新生预习手册3《1.3交流表达》预习讲义2026年暑假苏科版七年级数学上册

数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册3 《第1章数学与我们同行第3节交流表达》预习讲义 一．预习目标 ( 1.在动手操作、小组交流的数学活动中，能用严谨的数学文字、代数式准确描述规律。 2.掌握图形分割、折叠操作、数据统计类探究题，学会分步记录操作结果，归纳通用结论。 3.能通过表格整理数据，从重复操作中发现指数型、等差型变化规律，规范表达推理过程。 4.提升逻辑推理能力，做到猜想有据、表达有序，顺利完成小升初数学思维过渡。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.记录多次图形分割操作的数据，用表格整理数据，总结变化规律。 2.用文字、代数式两种形式清晰表达探究结论。 3.统筹安排生活问题，通过交流找到最优方案。 （二）难点 1.归纳指数增长类图形变化规律，区分等差规律与倍数增长规律。 2.把操作过程转化为数学语言，完整写出推理步骤。 3.结合实际情境，检验结论是否符合现实条件。 ) 三．自主探究 （一）图形分割探究（本课核心考点） 操作模型：把等边三角形三边中点相连，分成4个全等小三角形，将中间三角形涂色；再对剩余空白小三角形重复操作。 如图，先画1个等边三角形，然后连接三条边的中点得到4个相同的三角形，将中 间的三角形涂色，再对其余3个三角形进行同样的操作. (1)按照上述规律继续操作，请你画出第3次操作后得到的图形. (2)按照上述规律，第4次操作后得到的图形中涂色三角形的个数是多少? 为什么? 请与同学交流. 【归纳】 第1次操作：涂色三角形个数1个，总数：1 第2次操作：新增涂色三角形3个，总数：1+3 第3次操作：新增涂色三角形9个，总数：1+3+9 【规律总结】：第n次操作后，涂色三角形总数为等比数列求和。 【探究方法】：动手操作→填表记录→对比数据→归纳规律→语言表达结论。 （二）数据整理与数学表达 小明为了了解水温的变化规律，测量并记录了一杯开水在室温下的温度变化情况，得到下表: 根据上表，回答问题，并与同学交流. (1)室温大概是多少摄氏度? (2)你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗? (3)某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃. 小明想冲泡这种奶粉,水烧开后大约需要等待多久? 【归纳】 （1）探究活动必须先用表格记录每一次操作得到的数据。 （2）交流表达的两层要求：①文字描述变化规律；②用字母写出代数式。 （三）统筹优化问题 2026年5月1日小明和爸爸一起去旅游,在火车站看到如表所示的列车时刻表: 2026年5月1日××次列车时刻表 始发点 发车时间 终点站 到站时间 A站 上午8:20 B站 次日12:20 小明的爸爸用手机上网找到了以前同一车次的时刻表如下: 2025年12月15日××次列车时刻表 始发点 发车时间 终点站 到站时间 A站 下午14:30 B站 第三日8:30 比较了两张时刻表后,小明的爸爸提出了如下两个问题,请你帮小明解答: (1)现在该次列车的运行时间比以前缩短了多少小时? (2)若该次列车提速后的平均时速为每小时200千米,那么,该次列车原来的平均时速为多少?(结果四舍五入到个位) 合理安排多项事务，减少总耗时，先做无需持续看管的事务，穿插完成手工、阅读类工作。 （四）逻辑推理问题 (1)如图，两个半径为1的圆有一部分互相重叠，重叠部分的面积是其中一个圆的面积的，求图中阴影部分的面积； (2)根据(1)题，解决下面的问题：七年级(1)班有10人参加学校的新生篮球赛，15人参加新生足球赛，其中新生篮球赛和新生足球赛都参加的有7人，那么只参加一种比赛的学生共有多少人？ 通过有限条件，层层排除矛盾选项，交流推理过程，得出唯一结果。 四．经典例题 例1.（2025·盐城东台市期末）对空白等边三角形进行分割操作，第1次涂色1个，第2次新增3个，第3次新增（ ）个。 A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 例2.（2026·无锡锡山区初一一模）做家务：烧水8分钟，扫地5分钟，整理书桌3分钟。合理安排，做完至少用时（ ）。 A. 8分钟 B. 11分钟 C. 13分钟 D. 16分钟 例3.（2025·苏州张家港市期末）观察数据：1，4，13，40……后一项与前一项的倍数关系是（ ） A. 加3 B. 乘3再加1 C. 乘2 D. 加9 例4.（2026·泰州姜堰区二模）甲、乙、丙三人比赛，每人只猜对一半，甲说：“我第一，乙第二”，若甲第一，则（ ） A. 乙第二 B. 乙不是第二 C. 丙第二 D. 丙第四 例5.（2025·连云港海州区期末）三角形分割实验，第1次涂色1个，第2次一共涂色____个。 例6.（2026·淮安清江浦区一模）数列：1，3，9，27……，后一个数是前一个数的____倍。 例7.（2025·宿迁沭阳县期末）填表归纳规律时，我们一般先记录前____次操作的数据，再总结通用结论。 例8.（2026·扬州广陵区三模）把一张纸对折3次，一共得到____层纸张。 例9.（2025·徐州铜山区期末）三角形分割探究： (1) 第1次操作涂色1个，第2次一共涂色4个，第3次一共涂色多少个？ (2) 请用文字描述每次新增三角形的变化规律。 例10.（2026·镇江丹徒区一模）统筹安排时间： 洗衣机洗衣服需要15分钟，擦窗户8分钟，浇花4分钟。 (1) 洗衣服时能不能同时完成擦窗户和浇花？ (2) 做完所有事情最短需要几分钟？ 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025·盐城建湖县期中）三角形分割实验，每次新增涂色个数的变化是（ ） A. 依次加3 B. 依次乘3 C. 依次加1 D. 依次乘2 2.（2026·南通通州区一模）数列1，4，13，下一个数字是（ ） A. 16 B. 26 C. 40 D. 52 3.（2025·常州武进区期末）把正方形纸片连续对折2次，折痕把纸片分成（ ）块。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.（2026·泰州海陵区二模）甲、乙两人一人值日周一，一人值日周二。甲说：“我不是周一”，则乙值日时间是（ ） A. 周一 B. 周二 C. 周三 5.（2025·南京六合区期末）探究规律时，第一步操作应该是（ ） A. 直接写公式 B. 动手操作并填表 C. 直接猜想 D. 只看结果 6.下列关于数学交流表达的说法，正确的是（ ） A. 只要把结果算对，表达无所谓清不清楚 B. 数学交流只需要和老师交流就行 C. 用简洁、准确的语言表达数学思路是很重要的 D. 图形不能用来进行数学交流 7.在描述“一个数比另一个数的2倍多3”时，用数学语言准确表达，设这两个数为x，y，正确的是（ ） A. x = 2y - 3 B. x = 2y + 3 C. y = 2x + 3 D. y = 2x - 3 8.小明说“我用火柴棒摆三角形，摆1个用3根，摆2个用5根，摆3个用7根……”，他想表达的规律，用数学式子准确表示摆n个三角形所需火柴棒根数，正确的是（ ） A. 3n B. 2n + 1 C. 2n - 1 D. 3n - 1 （二）填空题 9.（2025·盐城阜宁县期中）第1次分割涂色1个，第1、2次操作后，累计涂色____个。 10.（2026·无锡滨湖区一模）数字2，6，18，下一个数是____。 11.（2026·连云港赣榆区二模）烧水10分钟，择菜6分钟，两件事同步完成，一共用时____分钟。 12.（2025·宿迁泗阳县期末）把三角形不断分割，空白小三角形每次扩大为原来的____倍。 13.描述“一列数，第1个数是1，以后每个数都比前一个数大2”的规律，用数学式子表示第n个数（n为正整数）为______ 。 14.如图是某洗发水的价格标签,则它的原价是　　　　元.  15.某种商品每件的进价为180元,按标价的九折销售时,利润率为20%,这种商品每件标价是_______元. 16．一辆自行车，前胎行驶6000km就不能继续使用，后胎行驶4000km就不能继续使用，若在行驶中合理交换前后胎，则最多可以行驶 km． （三）解答题 17.（2025·淮安淮阴区期末）图形分割实验： (1) 完成表格：第1次涂色1个，第2次总数4个，第3次总数为多少？ (2) 第4次操作会新增多少个涂色三角形？ (3) 用一句话描述数据变化特点。 18.（2026·扬州宝应县一模）时间统筹问题： 用蒸锅蒸馒头需要12分钟，整理书包5分钟，整理文具6分钟。 (1) 整理两项家务一共需要多少分钟？ (2) 能否在蒸馒头时做完两项家务？ (3) 全部做完最短用时多少？ 19.如图的数字三角形有一定的规律，请按规律填上空缺的数. 20.某地区一天的气温变化较大,如图表示该地区某一天的气温变化情况. (1)一天中哪个时间气温最高、哪个时间气温最低,最高、最低气温分别是多少? (2)在什么时间范围内气温上升? (3)该地区一天的温差是多少? 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·南通如皋市期末）在三角形分割实验中，涂色总数1，4，13，40……，该数列属于（ ） A. 等差数列 B. 等比增长数列 C. 循环数列 2.（2026·盐城大丰区三模）一张纸对折4次，纸张层数是（ ） A. 8层 B. 16层 C. 32层 D.无法确定 3.（2025·徐州邳州市期末）甲、乙、丙三名同学分别担任班长、副班长、学习委员。甲不是班长，乙不是副班长，则丙不可能是（ ） A. 班长 B. 副班长 C. 学习委员 D.无法确定 4.（2026·苏州太仓市一模）数列1，3，9，27，第5个数是（ ） A. 54 B. 81 C. 108 D.无法确定 5.（2025·镇江句容市期末）多项事务合理安排的原则是（ ） A. 一件做完再做下一件 B. 可以同时做的事尽量同步完成，节约总时间 C. 先做耗时最长的事 D.无法确定 6.（2026·泰州兴化市二模）探究图形规律时，最合适的记录工具是（） A. 文字随笔 B. 数据表格 C. 只记最终结果 D.无法确定 7.如图是某街道的局部图，小刚从A处走往B处（街道宽度忽略），下列描述错误的是（　　） A．向西走150m，再向南走80m B．向西走150m，再向左走80m C．向南走80m，再向西走150m D．向南走80m，再向左走150m 8．图中长方形被分成了甲、乙两部分，这两部分（　　） A．面积相等，周长也相等 B．面积不相等，周长也不相等 C．面积相等，周长不相等 D．面积不相等，周长相等 9．设想有一根铁丝套在地球的赤道上，刚好拉紧后，又放长了10米，并使得铁丝均匀地离开地面．则下面说法中比较合理的是（　　） A你只能塞过一张纸 B只能伸进你的拳头 C能钻过一只小羊 D能驶过一艘万吨巨轮 10.下列木棍的长度中，最接近9厘米的是（ ） A．10厘米 B．9.9厘米 C．9.6厘米 D．8.6厘米 （二）填空题 11.（2025·无锡江阴市期末）三角形分割，第3次操作后，累计涂色三角形一共有____个。 12.（2026·宿迁泗阳县一模）对折纸张，对折n次，纸张层数=2^\boldsymbol{n}，对折5次有____层。 13.（2025·连云港东海县期末）交流数学探究结果，必须把操作过程、____、规律结论三部分说完整。 14.（2026·常州金坛区二模）数列：5，15，45，下一个数字为____。 15.（2025·扬州江都区期末）洗衣机洗衣20分钟，擦桌子7分钟，拖地10分钟，做完至少用时____分钟。 16.（2026·盐城市盐都区三模）每次分割空白三角形，空白部分数量扩大到原来的___倍。 17.如图所示,从甲地到乙地有两条路线,从乙地到丙地有三条路线,那么从甲地到丙地的路线条数是______. 18．某种药品的说明书上，贴有如下的标签，一次服用这种药品的剂量范围是 mg． 19.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表: 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如,十进制中16+10=26,用十六进制表示为10+A=1A;十进制中25-15=10,用十六进制表示为19-F=A.由上可知,在十六进制中B×D=　　　　(运算结果用十六进制表示).  20.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造正方形，再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形并记为①，②，③，④，相应矩形的周长如下表所示： 序号 ① ② ③ ④ 周长 6 10 16 26 若按此规律继续作矩形，则序号为11的矩形周长是 　　 ． （三）解答题 21.（2025·南通海门市期末）三角形分割探究活动： (1) 填写数据：第1次涂色1个，第2次总数4个，第3次总数13个，第4次总数是多少？ (2) 观察每一次新增的数量，说说有什么倍数关系？ (3) 请用文字完整表达你的探究结论。 22.（2026·淮安洪泽区一模）时间统筹应用题： 煮开水需要14分钟，整理语文作业需要6分钟，整理数学作业需要7分钟。 (1) 整理两项作业一共需要多少分钟？ (2) 两项作业能不能在烧水期间全部做完？ (3) 做完所有事情最短需要多长时间？ 23.（2025·扬州邗江区期末）逻辑推理交流题： 甲、乙、丙三名同学，一人喜欢篮球，一人喜欢足球，一人喜欢羽毛球。 已知：①甲不喜欢篮球；②乙既不喜欢篮球，也不喜欢羽毛球。 (1) 乙喜欢哪一项运动？ (2) 谁喜欢篮球？ (3) 丙喜欢什么项目？请把你的推理过程有条理地写出来。 24.12人乘车去某地，可供租的车辆有两种：一种车可乘8个乘客，另一种车可乘4个乘客． (1)写出3种租车方案； (2)如果第一种车的租金是300元/天，第二种车的租金是200元/天，那么采用哪种方案费用最少？ 25.规定一种新的运算“⊗”,运算法则:对于任意的自然数a、b,有a⊗b=2a+3b,例如:4⊗5=2×4+3×5=23. (1)求5⊗6与6⊗5的值,该运算法则是否有交换律? (2)求(3⊗4)⊗5与3⊗(4⊗5)的值,该运算是否有结合律? 26.在《希腊文集》中记载着这样一组对话:一位学者问道:“请告诉我,尊敬的毕达哥拉斯,有多少名学生在你的学校里听你讲课?”毕达哥拉斯回答道:“我的学生中有学习数学,学习音乐,沉默无言,此外,还有3名妇女.”问毕达哥拉斯有多少名学生? 27.大冠买了一包宣纸练习书法，每星期一写1张，每星期二写2张，每星期三写3张，每星期四写4张，每星期五写5张，每星期六写6张，每星期日写7张．若大冠从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数已超过120张，则5月30日可能为星期几？请求出所有可能的答案并完整说明理由． 思路分析：首先得出5月1日～5月30日，包括四个完整的星期，分别分析5月30日当分别为星期一到星期天时所有的可能，进而得出答案． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册3 《第1章数学与我们同行第3节交流表达》预习讲义 一．预习目标 ( 1.在动手操作、小组交流的数学活动中，能用严谨的数学文字、代数式准确描述规律。 2.掌握图形分割、折叠操作、数据统计类探究题，学会分步记录操作结果，归纳通用结论。 3.能通过表格整理数据，从重复操作中发现指数型、等差型变化规律，规范表达推理过程。 4.提升逻辑推理能力，做到猜想有据、表达有序，顺利完成小升初数学思维过渡。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.记录多次图形分割操作的数据，用表格整理数据，总结变化规律。 2.用文字、代数式两种形式清晰表达探究结论。 3.统筹安排生活问题，通过交流找到最优方案。 （二）难点 1.归纳指数增长类图形变化规律，区分等差规律与倍数增长规律。 2.把操作过程转化为数学语言，完整写出推理步骤。 3.结合实际情境，检验结论是否符合现实条件。 ) 三．自主探究 （一）图形分割探究（本课核心考点） 操作模型：把等边三角形三边中点相连，分成4个全等小三角形，将中间三角形涂色；再对剩余空白小三角形重复操作。 如图，先画1个等边三角形，然后连接三条边的中点得到4个相同的三角形，将中 间的三角形涂色，再对其余3个三角形进行同样的操作. (1)按照上述规律继续操作，请你画出第3次操作后得到的图形. 【解析】如图是第3次操作后的图形. (2)按照上述规律，第4次操作后得到的图形中涂色三角形的个数是多少? 为什么? 请与同学交流. 【解析】第4次操作后得到的图形中涂色三角形是 40个. 因为第3次操作后图形中涂色三角形是13个，所以第4次操作后得到的图形中涂色三角形是 3×13＋1= 40(个) 【归纳】 第1次操作：涂色三角形个数1个，总数：1 第2次操作：新增涂色三角形3个，总数：1+3 第3次操作：新增涂色三角形9个，总数：1+3+9 【规律总结】：第n次操作后，涂色三角形总数为等比数列求和。 【探究方法】：动手操作→填表记录→对比数据→归纳规律→语言表达结论。 （二）数据整理与数学表达 小明为了了解水温的变化规律，测量并记录了一杯开水在室温下的温度变化情况，得到下表: 根据上表，回答问题，并与同学交流. (1)室温大概是多少摄氏度? (2)你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗? (3)某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃. 小明想冲泡这种奶粉,水烧开后大约需要等待多久? 【解析】(1)室温大概是22℃. (2)水温逐渐降低，且降温出现先快后慢的规律. 水温降低至室温后不再变化. (3)大约需要等待 16.5 min. 【归纳】 （1）探究活动必须先用表格记录每一次操作得到的数据。 （2）交流表达的两层要求：①文字描述变化规律；②用字母写出代数式。 （三）统筹优化问题 2026年5月1日小明和爸爸一起去旅游,在火车站看到如表所示的列车时刻表: 2026年5月1日××次列车时刻表 始发点 发车时间 终点站 到站时间 A站 上午8:20 B站 次日12:20 小明的爸爸用手机上网找到了以前同一车次的时刻表如下: 2025年12月15日××次列车时刻表 始发点 发车时间 终点站 到站时间 A站 下午14:30 B站 第三日8:30 比较了两张时刻表后,小明的爸爸提出了如下两个问题,请你帮小明解答: (1)现在该次列车的运行时间比以前缩短了多少小时? (2)若该次列车提速后的平均时速为每小时200千米,那么,该次列车原来的平均时速为多少?(结果四舍五入到个位) 【解析】(1)原来该次列车所用时间=2×24+8.5-14.5=42(小时).现在该次列车的运行时间=24+-=28(小时),42-28=14(小时),所以缩短了14小时. (2)28×200÷42≈133(千米). 答:(1)现在该次列车的运行时间比以前缩短了14小时, (2)原来的平均时速约为每小时133千米. 合理安排多项事务，减少总耗时，先做无需持续看管的事务，穿插完成手工、阅读类工作。 （四）逻辑推理问题 (1)如图，两个半径为1的圆有一部分互相重叠，重叠部分的面积是其中一个圆的面积的，求图中阴影部分的面积； (2)根据(1)题，解决下面的问题：七年级(1)班有10人参加学校的新生篮球赛，15人参加新生足球赛，其中新生篮球赛和新生足球赛都参加的有7人，那么只参加一种比赛的学生共有多少人？ 【解析】(1)由已知得每个圆的面积为π，重叠部分的面积为π，所以阴影部 分的面积为π＋π－π×2＝π. (2)由(1)得，只参加一种比赛的学生共有10＋15－7×2＝11(人)． 通过有限条件，层层排除矛盾选项，交流推理过程，得出唯一结果。 四．经典例题 例1.（2025·盐城东台市期末）对空白等边三角形进行分割操作，第1次涂色1个，第2次新增3个，第3次新增（ ）个。 A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】：C 【解析】：每次新增涂色数量都是前一次的3倍，3×3=9。 例2.（2026·无锡锡山区初一一模）做家务：烧水8分钟，扫地5分钟，整理书桌3分钟。合理安排，做完至少用时（ ）。 A. 8分钟 B. 11分钟 C. 13分钟 D. 16分钟 【答案】：A 【解析】：烧水的同时可以完成扫地+整理书桌，总耗时等于烧水时间。 例3.（2025·苏州张家港市期末）观察数据：1，4，13，40……后一项与前一项的倍数关系是（ ） A. 加3 B. 乘3再加1 C. 乘2 D. 加9 【答案】：B 【解析】：1×3+1=4，4×3+1=13，13×3+1=40。 例4.（2026·泰州姜堰区二模）甲、乙、丙三人比赛，每人只猜对一半，甲说：“我第一，乙第二”，若甲第一，则（ ） A. 乙第二 B. 乙不是第二 C. 丙第二 D. 丙第四 【答案】：B 【解析】：每人只有一句话正确，“甲第一”成立，则后半句“乙第二”一定错误。 例5.（2025·连云港海州区期末）三角形分割实验，第1次涂色1个，第2次一共涂色____个。 【答案】：4 【解析】：总数1+3=4。 例6.（2026·淮安清江浦区一模）数列：1，3，9，27……，后一个数是前一个数的____倍。 【答案】：3 【解析】：3÷1=3，9÷3=3，公比为3。 例7.（2025·宿迁沭阳县期末）填表归纳规律时，我们一般先记录前____次操作的数据，再总结通用结论。 【答案】：3～4 【解析】：至少3组数据才能排除偶然情况，归纳稳定规律。 例8.（2026·扬州广陵区三模）把一张纸对折3次，一共得到____层纸张。 【答案】：8 【解析】：对折1次2层，对折2次4层，对折3次8层。 例9.（2025·徐州铜山区期末）三角形分割探究： (1) 第1次操作涂色1个，第2次一共涂色4个，第3次一共涂色多少个？ (2) 请用文字描述每次新增三角形的变化规律。 【答案】：(1)13个；(2)每一次操作新增的涂色三角形数量都是上一次新增数量的3倍。 【解析】(1) 第3次新增9个，总数4+9=13。 (2) 第1次新增1个，第2次新增3个，第3次新增9个，后一次是前一次的3倍。 例10.（2026·镇江丹徒区一模）统筹安排时间： 洗衣机洗衣服需要15分钟，擦窗户8分钟，浇花4分钟。 (1) 洗衣服时能不能同时完成擦窗户和浇花？ (2) 做完所有事情最短需要几分钟？ 【答案】：(1)可以；(2)15分钟。 【解析】(1) 擦窗+浇花一共用时8+4=12分钟，小于15分钟，可以同步完成。 (2) 总耗时只需要洗衣机洗衣的15分钟。 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025·盐城建湖县期中）三角形分割实验，每次新增涂色个数的变化是（ ） A. 依次加3 B. 依次乘3 C. 依次加1 D. 依次乘2 【答案】：B 【解析】：新增数量1，3，9，27，始终乘3。 2.（2026·南通通州区一模）数列1，4，13，下一个数字是（ ） A. 16 B. 26 C. 40 D. 52 【答案】：C 【解析】：13×3+1=40。 3.（2025·常州武进区期末）把正方形纸片连续对折2次，折痕把纸片分成（ ）块。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】：C 【解析】：两次对折后分成4块全等小正方形。 4.（2026·泰州海陵区二模）甲、乙两人一人值日周一，一人值日周二。甲说：“我不是周一”，则乙值日时间是（ ） A. 周一 B. 周二 C. 周三 【答案】：A 【解析】：甲不值周一，则甲值周二，乙只能值周一。 5.（2025·南京六合区期末）探究规律时，第一步操作应该是（ ） A. 直接写公式 B. 动手操作并填表 C. 直接猜想 D. 只看结果 【答案】：B 【解析】：本课探究流程：操作→填表→整理数据→归纳规律。 6. 下列关于数学交流表达的说法，正确的是（ ） A. 只要把结果算对，表达无所谓清不清楚 B. 数学交流只需要和老师交流就行 C. 用简洁、准确的语言表达数学思路是很重要的 D. 图形不能用来进行数学交流 【答案】：C 【解析】：数学交流中清晰、准确表达很关键，A选项结果对但表达不清不利于知识传递；数学交流可与同学、老师等多方交流，B错误；图形是重要数学交流工具，比如用图形解释几何问题，D错误，所以选C。 7. 在描述“一个数比另一个数的2倍多3”时，用数学语言准确表达，设这两个数为x，y，正确的是（ ） A. x = 2y - 3 B. x = 2y + 3 C. y = 2x + 3 D. y = 2x - 3 【答案】：B 【解析】：“x比y的2倍多3”，就是x等于y乘2再加上3，即x = 2y + 3，所以选B。 8. 小明说“我用火柴棒摆三角形，摆1个用3根，摆2个用5根，摆3个用7根……”，他想表达的规律，用数学式子准确表示摆n个三角形所需火柴棒根数，正确的是（ ） A. 3n B. 2n + 1 C. 2n - 1 D. 3n - 1 【答案】：B 【解析】：摆1个三角形3根，即2×1 + 1；摆2个5根，即2×2 + 1；摆3个7根，即2×3 + 1，所以摆n个就是2n + 1，选B。 （二）填空题 9.（2025·盐城阜宁县期中）第1次分割涂色1个，第1、2次操作后，累计涂色____个。 【答案】：4 【解析】：1+3=4。 10.（2026·无锡滨湖区一模）数字2，6，18，下一个数是____。 【答案】：54 【解析】：后项=前项×3，18×3=54。 11.（2026·连云港赣榆区二模）烧水10分钟，择菜6分钟，两件事同步完成，一共用时____分钟。 【答案】：10 【解析】：择菜在烧水期间完成，总时长等于烧水时长。 12.（2025·宿迁泗阳县期末）把三角形不断分割，空白小三角形每次扩大为原来的____倍。 【答案】：3 【解析】：每一轮操作后，空白三角形数量扩大3倍。 13.描述“一列数，第1个数是1，以后每个数都比前一个数大2”的规律，用数学式子表示第n个数（n为正整数）为______ 。 【答案】：2n - 1 【解析】：第1个数1 = 2×1 - 1；第2个数3 = 2×2 - 1；第3个数5 = 2×3 - 1……以此类推，第n个数就是2n - 1 。 14.如图是某洗发水的价格标签,则它的原价是　　　　元.  【答案】　24 【解析】　原价为19.2÷80%=24(元). 15.某种商品每件的进价为180元,按标价的九折销售时,利润率为20%,这种商品每件标价是_______元. 【答案】240 【解析】180×(1+20%)÷90%=240(元). 16．一辆自行车，前胎行驶6000km就不能继续使用，后胎行驶4000km就不能继续使用，若在行驶中合理交换前后胎，则最多可以行驶 km． 【答案】4800 【解析】∵前胎行驶6000km就不能继续使用，后胎行驶4000km就不能继续使用，∴前轮位置每千米磨损，后轮位置每千米磨损，∵若在行驶中合理交换前后胎，尽量满足前后轮同时损坏，即两个轮胎在前后位置行驶的千米数完全一致， ∴，∴交换前后两个车胎的平均磨损率为，即共行驶4800千米，两个轮胎同时损坏，∴最多可以行驶4800千米．故答案为4800． （三）解答题 17.（2025·淮安淮阴区期末）图形分割实验： (1) 完成表格：第1次涂色1个，第2次总数4个，第3次总数为多少？ (2) 第4次操作会新增多少个涂色三角形？ (3) 用一句话描述数据变化特点。 【答案】：(1)13；(2)27；(3)每一轮新增涂色三角形的数量都是前一次的3倍。 【解析】(1) 4+9=13；(2)9×3=27；(3)新增数量成3倍倍数增长。 18.（2026·扬州宝应县一模）时间统筹问题： 用蒸锅蒸馒头需要12分钟，整理书包5分钟，整理文具6分钟。 (1) 整理两项家务一共需要多少分钟？ (2) 能否在蒸馒头时做完两项家务？ (3) 全部做完最短用时多少？ 【答案】：(1)11分钟；(2)可以；(3)12分钟。 【解析】(1)5+6=11；(2)11<12，可以同步完成；(3)总耗时等于蒸馒头时间。 19.如图的数字三角形有一定的规律，请按规律填上空缺的数. 【答案】5，10，15，20，15。 【解析】我们观察这个数字三角形，可以发现它具有杨辉三角的特征。即每行两端的数都是 1，中间的数是它肩上两个数的和。第五行是 1 5 10 10 5 1，根据上述规律，第六行第二个数是第五行第一个数 1 和第二个数 5 的和，即 1 + 5 = 6；第三个数是第五行第二个数 5 和第三个数 10 的和，即 5 + 10 = 15；第四个数是第五行第三个数 10 和第四个数 10 的和，即 10 + 10 = 20；第五个数是第五行第四个数 10 和第五个数 5 的和，即 10 + 5 = 15。所以第六行空缺的数从左到右是 5，10，15，20，15。 20.某地区一天的气温变化较大,如图表示该地区某一天的气温变化情况. (1)一天中哪个时间气温最高、哪个时间气温最低,最高、最低气温分别是多少? (2)在什么时间范围内气温上升? (3)该地区一天的温差是多少? 【答案】(1)0时;24时;5 ℃;40 ℃;(2)0-6时和9-15时;(3)35℃ 【解析】　(1)一天中0时和24时的气温最低,是5 ℃;15时的气温最高,是40 ℃. (2)在0-6时和9-15时,气温上升. (3)该地区一天的温差是40-5=35(℃). 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·南通如皋市期末）在三角形分割实验中，涂色总数1，4，13，40……，该数列属于（ ） A. 等差数列 B. 等比增长数列 C. 循环数列 【答案】：B 【解析】：满足后项=前项×3+1，属于倍数增长。 2.（2026·盐城大丰区三模）一张纸对折4次，纸张层数是（ ） A. 8层 B. 16层 C. 32层 D.无法确定 【答案】：B 【解析】：层数依次为2、4、8、16，对折4次为16层。 3.（2025·徐州邳州市期末）甲、乙、丙三名同学分别担任班长、副班长、学习委员。甲不是班长，乙不是副班长，则丙不可能是（ ） A. 班长 B. 副班长 C. 学习委员 D.无法确定 【答案】：A 【解析】：甲不能当班长，班长只能是乙或丙。 4.（2026·苏州太仓市一模）数列1，3，9，27，第5个数是（ ） A. 54 B. 81 C. 108 D.无法确定 【答案】：B 【解析】：公比为3，27×3=81。 5.（2025·镇江句容市期末）多项事务合理安排的原则是（ ） A. 一件做完再做下一件 B. 可以同时做的事尽量同步完成，节约总时间 C. 先做耗时最长的事 D.无法确定 【答案】：B 【解析】：统筹优化的核心：并行做事，缩短总时长。 6.（2026·泰州兴化市二模）探究图形规律时，最合适的记录工具是（） A. 文字随笔 B. 数据表格 C. 只记最终结果 D.无法确定 【答案】：B 【解析】：表格可以清晰对比每一次操作的数据，方便归纳规律。 7.如图是某街道的局部图，小刚从A处走往B处（街道宽度忽略），下列描述错误的是（　　） A．向西走150m，再向南走80m B．向西走150m，再向左走80m C．向南走80m，再向西走150m D．向南走80m，再向左走150m 【答案】B 【解析】A、向西走150m，再向南走80m，不符合题意；B、向西走150m，再向左走80m，符合题意；C、向南走80m，再向西走150m，不符合题意；D、向南走80m，再向左走150m，不符合题意，故选：B． 8．图中长方形被分成了甲、乙两部分，这两部分（　　） A．面积相等，周长也相等 B．面积不相等，周长也不相等 C．面积相等，周长不相等 D．面积不相等，周长相等 【答案】D 【解析】根据面积的意义，面积是图形所占平面的大小可知，甲的面积小于长方形面积的一半，一的面积大于长方形面积的一半，所以甲的面积小于乙的面积；根据周长的意义，周长是围成平面图形线段的长度之和可知，甲乙的周长都是长方形周长一半再加上公共边，所以周长相等．故选：D． 9．设想有一根铁丝套在地球的赤道上，刚好拉紧后，又放长了10米，并使得铁丝均匀地离开地面．则下面说法中比较合理的是（　　） A你只能塞过一张纸 B只能伸进你的拳头 C能钻过一只小羊 D能驶过一艘万吨巨轮 【答案】C 【解答】解：设地球的半径是R，铁丝均匀地离开地面的高度是h，由圆的周长公式有： 2π（R+h）＝2πR+10；2πR+2πh＝2πR+10；∴2πh＝10；H=1.6米．根据纸的厚度，进行分析，应选：C． 10.下列木棍的长度中，最接近9厘米的是（ ） A．10厘米 B．9.9厘米 C．9.6厘米 D．8.6厘米 【答案】D 【解析】最接近9厘米的是与9厘米的差值最小，A、10-9=1（厘米）；B、9.9-9=0.9（厘米）；C、9.6-9=0.6（厘米）；D、9-8.6=0.4（厘米）；与9厘米差值最小的是8.6厘米．故选：D． （二）填空题 11.（2025·无锡江阴市期末）三角形分割，第3次操作后，累计涂色三角形一共有____个。 【答案】：13 【解析】：1+3+9=13。 12.（2026·宿迁泗阳县一模）对折纸张，对折n次，纸张层数=2^\boldsymbol{n}，对折5次有____层。 【答案】：32 【解析】：25=32。 13.（2025·连云港东海县期末）交流数学探究结果，必须把操作过程、____、规律结论三部分说完整。 【答案】：数据记录 【解析】：完整交流流程：操作→记录数据→总结规律。 14.（2026·常州金坛区二模）数列：5，15，45，下一个数字为____。 【答案】：135 【解析】：后项=前项×3，45×3=135。 15.（2025·扬州江都区期末）洗衣机洗衣20分钟，擦桌子7分钟，拖地10分钟，做完至少用时____分钟。 【答案】：20 【解析】：两项家务合计17分钟，可在洗衣期间完成。 16.（2026·盐城市盐都区三模）每次分割空白三角形，空白部分数量扩大到原来的___倍。 【答案】：3 【解析】：每一轮操作后，空白三角形数量变为原来的3倍。 17.如图所示,从甲地到乙地有两条路线,从乙地到丙地有三条路线,那么从甲地到丙地的路线条数是______. 【答案】6　 【解析】从甲地到乙地一共有3+3=6条路线. 18．某种药品的说明书上，贴有如下的标签，一次服用这种药品的剂量范围是 mg． 【答案】20～45 【解析】当每天服用的总剂量最少，且次数最多时，一次服用这种药品的剂量最少；当每天服用的总剂量最多，且次数最少时，一次服用这种药品的剂量最多．当每天60mg，分3次服用时，一次服用这种药品的剂量是60÷3=20mg；当每天90mg，分2次服用时，一次服用这种药品的剂量是90÷2=45mg．所以一次服用这种药品的剂量范围是20～45mg． 19.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表: 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如,十进制中16+10=26,用十六进制表示为10+A=1A;十进制中25-15=10,用十六进制表示为19-F=A.由上可知,在十六进制中B×D=　　　　(运算结果用十六进制表示).  【答案】　8F 【解析】　因为B×D=11×13=143,143÷16=8……15,所以用十六进制表示143为8F.故答案为8F. 20.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造正方形，再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形并记为①，②，③，④，相应矩形的周长如下表所示： 序号 ① ② ③ ④ 周长 6 10 16 26 若按此规律继续作矩形，则序号为11的矩形周长是 　　 ． 【答案】754． 【解析】∵第1个长方形的周长为：（1+2）×2＝6；第2个长方形的周长为：（2+3）×2＝10；第3个长方形的周长为：（3+5）×2＝16；第4个长方形的周长为：（5+8）×2＝26；第5个长方形的周长为：（8+13）×2＝42；第6个长方形的周长为：（13+21）×2＝68；第7个长方形的周长为：（21+34）×2＝110；第8个长方形的周长为：（34+55）×2＝178；第9个长方形的周长为：（55+89）×2＝288；第10个长方形的周长为：（89+144）×2＝466；第11个长方形的周长为：（144+233）×2＝754．故答案为：754． （三）解答题 21.（2025·南通海门市期末）三角形分割探究活动： (1) 填写数据：第1次涂色1个，第2次总数4个，第3次总数13个，第4次总数是多少？ (2) 观察每一次新增的数量，说说有什么倍数关系？ (3) 请用文字完整表达你的探究结论。 【答案】：(1)40；(2)每一次新增数量都是上一次新增数量的3倍；(3)在等边三角形中点分割实验中，每一轮操作新增的涂色三角形个数都是前一轮的3倍，涂色总数成倍增长。 【解析】(1) 第4次新增27个，13+27=40； (2) 新增数：1、3、9、27，始终扩大3倍。 22.（2026·淮安洪泽区一模）时间统筹应用题： 煮开水需要14分钟，整理语文作业需要6分钟，整理数学作业需要7分钟。 (1) 整理两项作业一共需要多少分钟？ (2) 两项作业能不能在烧水期间全部做完？ (3) 做完所有事情最短需要多长时间？ 【答案】：(1)13分钟；(2)可以；(3)14分钟。 【解析】(1)6+7=13；(2)13<14，可以并行完成；(3)总耗时等于烧水时长。 23.（2025·扬州邗江区期末）逻辑推理交流题： 甲、乙、丙三名同学，一人喜欢篮球，一人喜欢足球，一人喜欢羽毛球。 已知：①甲不喜欢篮球；②乙既不喜欢篮球，也不喜欢羽毛球。 (1) 乙喜欢哪一项运动？ (2) 谁喜欢篮球？ (3) 丙喜欢什么项目？请把你的推理过程有条理地写出来。 【答案】：(1)足球；(2)丙；(3)羽毛球。 【解析】(1) 乙排除篮球、羽毛球，只能喜欢足球； (2) 甲不喜欢篮球，乙也不喜欢篮球，所以丙喜欢篮球； (3) 剩下甲喜欢羽毛球。 24.12人乘车去某地，可供租的车辆有两种：一种车可乘8个乘客，另一种车可乘4个乘客． (1)写出3种租车方案； (2)如果第一种车的租金是300元/天，第二种车的租金是200元/天，那么采用哪种方案费用最少？ 解：(1)方案一：租2辆乘8个乘客的车；方案二：租3辆乘4个乘客的车；方案三：租1辆乘8个乘客的车，租1辆乘4个乘客的车． (2)方案一：2×300＝600(元)；方案二：3×200＝600(元)；方案三：300＋200＝500(元)．故采用方案三费用最少. 25.规定一种新的运算“⊗”,运算法则:对于任意的自然数a、b,有a⊗b=2a+3b,例如:4⊗5=2×4+3×5=23. (1)求5⊗6与6⊗5的值,该运算法则是否有交换律? (2)求(3⊗4)⊗5与3⊗(4⊗5)的值,该运算是否有结合律? 解：(1)5⊗6=2×5+3×6=28,6⊗5=2×6+3×5=27. 因为5⊗6≠6⊗5,所以该运算没有交换律. (2)(3⊗4)⊗5=(2×3+3×4)⊗5=18⊗5=2×18+3×5=51, 3⊗(4⊗5)=3⊗(2×4+3×5)=3⊗23=2×3+3×23=75. 因为(3⊗4)⊗5≠3⊗(4⊗5),所以该运算没有结合律. 26.在《希腊文集》中记载着这样一组对话:一位学者问道:“请告诉我,尊敬的毕达哥拉斯,有多少名学生在你的学校里听你讲课?”毕达哥拉斯回答道:“我的学生中有学习数学,学习音乐,沉默无言,此外,还有3名妇女.”问毕达哥拉斯有多少名学生? 解：因为学生中有学习数学,学习音乐,沉默无言,所以有1---=是妇女,那么总人数为3÷=28.答:毕达哥拉斯有28名学生. 27.大冠买了一包宣纸练习书法，每星期一写1张，每星期二写2张，每星期三写3张，每星期四写4张，每星期五写5张，每星期六写6张，每星期日写7张．若大冠从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数已超过120张，则5月30日可能为星期几？请求出所有可能的答案并完整说明理由． 思路分析：首先得出5月1日～5月30日，包括四个完整的星期，分别分析5月30日当分别为星期一到星期天时所有的可能，进而得出答案． 解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期，∴5月1日～5月28日写的张数为：4×=112，若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1=120， 若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120，若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120，若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120，若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120，若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120， 若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120，故5月30日可能为星期五、六、日． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $