°－130°=50°。 ∵∠BGC=100°， ∴∠GBC＋∠GCB=180°－100°=80°。 ∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线， ∴∠GBD＋∠GCD=∠ABD＋∠ACD=80°－50°=30°， ∴∠ABC＋∠ACB=∠ABD＋∠ACD＋∠DBC＋∠DCB=30°×2＋50°=110°， ∴∠A=180°－(∠ABC＋∠ACB)=70°。 12.(8分)如图，AC，BD相交于点O，连结AB，CD，BE，CE分别平分∠ABD，∠ACD，BD与CE相交于点H，BE与AC相交于点F。求证：∠E=(∠A＋∠D)。 证明：∵在△AFB和△EFC中，∠AFB=∠EFC，BE，CE分别平分∠ABD，∠ACD， ∴∠A＋∠ABD=∠E＋∠ACD。① 同理，∠D＋∠ACD=∠E＋∠ABD。② 由①＋②，得∠A＋∠D=2∠E， ∴∠E=(∠A＋∠D)。 13.(10分)[推理能力](1)(3分)如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB。求证：∠P=90°＋∠A。 (2)(3分)如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACE。猜想∠P与∠A有何数量关系，并证明你的结论。 (3)(4分)如图3，BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBF，∠BCE。猜想∠P与∠A有何数量关系，并证明你的结论。 解：(1)∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB。 又∵∠ABC＋∠ACB=180°－∠A， ∴∠PBC＋∠PCB=(180°－∠A)， ∴∠P=180°－∠PBC－∠PCB=180°－(180°－∠A)=90°＋∠A。 (2)∠P=∠A。证明如下： ∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACE的平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCE=∠ACE。 又∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角， ∴∠ACE=∠ABC＋∠A，∠PCE=∠PBC＋∠P， ∴∠ACE=∠ABC＋∠P，∠ACE=∠ABC＋∠A， ∴∠P=∠A。 (3)∠P=90°－∠A。证明如下： ∵BP平分∠CBF，CP平分∠BCE，∠P＋∠PBC＋∠PCB=180°， ∴∠P=180°－(∠PBC＋∠PCB) =180°－(∠CBF＋∠BCE) =180°－(∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC) =180°－(∠A＋180°) =90°－∠A。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3　证明 第1课时　证明(1) 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.如图，下列命题中，正确的是( ) ①若∠1=∠3，则AD∥BC； ②若AD∥BC，则∠1=∠2=∠3； ③若∠1=∠3，AD∥BC，则∠1=∠2； ④若∠C＋∠3＋∠4=180°，则AD∥BC。 A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 2.如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DF的是( ) A.∠1=∠2 B.∠4＋∠2=180° C.∠2=∠3 D.∠A=∠1 3.如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件：①∠1=∠3；②∠2＋∠5=180°；③∠4=∠B；④∠D＋∠BCD=180°。其中能判断AD∥BC的是( ) A.①② B.①④ C.①③ D.②④ 4.将一副三角尺按如图所示的方式摆放在直线m，n之间，∠1=25°，∠2=30°。若想证明m∥n，则还需要的条件可以是( ) A.∠3=70° B.∠4=40° C.∠5=20° D.∠4=∠5 第4题图 5.(5分)如图，已知∠1=∠3，CD∥EF。求证：∠1=∠4。请将过程填写完整。 证明：∵∠1=∠3(已知)， ∠2=∠3( )，  ∴∠1= 。  ∵CD∥EF， ∴ = ( )，  ∴∠1=∠4。 6.(8分)如图，∠ABD=100°，且BC平分∠ABD，∠1=50°。 (1)(4分)求证：AB∥CD。 (2)(4分)求∠2的度数。 7.(8分)如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥AC，交BC于点E，点F在边AC上，∠AFD=∠BED。 (1)(4分)求证：DF∥BC。 (2)(4分)若∠A＋∠B=120°，求∠FDE的度数。 8.(6分)推理填空，在括号里填写证明依据： 如图，AD∥BC，AE∥DC，点E在线段BC上，点F在射线BA上，若∠B=∠C，则AD平分∠FAE，请说明理由。 证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB( )。  ∵AE∥DC， ∴∠AEB=∠ ( )，  ∴∠DAE=∠ (等量代换)。  又∵∠B=∠C，∴∠DAE=∠B。 ∵AD∥BC， ∴∠FAD=∠ ，  ∴∠FAD=∠ (等量代换)，  ∴AD平分∠FAE。 9.(8分)如图，AD∥BC，E是BA延长线上一点，∠E=∠DCE。 (1)(4分)求证：∠B=∠D。 (2)(4分)若CE平分∠BCD，∠E=47°，求∠B的度数。 10.(8分)如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠3=∠B，EF∥AB。 (1)(4分)求证：DE∥BC。 (2)(4分)若DE平分∠ADC，∠2=4∠B，求∠1。 11.(8分)[推理能力]已知：AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，P是线段EF上一点，M，N分别在射线EB，FD上，连结PM，PN。 (1)(4分)如图1，求证：∠MPN=∠EMP＋∠FNP。 (2)(4分)如图2，当MP⊥NP时，MQ平分∠EMP，NQ平分∠DNP，求∠MQN的度数。 第2课时　证明(2) 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.如图，AE∥CD，CA平分∠BCD，∠2=35°，∠D=60°，则∠B的度数为( ) A.52° B.50° C.45° D.25° 2.在如图所示的图形中，x等于( ) A.50° B.60° C.70° D.80° 3.在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则( ) A.必有一个内角等于30° B.必有一个内角等于45° C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90° 4.如图，点C在AB的延长线上，过点C作CE⊥AF于点E，交FB于点D。若∠F=40°，∠C=20°，则∠FBA的度数为( ) A.50° B.60° C.70° D.80° 5.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，BC∥EF，则∠ADE的大小为( ) A.60° B.65° C.75° D.85° 6.(3分)如图，已知AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为 °。  7.(8分)如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，AD是△ABC的角平分线，点E在BD上，点F在CA的延长线上，且EF∥AD。求： (1)(4分)∠BAF的度数。 (2)(4分)∠F的度数。 8.(8分)如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E。 (1)(4分)若∠B=35°，∠E=25°，求∠CAE的度数。 (2)(4分)求证：∠BAC=∠B＋2∠E。 9.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内时，∠A与∠1＋∠2之间的数量关系是( ) A.∠A=∠1＋∠2 B.2∠A=∠1＋∠2 C.3∠A=∠1＋∠2 D.3∠A=2(∠1＋∠2) 10.(3分)如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B，C都与点A重合，折痕分别为DE，MN。若∠BAC=110°，则∠DAM的度数为 °。  11.(3分)如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE相交于点G。若∠BDC=130°，∠BGC=100°，则∠A的度数为 °。  12.(8分)如图，AC，BD相交于点O，连结AB，CD，BE，CE分别平分∠ABD，∠ACD，BD与CE相交于点H，BE与AC相交于点F。求证：∠E=(∠A＋∠D)。 13.(10分)[推理能力](1)(3分)如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB。求证：∠P=90°＋∠A。 (2)(3分)如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACE。猜想∠P与∠A有何数量关系，并证明你的结论。 (3)(4分)如图3，BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBF，∠BCE。猜想∠P与∠A有何数量关系，并证明你的结论。 学科网（北京）股份有限公司 $