1.2～1.3 二次函数图像与性质等知识点 同步练 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 围绕二次函数图象与性质等四知识点，以“基础选择填空+综合解答”分层，覆盖从单一性质到实际应用的巩固路径，适配新授课知识内化与能力初步提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|图象性质、平移规律、系数符号判断|选择填空为主，如抛物线开口方向判断、平移后解析式求解，强化概念理解与运算能力| |综合层|图形问题与实际应用|解答题为主，如苗圃面积函数建模、矩形区域面积计算，培养模型意识与几何直观|

第1章 1.2节和1.3节 二次函数图像与性质等知识点同步练 知识点一：根据y=ax²+bx+c的图象与性质解题 例题： （选择题）已知抛物线，下列结论错误的是（   ）。 A．拋物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．拋物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 同步练： （选择题）1.一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，图象如图所示，有下列结论：①②③④，其中正确的是（ ）。 A．①② B．③④ C．①④ D．②④ （选择题）2.在平面直角坐标系中，两点在抛物线上，则下列结论中正确的是（   ）。 A．若，且，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 （选择题）3.已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（   ）。 A．二次函数图象关于直线对称 B．和3是方程的两个根 C．当时，随的增大而增大 D．二次函数图象与轴交点的纵坐标是 （填空题）4.将二次函数化为一般形式是 ____________。 （填空题）5.抛物线的图象上有三个点，则的大小关系是__________。 （填空题）6.已知抛物线的顶点的横坐标是2，则的值是________。 知识点二：利用二次函数图象平移解题 例题： （选择题）将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为（   ）。 A． B． C． D． 同步练： （选择题）1.把抛物线先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是（   ）。 A． B． C． D． （选择题）3.二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（   ）。 A． B． C． D． （填空题）4.把抛物线y＝﹣3x2向左平移2个单位，再将它向下平移3个单位，得到抛物线为_________。 知识点三：利用y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、二次函数的图象判断式子符号解题 例题 （选择题）：已知，二次函数图象如图所示，其中对称轴为直线，则下列结论正确的是（   ）。 ①；②；③；④（其中为任意实数） A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④ 同步练： （选择题）1.如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则。其中正确结论的个数是（   ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 （选择题）2.二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④其顶点坐标为；⑤当时，y随x的增大而减小；⑥中正确的有（ ）。 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 （填空题）3.二次函数的图象如图所示，下列四个结论： ①； ②； ③； ④若方程有四个实数根，则这四个实数根的和为4。 其中正确结论是______。（填写序号） 知识点四：根据二次函数解图形问题 例题： （选择题）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为（   ）。 A．7 B．8 C．9 D．10 同步练： （选择题）1.如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为2，且与在同一条直线上，开始时，点C与点D重合，让沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数的图象大致是（   ）。 A． B． C． D． （解答题）2.如图所示，有一直角梯形的苗圃，它的两邻边借用了成的墙角（墙足够长），另外两边由总长为的篱笆围成。 （1）苗圃的面积y（单位：）是的长x（单位：m）的函数，求该函数的表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）判断苗圃的面积能否达到，并说明理由。 （解答题）3.如图，某儿童游乐中心的平面图可近似看成抛物线的一部分与线段围成的封闭图形，点P为抛物线的顶点，点O与点A关于该抛物线的对称轴对称，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，测得，点P到的距离，工作人员计划在抛物线上取点B、E（点B在点E的左侧），在线段上取点C、D，使得四边形区域为矩形，并将矩形区域规划为亲子益智区。 （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点B到x轴的距离为，求亲子益智区（矩形）的面积。 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 1.2节和1.3节 二次函数图像与性质等知识点同步练 知识点一：根据y=ax²+bx+c的图象与性质解题 例题： （选择题）已知抛物线，下列结论错误的是（   ）。 A．拋物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．拋物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，先将解析式化为顶点式，再根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解。 【详解】解：A.抛物线中，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； B.由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意； C.由解析式得，当时，y取最小值，最小值为，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意； D.因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意； 故选：D。 同步练： （选择题）1.一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，图象如图所示，有下列结论：①②③④，其中正确的是（ ）。 A．①② B．③④ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的性质，结合函数图象逐项分析判断，即可求解。 【详解】解：与轴的交点坐标为， 把点代入解析式得： ， ， ．， ，①正确； 由图可得： 抛物线对称轴， ， ， ， 由以上得：，④正确； 当时，，即可判定③错误； 故选：C。 （选择题）2.在平面直角坐标系中，两点在抛物线上，则下列结论中正确的是（   ）。 A．若，且，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】D 【分析】先求出抛物线对称轴，结合得到抛物线开口方向和增减性，再逐项判断即可。 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；点距离对称轴越远，值越大； A.∵，， ∴，即， ∴点离对称轴更远， ∴，故该选项不合题意； B.∵，两点都在对称轴左侧，随增大而减小， ∴，故该选项不合题意； C.∵，，说明顶点纵坐标小于0， 将代入解析式得，可得，但不能推出，故该选项不合题意； D.∵，两点都在对称轴右侧，开口向上时随增大而增大， ∴，故该选项符合题意。 （选择题）3.已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（   ）。 A．二次函数图象关于直线对称 B．和3是方程的两个根 C．当时，随的增大而增大 D．二次函数图象与轴交点的纵坐标是 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象逐一进行判断即可。 【详解】解：观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线，开口向上，故A选项正确，不符合题意； 观察图象得：二次函数图象与x轴交于点， ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为， ∴和3是方程的两个根，故B选项正确，不符合题意； 观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，故C选项错误，符合题意； ∵抛物线经过点 ∴， 解得，， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与轴交点的纵坐标是，故D选项正确，不符合题意；故选：C。 （填空题）4.将二次函数化为一般形式是 ____________。 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确掌握多项式乘多项式运算法则是解题关键。 根据多项式的乘法运算法则计算，结合二次函数的一般式的表示方法即可求解。 【详解】解： 故答案为：。 （填空题）5.抛物线的图象上有三个点，则的大小关系是__________。 【答案】 【分析】先判断与对称轴的距离，再根据二次函数的性质可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题。 【详解】解：∵，-2＜0 ， ∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小， ∵抛物线的图象上有三个点A（-1，y1），B（1，y2），C（2，y3）， 而 |-1-1|=2，|1-1|=0，|2-1|=1， ∴， 故答案为：。 （填空题）6.已知抛物线的顶点的横坐标是2，则的值是________。 【答案】 【分析】由抛物线的顶点的横坐标是2可得抛物线的对称轴为，即可求得的值。 【详解】解：抛物线的顶点的横坐标是2， 对称轴， ， 故答案为：。 知识点二：利用二次函数图象平移解题 例题： （选择题）将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为（   ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，解决本题的关键是掌握平移法则。 根据平移法则，即“左加右减，上加下减”计算平移后的解析式即可。 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度， 所得解析式为，化简得， 故选：A。 同步练： （选择题）1.把抛物线先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减。根据平移规律：上加下减，左加右减写出解析式即可。 【详解】解：把抛物线先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是， 故选：C。 （选择题）3.二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是左加右减，上加下减。根据函数图象向右平移减，向下平移减平移规律，可得答案。 【详解】解：二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是， 故选：D。 （填空题）4.把抛物线y＝﹣3x2向左平移2个单位，再将它向下平移3个单位，得到抛物线为_________。 【答案】y＝﹣3（x+2）2﹣3 【分析】根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”即可求得答案。 【详解】解：把抛物线y＝﹣3x2向左平移2个单位，得到的抛物线为y＝﹣3（x+2）2， 再将抛物线为y＝﹣3（x+2）2向下平移3个单位，得到抛物线为y＝﹣3（x+2）2﹣3， 故答案为：y＝﹣3（x+2）2﹣3。 知识点三：利用y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、二次函数的图象判断式子符号解题 例题 （选择题）：已知，二次函数图象如图所示，其中对称轴为直线，则下列结论正确的是（   ）。 ①；②；③；④（其中为任意实数） A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与性质等知识，涉及的知识点有抛物线的对称轴、抛物线与轴的交点、二次函数的最值等，是重要考点，难度较易，掌握二次函数图象与性质是解题关键。 根据抛物线图象开口方向判断，根据对称轴为，得到，，根据图象可知抛物线与轴交于正半轴，可判断，据此可判断①②；根据可得，即有，可判断③；由二次函数的图象可知最大值在时，即最大值为，据此解题可判断④。 【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，即， 对称轴为， ， 且， 抛物线与轴交于正半轴， ， 故①错误，②正确； ③， ，故③正确； ④抛物线的对称轴为， 当时，函数的最大值，且为， （为任意实数） （为任意实数），故④正确； 综上所述，正确的是②③④， 故选：D。 同步练： （选择题）1.如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则。其中正确结论的个数是（   ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据图象，分别得出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴得出，再根据图象得出当时，，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程移项可得，根据该方程无实数根，得出抛物线与直线没有交点，即可判断④。 【详解】解：①∵该抛物线开口向下， ∴， ∵该抛物线的对称轴在y轴左侧， ∴， ∵该抛物线于y轴交于正半轴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，则， 当时，， 把得：当时，， 由图可知：当时，， ∴， 故②不正确，不符合题意； ③∵该抛物线的对称轴为直线， ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， ∵该抛物线开口向下， ∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， 故③正确，符合题意； ④将方程移项可得， ∵无实数根， ∴抛物线与直线没有交点， ∵， ∴．故④正确 综上：正确的有：①③④，共三个； 故选：C。 （选择题）2.二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④其顶点坐标为；⑤当时，y随x的增大而减小；⑥中正确的有（ ）。 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系；由二次函数的图象可得：，，，对称轴，则再结合图象判断各结论。 【详解】解：由图象可得：，，，对称轴， ①，，， ，正确； ②时，， ，错误； ③， ， ， ，正确； ④对称轴为直线，， 顶点的纵坐标小于，错误； ⑤抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而减小，正确； ⑥顶点的纵坐标小于，， ， ，错误； 故选：A。 （填空题）3.二次函数的图象如图所示，下列四个结论： ①； ②； ③； ④若方程有四个实数根，则这四个实数根的和为4。 其中正确结论是______。（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质．由抛物线开口向下得到；由抛物线的对称轴为直线得到；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到，则；在时，，即，由，得到，，代入到，即可得出；根据二次函数的最值问题得到时，y有最大值，则，变形得到；根据图象的对称与翻折可得结论。 【详解】解：：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，所以①错误； 根据抛物线在时，，即， ∵，， ∴，即，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，y有最大值， ∴， ∴，故③正确； 将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线有四个交点即可， 由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4， 故④正确； 故答案为：②③④。 知识点四：根据二次函数解图形问题 例题： （选择题）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为（   ）。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案。 【详解】解：当y=14时，， 解得，， ∴A（，14），C（，14）， ∴AC=， 故选：C。 同步练： （选择题）1.如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为2，且与在同一条直线上，开始时，点C与点D重合，让沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数的图象大致是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点C的位置对x分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、梯形面积公式和三角形的面积公式计算求出函数解析式，再判断即可。 【详解】解：由题意可知：当点C到点E时，；当点A到点E时，； 当时，如下图所示，此时阴影部分为直角梯形，设与交于点H， ∵，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 对应的函数图象是开口向下的抛物线； 当时，如下图所示，此时阴影部分为直角三角形，设与交于点H， ∵ ，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 对应的函数图象是开口向上的抛物线； 综上所述，只有选项A，当时，对应的函数图象是开口向下的抛物线；当时，对应的函数图象是开口向上的抛物线，选项A符合题意。 （解答题）2.如图所示，有一直角梯形的苗圃，它的两邻边借用了成的墙角（墙足够长），另外两边由总长为的篱笆围成。 （1）苗圃的面积y（单位：）是的长x（单位：m）的函数，求该函数的表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）判断苗圃的面积能否达到，并说明理由。 【答案】（1） （2）苗圃的面积不能达到，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用。 （1）过点D作于E，求得，利用梯形的面积公式即可求解； （2）利用二次函数的性质求得当时，y的最大值是600，苗圃的面积不能达到。 【详解】（1）由题意，。 过点D作于E， ∴，， ∴， ∴。 ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴。 ∵， ∴， ∴； （2）判断：苗圃的面积不能达到， 理由如下： ∴当时，y的最大值是600； ∴苗圃的面积不能达到。 （解答题）3.如图，某儿童游乐中心的平面图可近似看成抛物线的一部分与线段围成的封闭图形，点P为抛物线的顶点，点O与点A关于该抛物线的对称轴对称，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，测得，点P到的距离，工作人员计划在抛物线上取点B、E（点B在点E的左侧），在线段上取点C、D，使得四边形区域为矩形，并将矩形区域规划为亲子益智区。 （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点B到x轴的距离为，求亲子益智区（矩形）的面积。 【答案】（1） （2）亲子益智区（矩形）的面积为 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键。 （1）由待定系数法即可求解； （2）把代入（1）中解析式，求出，根据矩形面积求解即可。 【详解】（1）解：根据题意得，抛物线的顶点为Ｐ的坐标为， 设物线的解析式为， 把代入得，， 解得，， 所以，抛物线的解析式为； （2）解：把代入得， ， 整理得，， 解得，， ∴， ∴ 答：亲子益智区（矩形）的面积为。 试卷第18页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $