1.3 证明 课时练习 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦“证明”课时核心，以基础巩固为起点，通过三级梯度设计实现从单一知识点到综合推理的递进，培养推理意识与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三角形内角和、外角性质、平行线性质|直接应用概念（如单选题1判断三角形内角和），夯实运算能力| |中档层|平行线判定与外角综合、推理过程补全|引入图形变换（如填空题8叠放矩形），强化逻辑推理（如单选题6补全证明步骤）| |提升层|多知识点综合应用、实际问题建模|设置生活情境（如解答题18零件检验），需多步推理（如解答题17推导∠BOC与∠A+∠B+∠C关系），发展应用意识|

1.3 证明 课时练习 一、单选题 1.以下判断正确的是（    ） A. 三角形的一个外角等于两个内角的和                  B. 三角形的外角大于任何一个内角 C. 一个三角形中，至少有一个角大于或等于60°      D. 三角形的外角是内角的邻补角 2.如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2=44°，则∠1的大小为(    ) A. 14°                                    B. 16°                                    C. 90°-α                                    D. α-44° 3.AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD= (       ) A. 25°                                       B. 60°                                       C. 85°                                       D. 95° 4.已知， ，判断 之间的关系满足（  ） A.                                      B.  C.                                       D.  5.如图所示，两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，∠1=75°，下列说法正确的（  ） A. 若∠4=75°，则AB∥CD                                       B. 若∠4=105°，则AB∥CD C. 若∠2=75°，则AB∥CD                                       D. 若∠2=155°，则AB∥CD 6.下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容。 已知：如图，∠BEC=∠B+∠C 求证：AB∥CD 证明：延长BE交※于点F， 则∠BEC=180°-∠FEC=◎+∠C 又∠BEC=∠B+∠C，得∠B=▲ 故AB∥CD(@相等，两直线平行) 则回答正确的是(    ) A. ◎代表∠FEC                      B. @代表同位角                      C. ▲代表∠EFC                      D. ※代表AB 二、填空题 7.如图所示，边长为1正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则 的度数为________． 8.小明在玩“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题，如图，若AB∥CD，∠BAE=92°，∠DCE=121°，则∠AEC=________°。 9.一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是21°和32°．当检验工人量得的∠BDC的度数不等于________度时，就可判定此零件不合格？        10.如图，给出下列三个论断：①∠B+∠D=180°；②AB∥CD；③BC∥DE．请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以一个论断作为结论，填入“结论栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并说明理由． 已知，如图， ________ ， 结论： ________ ． 理由： ________ ． 11.如图，在 中， ， 和 的平分线交于点 ，得 ； 和 的平分线交于点 ，得 和 的平分线交于点 ，则 ________度. 12.请在括号内填写下列证明过程的依据：已知：如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC 的平分线。 求证：∠A=2∠H 证明：∵∠ACD是∠ABC的一个外角， ∴∠ACD=∠ABC+∠A ________ ∠2是△BCH的一个外角， ∠2=∠1+∠H（理由同上） ∵CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线 ∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACD ________ ∴∠A=∠ACD-∠ABC=2（∠2-∠1） （等式的性质） 而∠H=∠2-∠1 （等式的性质） ∴∠A=2∠H________ 三、解答题 13.如图，点D、E在AB上点F在BC上，点G在AC上，∠1=∠B，∠2=∠3，∠4=80°，求∠ADC的度数. 14.已知：如图，在△ABC中，AD∥BC，AD平分外角∠EAC，求证：∠B=∠C． 15.阅读并填空．已知：如图，线 、线 是直线， ．试说明 ． 解： （已知） ________（________） （已知） ________（________） （已知） （________） 即 ________ ________（________） （________） 16.              （1）中德关系源远流长，中德经济合作广泛。如图1，是德国较早进入中国内地的汽车公司品牌奔驰的标志．已知A、B、D是圆上的三点，O是圆心 求证：∠ACB=∠AOB+∠CBO+∠CAO。 （2）如图2，CE和BD相交于点O，若∠EOD=140°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。 17.如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O. （1）若∠A=50°，∠BOD=70°，∠C=30°，求∠B的度数； （2）试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并证明你猜想的正确性. 18.在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠BAE：∠CAE＝4：6，BD平分∠ABC，点F在BC上，∠CDF＝60°，∠ABD＝25°. （1）求∠CAE的度数； （2）求证：DF⊥BC. 答案解析部分 一、单选题 1. C 考点：三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形相关概念 解：A．应为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故本选项不符合题意； B．应为三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，故本选项不符合题意； C．根据三角形的内角和定理，若三个内角都小于60°，则内角和小于180°，所以一个三角形中，至少有一个角大于或等于60°，故本选项符合题意； D．应为三角形的外角是相邻内角的邻补角，故本选项不符合题意． 故答案为：C 分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，三角形的内角和定理，三角形的外角是相邻内角的邻补角，对各选项分析判断后利用排除法 2. A 考点：平行线的性质，三角形的外角性质 解：如图： ∵AD∥BC， ∴∠3=∠2=44°， ∵∠3=∠1+30°， ∴∠1=14°. 故答案为：A. 分析：根据平行线的性质得∠3=∠2=44°，由三角形外角性质得∠3=∠1+30°，即可求出∠1=14°. 3. D 考点：三角形的外角性质 解：∵AD是∠CAE的平分线， ∴∠EAC=2∠DAE=120°， ∴∠ACB=∠EAC-∠B=120°-35°=85°， ∴∠ACD=180°-∠ACB=95°. 故答案为：D. 分析：根据角平分线的定义得到∠EAC=2∠DAE=120°，根据三角形的外角的性质计算即可. 4. C 考点：平行线的性质，三角形的外角性质 解：延长CD，DC，分别交EF，AB于点G，H ∵ ∴∠1+∠4=90° ∴∠1+∠4+∠2=90°+∠3+∠5 ∵ ∴∠4=∠5 ∴∠1+∠2=90°+∠3 即 故答案为：C 分析：延长CD，DC，分别交EF，AB于点G，H，已知 ，可知∠1+∠4=90°，已知 ，可得，且∠2=∠3+∠5，即可求解． 5.B 考点：平行线的判定，推理与论证 解：答：解：A、∵∠4=75°， ∴∠3=180°-75°=105°， ∴∠1≠∠3， ∴AB、CD不平行， 故不符合题意； B、∵∠4=105°， ∴∠3=180°-105°=75°， ∴∠1=∠3， ∴AB、CD平行， 故符合题意； C、∵∠2=75°， ∴∠1=∠2， 又∵∠1、∠2是对顶角， ∴AB、CD不平行， 故不符合题意； D、∵∠2=155°， ∴∠1≠∠2， 又∵∠1、∠2是对顶角， ∴∠1=∠2， 故此题矛盾，而AB、CD更不可能不平行， 故不符合题意． 故答案为：B． 分析：（1）由邻补角的性质可得∠3=180°-75°=105°≠∠1，同位角不相等，不能判断两直线平行； （2）由邻补角的性质可得∠3=180°-105°=75°=∠1，根据同位角相等，两直线平行可求解； （3）由已知可得∠1=∠2，对顶角相等，不能判断两直线平行； （4）由对顶角相等可得对顶角相等，与已知∠1≠∠2矛盾，不能判断两直线平行。 6. C 考点：平行线的判定，三角形的外角性质 解：证明：延长BE交CD于点F，则 ∠BEC＝∠EFC＋∠C． 又∵∠BEC＝∠B＋∠C， ∴∠B＝∠EFC， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． ∴※代表CD，⊙代表∠EFC，▲代表∠EFC，□代表内错角． 故答案为：C． 分析：延长BE交CD于点F，利用三角形外角的性质可得出∠BEC＝∠EFC＋∠C，结合∠BEC＝∠B＋∠C可得出∠B＝∠EFC，利用“内错角相等，两直线平行”可证出AB∥CD，找出各符号代表的含义，再对照四个选项即可得出结论． 二、填空题 7. 45° 考点：三角形的外角性质，图形的剪拼 解：过C作CD AB交BA的延长线于 D，则D刚好在格点上，  边长为1正方形，     是 的外角，   故答案为： 分析：过C作CD AB交BA的延长线于 D，则D刚好在格点上，利用正方形的性质，三角形的外角的性质可得答案． 8. 29 考点：平行线的性质，三角形的外角性质 解：如图，延长DC到E，交AE于点F，  ∵  AB∥CD，  ∴ ∠DFE=∠BAE=92°，  ∵ ∠DCE=∠DFE+∠AEC ,  ∴∠AEC=121° -92°=29º.   分析：延长DC到E，交AE于点F，根据平行线的性质得∠DFE=∠BAE，由外角的性质得∠DCE=∠DFE+∠AEC ,即可求出∠AEC的度数. 9.143 考点：三角形内角和定理，三角形的外角性质，推理与论证 解：延长CD交AB于E．∵∠BED=∠A+∠C，∠BDC=∠BED+∠B，∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°， ∴∠BDC=∠A+∠C+∠B=90°+21°+32°=143°． 故当检验工人量得∠BDC≠143°时，就可判定此零件不合格． 分析：由题意补全图形，延长CD交AB于E。根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BED=∠A+∠C，∠BDC=∠BED+∠B，再根据已知条件可得∠BDC=∠A+∠C+∠B即可求解。 10.①②；③；平行线的判定与性质 考点：平行线的判定与性质，推理与论证 解：如果∠B+∠D=180°，AB∥CD，那么BC∥DE．理由如下：∵AB∥CD（已知）， ∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠B+∠D=180°（已知）， ∴∠C+∠D=180°， ∴BC∥DE（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：①②，③，平行线的判定与性质． 分析：根据平行线的性质和已知条件易得∠C+∠D=180°，再根据同旁内角互补，两直线平行可得BC∥DE。 11. 考点：角的平分线，三角形的外角性质，探索图形规律 解：∵ 平分 , 平分 ，  . ∵ ， 即 ， ∴ . ∵ ， ， . 同理可得 ∴ . 故答案为： . 分析：利用角平分线的性质，三角形外角的性质，易证 ，进而可求 ，由于 ，以此类推即可得出答案. 12.三角形的一个外角等于喝它不相邻的两个内角的和；角平分线的定义；等量代换 考点：三角形内角和定理，三角形的外角性质，推理与论证 解：根据证明步骤得，每一步的依据是三角形的一个外角等于喝它不相邻的两个内角的和；角平分线的定义；等量代换分析：由角平分线的性质可得∠2= ∠ACD，∠1=∠ABC，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得：∠2=∠1+∠BEC，∠ACD=∠A+∠ABC，代入整理即可求得∠A=2∠BEC。 三、解答题 13. 解：∵∠1=∠B，∠2=∠3， ∴∠ADC=∠1+∠2=∠B+∠3， ∵∠4=∠B+∠3=80°， ∴∠ADC=80°. 考点：三角形的外角性质 分析：分别由∠1和∠B相等，∠2和∠3相等，把∠ADC转化为求∠B和∠3之和，现知∠4的度数，则利用三角形外角和定理可求∠B和∠3之和，则 ∠ADC的度数可知. 14. 证明：AD∥BC， ∠B=∠EAD,∠C=∠DAC, AD平分外角∠EAC， ∠EAD=∠DAC ∠B=∠C 考点：同位角、内错角、同旁内角，三角形的外角性质 分析：根据同位角和内错角相等，利用角平分线的性质，可证明。 15. ；两直线平行，同位角相等；；等量代换；等式的性质；DAC；DAC；等量代换；内错角相等，两直线平行 分析：根据平行线的性质以及判定定理填写即可． 考点：同位角、内错角、同旁内角，平行线的判定与性质 解： （已知） （两直线平行，同位角相等） （已知） （等量代换） （已知） （等式的性质） 即 （等量代换） （内错角相等，两直线平行） 16. （1）证明：延长AC交BO于点P， ∵∠APB是△APO的外角，∴∠APB=∠CAO+∠AOB ∵∠ACB是△CPB的外角， ∴∠ACB=∠APB+∠CBO=∠CAO+∠AOB+∠CBO； （2）根据(1)中的结论，∠A+∠B+∠C=∠BOC；∠D+∠E+∠F=∠EOD， ∵∠EOD=∠BOC=140°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠EOD=280°． 考点：三角形内角和定理，三角形的外角性质 分析：（1） 延长AC交BO于点P ，根据三角形外角的性质，根据等量代换，即可得到答案； （2）根据（1）中的结论，结合三角形的内角和定理即可得到答案。 17. （1）解：∵∠A=50°，∠C=30°，∴∠BDO=80°；∵∠BOD=70°，∴∠B=30° （2）解：∠BOC=∠A+∠B+∠C. 理由：∵∠BOC=∠BEC +∠C，∠BEC=∠A+∠B， ∴∠BOC=∠A+∠B+∠C 考点：三角形的外角性质 分析：（1）由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可求得∠BDO的度数，然后用三角形内角和定理可求解； （2）由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得 ∠BOC=∠BEC +∠C，∠BEC=∠A+∠B， 代入整理即可求解. 18. （1）解：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝25° ∴∠ABC=2∠ABD=50°， ∵AE⊥BC ∴∠AEB=∠AEC=90° ∴∠BAE=180°－∠AEB－∠ABC=40° ∵∠BAE：∠CAE＝4：6， 解得：∠CAE＝60° （2）证明：在△CAE中，∠CAE＝60°，∠AEC=90° ∴∠C=180°－∠CAE－∠AEC=30° ∵∠CDF＝60° ∴∠DFB=∠CDF＋∠C=90° ∴DF⊥BC. 考点：垂线，三角形内角和定理，角平分线的性质 分析：（1）根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABD=50°，然后根据垂直的定义可得∠AEB=∠AEC=90°，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠BAE，然后根据已知比例式即可求出结论；（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠C，然后根据三角形外角的性质即可求出∠DFB=90°，最后根据垂直的定义即可证出结论. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $