1.5.3 等边三角形巩固练习 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，覆盖等边三角形的概念、性质、判定及综合应用，梯度合理，适配新授课知识内化与能力进阶需求，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|等边三角形概念、性质及判定（如两个角为60°的三角形判定）|选择/填空题辨析基础概念（题1考查等边三角形判定条件）| |综合应用|性质与直角三角形、平移等知识结合（如线段垂直平分线应用）|解答题进行简单推理证明（题7利用中点及垂线证等边三角形）| |拓展提升|动态几何、旋转变换及多结论探究（如动点与等边三角形结合）|多问探究题综合运用知识（题17旋转构造等边三角形并探究位置关系）|

1.5.3等边三角形 1.下列条件中，不能得到等边三角形的是() A.有两个角等于60°的三角形 B.一边上的中线也是这条边上的高的三角形 C.底和腰相等的等腰三角形 D.三个外角都相等的三角形 答案：B 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分 别交AC,AB于点D,E,连接BD.若CD=4,则AD的长为() A.4B.8C.12D.16 答案：B 3.如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以，点D为圆心，DB长为 1/16 半径作孤交BC的延长线于点E,则∠DEC=() A.20°B.25°C.30°D.35 答案：C 4.如图，直线l/1m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线 1,m上，若∠ABE=21,则∠ACD的度数是 E 答案：39° 5.如图，在△ABC中，AB=4,BC=6,∠B=60°，将△ABC沿射线BC的 方向平移2个单位长度后，得到△ABC,连接AC,则△ABC的周长为 BB 2/16 答案：12 6.如图，∠AOE=15°，OE平分∠AOB,DE11OB交OA于点 D,EC⊥OB,垂足为C若EC=2,则OD的长为 A D E 0 CB 答案：4 解析：过点E作EH⊥OA于点H,OE平分∠AOB,EC⊥OB. EH=EC.:∠A0E=15,OE平分∠AOB,.∠AOC=2∠A0E=30 .DE/OB,∴.∠ADE=30°，∴.DE=2HE=2EC.EC=2,.DE=4. .∠ADE=30°，∠AOE=15°，.∠DE0=15°，.∴.∠AOE=∠DEO,.∴.OD=DE=4 7.已知：在△ABC中，AB=AC,D为AC的中点，DE⊥AB,DF⊥BC, 垂足分别为E,F,且DE=DF.求证：△ABC是等边三角形. B 3/16 答案：：D为AC的中点，∴.AD=DC,在Rt忪ADE与Rt△CDF中， AD=CD, DE=DF,’ .∴.Rt△ADE≈Rt△CDF,.∠A=∠C..AB=AC,∴.∠B=∠C∠C,∴.∠A=∠B=∠C, 是等边三角形 8.如图，在等边△ABC中，AD=BE,BD,CE相交于点F (1I)求∠CFD的度数； (2)过点B作BG⊥CE,垂足为G.若DF=1,FG=3,则CE的长为 答案： (I):'△ABC是等边三角形，.AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°.在△ABD 和△BCE中， AB=BC, DAB=∠EBC,'.△ABD≌△BCE(SAS),∴.∠ABD=∠BCE,.·∠CFD=∠BCE+∠CBD AD=BE, (2)7 4/16 解析：BC⊥CE,∠CFD=∠BFC=60°，.∠FBC=30°， ∴.BF=2FC=6,∴.BD=BF+DF=7.又.'△ABD..△BCE,∴.BD=CE,∴.CE=BD=7 9.如图，△ABC是等边三角形，AB=10,D是BC边上任意一点， DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则BE+CF的长是（) A.5B.6C.8D.10 B 答案：A 解析：设BD=x,则CD=10-x,.△ABC是等边三角形， ∴.∠B=∠C=60°.'DE⊥AB,DF⊥AC,∴.∠DEB=∠DFC=90°，.∴.∠EDB=∠FDC=30°， 同理可得，CF=10X,BE+CF=+10X=5.故选A 2 22 10.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P 是AD上的一个动，点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（) A.60°B.50°C.45°D.30° 5/16 答案：A 解析：连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小，：△ABC是等边三角 形，AD⊥BC,·∴.PC=PB,∴.PE+PC=PB+PE≥BE,即BE就是PE+PC的 最小值 .∠BCE=60°，BA=BC,AE=EC,∴.BE⊥AC,∴.∠BEC=90°，∴.∠EBC=30°..PB=PC 故选A. 11.如图，∠AOB=60°，OA=OB,动点C从点O出发，沿射线OB方向移 动，以AC为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线 的位置关系是（) A.平行 B.相交 C.垂直D.平行、相交或垂直 6/16 答案：A 解析：，∠AOB=60°，OA=OB,∴.△OAB是等边三角形， .∴.OA=AB,∠OAB=∠ABO=60° ①当点C在线段OB上时，如图①，：'△ACD是等边三角形， .AC=AD,∠CAD=60°，.∠OAC=∠BAD在△AOC和△ABD中， AO=AB, ∠OAC=∠BAD,∴.△AOC≈△ABD.∴.∠ABD=∠AOC=60°， AC=AD, .∠DBE=180°-∠ABO-∠ABD=60°=∠AOB,∴.BD11OA ②当点C在OB的延长线上时，如图②，·△ACD是等边三角形， AC=AD,∠CAD=60,∠OAC=∠BAD在△AOC和△ABD中， AO=AB, ∠OAC=∠BAD,∴.△AOC=△ABD,∴.∠ABD=∠AOC=60°， AC=AD, ∠DBE=180°-∠AB0-∠ABD=60°=∠AOB,.BD/1OA,故选A. 7/16 12.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分 ∠BAC,DE11AB,AD=3,CE=5,则AC的长为 D 答案：8 解析：.∠BAC=120°，AD平分 ∠BAC,.∠BAD=∠CAD=号∠BAC=60.:DE1IAB,∠BAD=∠ADE=60',∠DEC=∠ 是等边三角形，.AE=AD=3,∴.AC=AE+CE=3+5=8 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8.若，点D在直线 AB上（不与点A,B重合），且∠BCD=30,则AD的长为 8/16 答案：6或12 解折：：∠C=90,∠A=30,AB=8,2B=60,BC=号AB=4 如图①，当点D在线段AB上时，∠BCD=30°，∠B=60° ∠BDC=90,BD=号BC=2,AD=AB-BD=6: D 如图②，当点D在线段AB延长线上时， .∠BCD=30°，∠ABC=60°，.∠D=∠ABC-∠BCD=30°=∠BCD,∴.BC=BD=4,∴.AD 如图③，当点D在线段BA延长线上时，此时∠BCD>∠ACB,即∠BCD>90°， 故不符合题意，舍去.综上所述，AD的长为6或12. B ③ D 9/16 14.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC,∠A=60°，点E为 AD边上一点，连接BD,CE,CE与BD交于点F,且CEI1AB,若 AB=8,CE=6,则CF的长为 答案：4 解析：连接AC交BD于点O..'AB=AD,BC=DC,∠BAD=60°，.AC 垂直平分BD,△ABD是等边三角形，· ∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8,BO=OD=4..'CE/AB,.∴.∠BAO=∠ACE=30°， 是等边三角形，∴.DE=EF=DF=2,∴CF=CE-EF=4 15.如图，在等边三角形ABC中，M为AB边上任意一点，延长BC至点N, 使CN=AM,连接MN交AC于，点P,MH⊥AC于点H. (1)求证：MP=NP: 10/16 (②)若AB=a,求线段PH的长.（结果用含a的代数式表示） 答案： (I)如图，过点M作MQ1/BC,交AC于点Q,在等边△ABC中， ∠A=∠B=∠ACB=60°.MQ/IBC,∴.∠AMQ=∠B=60°， ∠AQM=∠ACB=60',∠QMP=∠N,△AMQ是等边三角形， AM=QM,:AM=CW,∴.QM=CN在△QMP和△CNP中， ∠QPM=∠CPN, ∠QMP=∠N,.∴.△QMP≈△CNP(AAS,∴.MP=NP QM=CN, (②)：△AMQ是等边三角形，且 16.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BE 11/16 交AC于点E,点D为AB上一点，且AD=AC,CD,BE交于点M (I)求∠DMB的度数； (2)若CE=1,求AD的长度： (3)若CH⊥BE于，点H,证明：AB=4MH A H B 答案： (:∠A=30,AD=AC,.∠ADC=∠ACD=号x180-30=75又 ∠ACB=90,.∠ABC=60.:BE平分 ∠ABC,∴.∠ABE=30°，∴.∠DMB=∠ADC-∠ABE=75°-30°=45° (2) .∠ABE=∠CBE=30°，.BE=2CE=2..∠ABE=∠A=30°，∴.AE=BE=2,∴.AC=3,.A (3) ,CH⊥BE,∴.∠CHB=90°.'∠HMC=∠DMB=45°，∴.∠HCM=∠HMC=45°，∴.HM=HC 12/16 17.如图，O是等边三角形ABC内一，点，∠AOB=110°，∠BOC=a.将 △BOC绕点c按顺时针方向旋转60得△ADC,则△ADC=△BOC,连接OD: (I)求证：△COD是等边三角形： (2)当∠α=120时，试判断AD与OC的位置关系，并说明理由； (3)探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形 1109 a 答案： (I):'△ADC≈△BOC,∴.CO=CD.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转 60得△ADC,∠DC0=60,△C0D是等边三角形. (2)AD11OC. 理由如下：由(1)知，△DOC是等边三角形，∴.∠CDO=∠DOC=60°、 a=120°，△COB≈△CDA: ∠ADC=∠C0B=120°，.∴.∠AD0=120°-60°=60°，.∠AD0=∠DOC=60°， .AD//OC (3) 13/16 ∠AOD=360°-∠AOB-a-∠C0D=360°-110°-a-60°=190°-a,∠AD0=∠ADC-∠CD0=a-60 ,若∠AD0=∠AOD,即C-60°=190°-a,解得a=125:若∠AD0=∠OAD, 即a-60°=50°，解得a=110°；若∠0AD=∠AOD,即50=190°-a,解得=140°. 综上，当a为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形： 18.(1)如图①，已知∠EOF=120,OM平分∠EOF,A是OM上一点， ∠BAC=60,且与OF,OB分别交于点B,C求证：AB=AC (2)如图②，在(I)的条件下，当∠BAC绕点A逆时针旋转使得，点B落在OF 的反向延长线上时，()中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说 明理由 (3)如图③，已知∠AOC=∠BOC=∠BAC=60°.求证：①△ABC是等边三 角形；②OC=OA+OB. M B B ② ③ 答案： 14/16 (I)如图①，过点A作AG⊥OF于点G,AH⊥OE于点H,则 ∠AHO=∠AGO=90°..∠EOF=120°，∴.∠HAG=60°=∠BAC,.∴.∠HAG-∠BAH=∠BAC- 即∠BAG=∠CAH..·OM平分∠EOF,AG⊥OF,AH⊥OE,∴.AG=AH.在 ∠AGB=∠AHC, △BAG和△CAH中， AG=AH,·△BAG≈△CAH ASA,∴.AB=AC. ∠BAG=∠CAH, ② ③ (2)(1)中的结论还成立.证明如下：如图②，过点A作AG⊥OF于点 G,AH⊥OE于点H,则 ∠AHC=∠AGO=90°..∠EOF=120°，∴.∠HAG=60°=∠BAC.∴.∠HAG-∠BAH=∠BAC-∠ 即∠BAG=∠CAH..OM平分∠EOF,AG⊥OF,AH⊥OE,.AG=AH.在 △BAG和△CAH中， ∠AGB=∠AHC, AG=AH,∴.△BAG≈△CAH ASA,.∴.AB=AC ∠BAG=∠CAH, (3)①如图③，设点F,M分别在BO,OA的延长线上， 15/16 .:∠AOC=∠BOC=60°，∴.∠FOA=180°-∠AOC-∠BOC=60°，∴.∠FOA=∠AOC 即OM平分∠COF.由(2)知AC=AB,,∠BAC=60°，∴.△ABC是等边三角形. ②如图③，在OC上截取ON=OB,连接BN'∠COB=60°，∴.△BON是等 边三角形，∴.BN=OB,∠OBN=60°..△ABC是等边三角形， ∠ABC=60=∠OBN,.∠OBN-∠ABN=∠ABC-∠ABN,即 ∠ABO=∠CBN在△AOB和△CNB中， BA=BC, ABO=∠CBN,∴.△AOB≈△CNB|SAS,∴.OA=NC,∴.OC=ON+CN=OB+OA BO=BN, 即OC=OA+OB. 16/161.5.3等边三角形 1.下列条件中，不能得到等边三角形的是() A.有两个角等于60°的三角形 B.一边上的中线也是这条边上的高的三角形 C.底和腰相等的等腰三角形 D.三个外角都相等的三角形 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分 别交AC,AB于点D,E,连接BD.若CD=4,则AD的长为（) A.4B.8C.12D.16 C B 3.如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以，点D为圆心，DB长为 半径作孤交BC的延长线于点E,则∠DEC=() A.20°B.25°C.30°D.35 1/8 A 4.如图，直线l/1m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线 L,m上，若∠ABE=21,则∠ACD的度数是 D -m 5.如图，在△ABC中，AB=4,BC=6,∠B=60°，将△ABC沿射线BC的 方向平移2个单位长度后，得到△ABC,连接AC,则△ABC的周长为 BB C 6.如图，∠AOE=15°，OE平分∠AOB,DE/1OB交OA于点 D,EC⊥OB,垂足为C若EC=2,则OD的长为 2/8 A E CB 7.已知：在△ABC中，AB=AC,D为AC的中点，DE⊥AB,DF⊥BC, 垂足分别为E,F,且DE=DF求证：△ABC是等边三角形. E D B 8.如图，在等边△ABC中，AD=BE,BD,CE相交于点F. (I)求∠CFD的度数： (2)过点B作BG⊥CE,垂足为G.若DF=1,FG=3,则CE的长为 9.如图，△ABC是等边三角形，AB=10,D是BC边上任意一点， 3/8 DE⊥AB于点E?DF⊥AC于点F,则BE+CF的长是（) A.5B.6C.8D.10 D 10.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P 是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（) A.60°B.50°C.45°D.30 11.如图，∠AOB=60°，OA=OB,动点C从点O出发，沿射线OB方向移 动，以AC为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线 的位置关系是() A.平行 B.相交 C.垂直D.平行、相交或垂直 4/8 C B 12.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分 ∠BAC,DE/AB,AD=3,CE=5,则AC的长为 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8.若点D在直线 AB上（不与点A,B重合），且∠BCD=30,则AD的长为 B 14.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC,∠A=60°，点E为 AD边上一点，连接BD,CE,CE与BD交于点F,且CEI1AB,若 AB=8,CE=6,则CF的长为 5/8 15.如图，在等边三角形ABC中，M为AB边上任意一点，延长BC至，点N, 使CN=AM,连接MN交AC于，点P,MH⊥AC于点H. (1)求证：MP=NP: (2)若AB=a,求线段PH的长.（结果用含Q的代数式表示） 16.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BE 交AC于点E,点D为AB上一点，且AD=AC,CD,BE交于点M (I)求∠DMB的度数； (②)若CE=1,求AD的长度： (3)若CH⊥BE于点H,证明：AB=4MH. 6/8 EH B 17.如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a.将 △BOC绕，点C按顺时针方向旋转60得△ADC,则△ADC=△BOC,连接OD (I)求证：△COD是等边三角形； (2)当∠α=120°时，试判断AD与OC的位置关系，并说明理由： (3)探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形 1109 a 18.(1)如图①，已知∠EOF=120°，OM平分∠EOF,A是OM上一点， ∠BAC=60,且与OF,OE分别交于点B,C求证：AB=AC (2)如图②，在(1)的条件下，当∠BAC绕，点A逆时针旋转使得点B落在OF 的反向延长线上时，()中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说 7/8 明理由 (3)如图③，已知∠AOC=∠BOC=∠BAC=60°.求证：①△ABC是等边三 角形；②OC=OA+OB. E 0 B ② ③ 8/8