3.1勾股定理的探究 培优练习（一） 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

苏科版数学八年级上册3.1勾股定理的探究培优练习（一) 一、折叠问题 1.如图，Rt△ABC,∠A=90°，将△ABC沿DE翻折，使得点C与点B重合。若AB=6,AC-8,则 折痕DE的长为() (C) C.5 D. 25 A.4 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3.将△ABC折叠，使点C与边AB的中点D 重合，折痕为EF,则线段BF的长为() A.3 B.5 C.2 6 3.如图，三角形纸片中，AB=AC,BC=24,∠C=30°，折叠这个三角形， 使点B落在AC的 中点D处，折痕为EF,那么BF的长为 E D 4.如图，正方形ABCD的边长为8，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH, 若点E恰好是BC的中点，则线段CH的长为 5.长方形ABCD中，AB=4,BC=3,P为AD上一点，将△ADP沿BP翻折至△EBP,BE与CD相 交于点G,PE与CD相交于点O,且OE=OD, ①求证：DP=EG②求AP的长 6.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4,点D在AB边上运动，△CDB沿着CD折叠得 到△CDB,直线CB与直线AB相交于E点. B B B 的 B 图1 图2 备用图 (1)如图2，若AC=3,CB⊥AB,求CE的长度； (2)当△ABC为等腰直角三角形时，求AC的值： (3)若AC=3,△EDB为钝角三角形，直接写出BD长度的取值范围. 7.已知在直角三角形ABO中，OA=8,OB=6,D为斜边AB中点，C为边OA上一点. D 图1 图2 (1)OD=( (2)如图1，连结BC交OD于点E.当∠CBO=∠BAO时： ①求证：OD⊥BC; ②求△BEO的面积. (3)如图2，连结CD,将△ACD沿着CD折叠得到△ACD.当AD与△ABO的一边平行时， 求AC的长度. 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm,BC=3cm,若点P从点A出发，以每秒1cm 的速度沿射线AC运动，设运动时间为t秒(t>0). ■ A C 备用图 (I)把△ABC沿着过点P的直线折叠，使点A与点B重合，请求出此时t的值. (2)是否存在t值，使得△ABP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. (3)现把△ABC沿着直线BP翻折，当t为何值时，点C翻折后的对应点C恰好落在直线AB上. 二、全等构造法（一线三等角、旋转手拉手) 9.(I)如图1，△ABC与△CDE中，∠B=∠E=∠ACD,AC=CD,B、C、E三点在同一直 线上，AB=8,ED=4,求BE的长. 图1 (2)如图2，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=6,以AC为边在△ABC外部作等边△ACD, 连接BD,求△BCD的面积. C 图2 (3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45°，若△ACD面积为21且CD的 长为8，求△ABD的面积. B 图3 10.如图1，P是等边△ABC内一点，连结AP,BP.将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP, 连结CP. B 图1 图2 备用图 (1)求证：△APB≌△CPB. (2)如图2，连结CP,PP. ①当∠APB=130°，且△CP'P为等腰三角形时，求出∠CPB的度数. ②当PB=2,AB=6,且PB‖CP时，请直接写出点A到点P的距离、 11.如图，△ABC中，∠B=90°，BC=8,BC上一点D,使BD:CD=3:5. B D (1)若AD平分∠BAC,求点D到AC的距离； (2)若点D恰好在AC的垂直平分线上，求△ABD的周长. 三、手拉手构造 12.己知P为等边△ABC内一点，PA=1,PB=2,∠APB=150°，则PC=i B 13.如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ, 连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为 B 四、等腰三角形分类讨论 14.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=13,BA=5,点P从点C出发，以每秒3个单位长度的 速度沿折线C-A-B运动.设点P的运动时间为tt>0. (1)BC= (2)求斜边AC上的高线长， (3)①当P在AB上时，AP的长为 t的取值范围是 (用含t的 代数式表示) ②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为 (4)在整个运动过程中，直接写出△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值， 15.如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm,BC=6cm,P、Q是△ABC边上的两个动点， 其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1c,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动， 且速度为每秒2cm,它们同时出发，设出发的时间为t秒， B D 备用图 备用图 (1)出发2秒后，求PQ的值： (2)从出发几秒钟后，△PQB第一次能形成等腰三角形？ (3)当点Q运动到CA上时，求能使△BCQ是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值. 16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=3,点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单 位长度的速度运动.设点P的运动时间为t秒(t>0)· C B 备用图 (1)当点P在AC的延长线上运动时，CP的长为_；（用含t的代数式表示） (2)若点P在∠ABC的角平分线上，求t的值： (3)在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值. 五、新定义三角形 17.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”. B (1)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=2.求证：△ABC是“梦想三角形”. (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6.若△ABC是“梦想三角形”，求BC的长， 18.定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等 腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐 分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线” D 图1 图2 图3 (1)判断命题真假：等边三角形存在“和谐分割线”是 命题；（填“真”或“假”） (2)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=V3,试探索Rt△ABC是否存在 “和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由： (3)如图3，在△ABC中，A=42°，若线段CD是△ABC的“和谐分割线”，且△BCD是等 腰三角形，求出所有符合条件的∠B的度数. 19.根据以下素材，探索解决问题 如何作出“倍角三角形”？ 如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三 素材 角形” 问题解决 如图1，△ABC中，AB=AC,∠A=36°，请将△ABC分成两个小三角形，使得 其中一个小三角形是“倍角三角形”，并标注该“倍角三角形”三个内角的度数。 项目操作 B 图1 若△ABC是倍角三角形，∠A>∠B>∠C,∠B=30°，AC=4V2,求△ABC面 项目探索 积. 项目拓展 如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D,点E在CA延长线上， 若AE=AB,AB+AC=BD,请你找出图中的倍角三角形，并进行证明. E A D B 图2 答案解析部分 1.【答案】B 2.【答案】B 3【答案】9 4.【答案】3 5.【答案】证明：①，四边形ABCD为矩形 ∴.∠A=∠D=90°，AB=CD=4,AD=BC=3 由翻折可得：∠A=∠E=∠D=90° .'OD=OE,∠DOP=∠EOG ∴.△PDO≌△GEO ∴.DP-EG ②.△PDO≌△GEO ∴.OG=OP .OD=OE ∴.DG=PE=PA 设AP=x,则PD=EG=3-X,DG=AP=x ..BG=BE-EG=1+x,CG=DC-DG=4-x 在Rt△BCG中，BC2+CG2=BG2 即32+(4-x)2=(1+x)2 解得：x=2.4 ∴.AP-2.4 6.【答案】(1)解：∠ACB=90°，BC=4,AC=3, ∴.AB=AC2+BC2=5, .CB⊥AB, AC-BC=AB.CE 2 2 ∴.CE=2.4 (2)解：根据翻折可得BC=BC,BD=BD,当△ABC为等腰直角三角形时， 如图，当点B在AC的右侧时， 则AC2=AB+CB2=2CB2或AC2+AB=CB2, AC-V2BC-V2BC=42AC-2BC-2BC=22 2 4 A B B 4v2 E D D B 4 B 当点B在AC的左侧时， 则AC2=AB2+CB2=2CB2或AC2+AB2=CB2, ·AC=2BC=2BC=22或AC=2BC=2BC=42: 2W2 B' B 综上所述，AC=22或4V2 (3)解：如图，当∠BDB=90时，过点C作CH⊥AB,则∠HCD=∠HDC=45°，