1.3 二次函数的性质 课时练习 2026-2027学年 浙教版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦二次函数性质，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从单一知识点到参数探究的递进，培养运算能力与推理意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|最值、对称轴、图像与坐标轴交点|单选1-5直接应用公式求最值，填空13-15判断增减性，夯实概念理解| |中档|性质综合应用|单选6-10结合非负数（如第7题）、方程思想（如第10题），填空16-17融合增减性与最值，培养模型观念| |提升|参数探究与综合分析|单选11-12分类讨论含参最值，填空18确定参数范围，解答21综合图像性质，发展逻辑推理能力|

1.3 二次函数的性质 课时练习 一、单选题 1.已知二次函数y＝﹣ +2x+3，则该函数的最大值为（　　） A. ﹣2                                         B. 2                                         C. ﹣3                                         D. 5 2.某商场降价销售一批名牌衬衫,已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系是y=-2x2+60x+800,则利润获得最多为(    ) A. 15元                                 B. 400元                                 C. 800元                                 D. 1250元 3.把一个小球以20米/秒的速度竖起向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t－5t ，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（   ） A. 1秒                                      B. 2秒                                      C. 4秒                                      D. 20秒 4.已知：二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示： x … ﹣1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（   ） A. （1，4）                           B. （2，0）                           C. （3，0）                           D. （4，0） 5.已知抛物线 (m是常数)，点A( ， )，B( ， )在抛物线上，若 ， ，则m，y1 ， y2的大小关系的是（    ） A.                       B.                       C.                       D.  6.对于二次函数 ，下列说法正确的是（　　　） A. 当 ， 随 的增大而增大                        B. 当 时， 有最大值 C. 图象的顶点坐标为                                      D. 图象与 轴有一个交点 7.已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（　　） A. 9                                          B. 8                                          C. 1                                          D.  8.在二次函数 的图像中，若 随 的增大而增大，则 的取值范围是（   ） A.                                  B.                                  C.                                  D.  9.已知二次函数 (其中 是自变量)，当x≥2时， 随 的增大而增大，且−2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（   ） A. 1或-2                                   B.                                    C. 或                                    D. 1 10.已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图像经过点（-1，-3），则代数式mn+1有（   ） A. 最小值-3                            B. 最小值3                            C. 最大值-3                            D. 最大值3 11.当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（   ） A.                       B.  或                       C. 2或                       D. 2或 或 12.已知点（x0 ， y0）是二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的一个点，且x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项正确的是（   ） A. 对于任意实数x都有y≥y0                                     B. 对于任意实数x都有y≤y0 C. 对于任意实数x都有y＞y0                                    D. 对于任意实数x都有y＜y0 二、填空题 13.已知二次函数 ，当0≤x≤4，y的最小值是________,最大值是________. 14.如果点A(－2，y1)和点B(2，y2)是抛物线y＝(x＋3)2上的两点，那么 y1________y2(填“＞”“＝”或“＜”)． 15.二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法：①抛物线的开口向下；②当x＞－3时，y随x的增大而增大；③二次函数的最小值是－2；④抛物线的对称轴是x＝－2.5.其中正确的是________.（填序号） 16.对于实数 ， ， ， 表示 ， 两数中较小的数，如 ， .若关于 的函数 ， 的图象关于直线 对称，则 的取值范围是________，对应的 值是________. 17.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而减小，且-4≤x≤1时，y的最大值为7，则a的值为 ________ 18.已知y＝﹣x（x+3﹣a）+1是关于x的二次函数，当1≤x≤5时，如果y在x＝1时取得最小值，则实数a的取值范围是________． 三、解答题 19.抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B（点A在点B右边），且 ，求点A、B的坐标． 20.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(−1,0)和点C(0,3)，对称轴为直线x=1. （1）求该二次函数的关系式和顶点坐标； （2）结合图象，解答下列问题： ①当−1<x<2时，求函数y的取值范围。 ②当y<3时，求x的取值范围。 21.抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点． （1）求出m的值并画出这条抛物线； （2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标； （3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？ （4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？ 答案解析部分 一、单选题 1. D 考点：二次函数的最值 解：∵二次函数y＝﹣ +2x+3的二次项系数为﹣ ， ∴当x＝﹣ ＝2时，函数取得最大值y＝﹣ ×22+2×2+3＝5 故答案为：D. 分析：二次项系数为负值的二次函数，其图象开口向下，顶点纵坐标为函数的最大值，据此可解. 2. D 考点：二次函数的最值 解：y=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250 ∵-2＜0 故当x=15时，y有最大值，最大值为1250 即利润获得最多为1250元 故答案为：D. 分析：将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润. 3. B 考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：∵h=20t-5t2=-5t2+20t中， 又∵-5＜0， ∴抛物线开口向下，有最高点， 此时，t=- 故答案为：B． 分析：已知函数式为二次函数解析式，最高点即为抛物线顶点，求达到最高点所用时间，即求顶点的横坐标，根据顶点坐标公式即可求出答案. 4. C 考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x 1； 点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）. 故答案为：C. 分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可. 5. A 考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：∵ ， ∴ ，有最大值为 ， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线 对称轴为直线 ， 设A( ， )的对称点为A′( ， )， ∴ ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ . 故答案为：A. 分析：根据二次函数的性质得到抛物线 的开口向下，有最大值为 ，对称轴为直线 ，设A( ， )的对称点为A′( ， )，从而求得 ，由 ， ，得出 ，则在对称轴右侧，y随x的增大而减小，所以 时， . 6. B 考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：∵ ∴图象的顶点坐标为 ，选项C错误； ∵ ∴二次函数图象开口向下，当 时， 有最大值 ，选项B正确； ∵当 ， 随 的增大而减小，当 ， 随 的增大而增大，选项A错误； ∵关于x的方程 ， ，有两个不相等的实数根， ∴二次函数 ，图象与 轴有两个交点，选项D错误； 故答案为：B. 分析：将二次函数化为顶点式，即可得出二次函数图象的开口方向以及二次函数图象的对称轴、顶点坐标，利用根的判别式可判断出二次函数图象于x轴的交点的个数. 7. B 考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4， ∴b＝2﹣a，c＝3a+4， ∵b，c都是非负数， ∴ ， 解不等式①得，a≤2， 解不等式②得，a≥﹣ ， ∴﹣ ≤a≤2， 又∵a是非负数， ∴0≤a≤2， S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4， ＝a2+2a+6， ∴对称轴为直线a＝﹣ ＝﹣1， ∴a＝0时，最小值n＝6， a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14， ∴m﹣n＝14﹣6＝8． 故答案为：B． 分析：用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解． 8. A 考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：∵二次函数 的开口向下， ∴所以在对称轴的左侧y随x的增大而增大． ∵二次函数 的对称轴是 ， ∴ ．故答案为：A． 分析：由于抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，据此即可求出x的范围. 9. D 考点：二次函数的最值，二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：∵二次函数 (其中x是自变量)， ∴对称轴是直线x=  =−1， ∵当x≥2时，y随x的增大而增大， ∴a>0， ∵−2≤x≤1时，y的最大值为9， ∴x=1时,y=a+2a+3a2+3=9， ∴3a2+3a−6=0， ∴a=1,或a=−2(不合题意舍去). 故答案为：D. 分析：先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0，然后由-2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a． 10. A 考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：∵二次函数y＝x2＋mx＋n的图像经过点（-1，-3）， ∴-3=1-m+n， ∴n=-4+m， 代入mn+1，得mn+1=m2-4m+1=(m-2)2-3. ∴代数式mn+1有最小值-3. 故答案为：A. 分析：把点（-1，-3）代入y＝x2＋mx＋n得n=-4+m，再代入mn+1进行配方即可. 11. C 考点：二次函数的最值 解：二次函数的对称轴为直线x=m，①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值， 此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4， 解得m= ，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值， 此时，m2+1=4， 解得m=﹣ ，m= （舍去）；③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值， 此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4， 解得m=2， 综上所述，m的值为2或﹣ ． 故选C． 分析：根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可． 12. B 考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：由于点（x0 ， y0）是二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的一个点，且x0满足关于x的方程2ax+b=0，则点（x0 ， y0）为二次函数的顶点；又由于a＜0，开口向下，则点（x0 ， y0）为最大值点；即对于任意实数x都有y≤y0. 故答案为：B. 分析：根据x0满足关于x的方程2ax+b=0可得x0=-,于是可知（x0 ， y0）为二次函数的顶点；由a＜0可知抛物线的开口向下，于是可得抛物线有最大值，即对于任意实数x都有y≤y0. 二、填空题 13. 1；-18 考点：二次函数的最值 解：由二次函数公式可得：对称轴为直线x=3； x=3在0≤x≤4范围内，故x=3时，函数有最小值-1. 当x=0时，函数取到最大值8. 分析：根据x=-可求得对称轴方程；结合已知和二次函数的性质可得函数有最小值-1；根据x的范围可知当x=0时，函数取到最大值8. 14. ＜ 考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：当x=﹣2时，y1=（﹣2+3）2=1，当x=2时，y2=（2+3）2=25，y1＜y2 ， 故答案为＜． 分析：将x=-2，x=2分别代入解析式中，求出y1与，y2的值，然后比较即可. 15. ④ 考点：待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：由题意可知函数图象过点 、 和 ， ，解得 ， 抛物线解析式为 ， 抛物线开口向上，对称轴为 ，最小值为 ，当 时 随 的增大而增大， 正确的是④， 故答案为：④. 分析：首先根据表格提供的数据，利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将抛物线的解析式配成顶点式，根据抛物线的系数、图象与性质即可一一判断得出答案。 16. 或 ；6或3 考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：设 ， ①当 与 关于 对称时，可得 ， ②在 ， 中， 与 没重合部分，即无论 为何值， 即 恒小于等于 ，那么由于 对 对称，也即 对于 对称，得 ， . 综上所述， 或 ，对应的 值为6或3 故答案为： 或 ，6或3 分析：设 ， ， 然后分①当 与 关于 对称时，求出相应的a及t的值，②根据偶数次幂的非负性得恒大于0，故恒小于0，从而即可得出 ， 再根据对称轴直线是x=3，从而即可求出t的值，综上所述即可得出答案。 17. -1 考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：∵ 二次函数y=ax2+2ax+3a2+3， ∴对称轴x=-=-1， ∵ 当x≥2时，y随x的增大而减小，且-4≤x≤1时，y的最大值为7， ∴a＜0，且当x=-1时，y=7， ∴7=a-2a+3a2+3， 解得：a=-1或a=（舍去）， ∴a=-1. 故答案为：-1. 分析：根据二次函数的解析式可知其对称轴为x=-1，由二次函数性质结合题意可得a＜0，且当x=-1时，y=7，代入、计算即可得出答案. 18. a≥9 考点：二次函数的最值，二次函数y=ax^2+bx+c的性质 解：第一种情况： 当二次函数的对称轴不在1≤x≤5内时，此时，对称轴一定在1≤x≤5的右边，函数方能在x=1时取得最小值，x 5，即a＞13． 第二种情况： 当对称轴在1≤x≤5内时，对称轴一定是在区间1≤x≤5的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x=5的地方取得最小值，即： x ，即a≥9（此处若a取9的话，函数就在1和5的地方都取得最小值） 综合上所述：a≥9． 故答案为：a≥9． 分析：由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分对称轴不在[1，5]和对称轴在[1，5]内两种情况进行解答． 三、解答题 19. 解：∵抛物线y＝ax2+2ax+c， ∴抛物线的对称轴为：直线x＝﹣1， ∵A在B右边，且AB＝4， ∴B（﹣3，0），A（1，0）． 考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质 分析：根据抛物线的对称轴直线x=-,得出其对称轴直线，根据AB等于4及抛物线的对称性可知A,B两点到对称轴直线的水平距离是2，从而得出A,B两点的坐标。 20. （1）解：根据题意得 ,解得 ， 所以二次函数关系式为y=−x2+2x+3， 因为y=−(x−1)2+4， 所以抛物线的顶点坐标为(1,4) （2）解：①当x=−1时，y=0；x=2时，y=3； 而抛物线的顶点坐标为(1,4)，且开口向下， 所以当−1<x<2时，0<y⩽4； ②当y=3时,−x2+2x+3=3，解得x=0或2， 所以当y<3时，x<0或x>2. 考点：待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质 分析：（1）将点A(−1,0)和点C(0,3)，对称轴为直线x=1分别代入解析式中，可得关于abc的方程组，解出a、b、c的值即得抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）①分别求出当x=−1， x=2时的y值，由于抛物线的顶点坐标为(1,4) ，据此可求出结论； ②求出当y=3时x的值，结合图象即可求出当y<3时x的范围. 21. （1）解：由抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）得：m=3． ∴抛物线为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4． 列表得： x -1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 图象如下． （2）解：由﹣x2+2x+3=0，得：x1=﹣1，x2=3． ∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）． ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4 ∴抛物线顶点坐标为（1，4）． （3）解：由图象可知： 当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方 （4）解：由图象可知： 当x＞1时，y的值随x值的增大而减小． 考点：二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=ax^2+bx+c的性质 分析：（1）将点（0,3）代入函数解析式，就可求出m的值，再用描点法画出函数的图像。 （2）要求抛物线与x轴的交点，由y=0，解方程求出x的值，就可得出抛物线与x轴的交点坐标；再将函数解析式转化为顶点式，写出顶点坐标。 （3）观察x轴上方的图像，可得出答案。 （4）由对称轴为直线x=1，就可得出y的值随x值的增大而减小时，自变量的取值范围。   www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $